第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算五、向量的模、方向角、投影上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)向量:

既有大小,

又有方向的量稱(chēng)為向量(又稱(chēng)矢量).表示法:

有向線段

M1

M2,或

a

,

或a

.向量的模:

向量的大小,

記作

M1

M2向徑(矢徑):

起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.,一、向量的概念M1M

2向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.單位向量:

模為

1

的向量,記作

a

或a

.零向量:模為0

的向量,記作0，或0

.上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)若向量

a

與

b大小相等,

方向相同,

則稱(chēng)

a

與

b

相等,記作a＝b

;若向量a

與b

方向相同或相反,則稱(chēng)a

與b

平行,記作a∥b

;

規(guī)定:零向量與任何向量平行;與a

的模相同,但方向相反的向量稱(chēng)為a的負(fù)向量,記作－a

;因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱(chēng)兩向量共線.若

k

(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上

,

則稱(chēng)此

k個(gè)向量共面.上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:

三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.b

a

baa

bba運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律a

b

b

a(

a

b

)

c

a

(

b

c

)

a

b

cbca

bab

c(

a

b

)

ca

(

b

c

)上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)a4a5a3sa2a1s

a1

a2

a3

a4

a5上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)2.向量的減法三角不等式ba上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)

aaa

.

是一個(gè)數(shù),

與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作

3.向量與數(shù)的乘法規(guī)定:總之:a)

(

)

a

a運(yùn)算律:結(jié)合律(

分配律

(a

b

)

a

b1a

則有單位向量

a

a. 因此

a

a

a上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)定理1.(

為唯一實(shí)數(shù))取正號(hào),

反向時(shí)取負(fù)號(hào),

則

b

與

a

同向,

且設(shè)a

為非零向量,則a∥b”.

設(shè)

a∥b

,

取＝±證:

“

,

a

,

b

同向時(shí)故b

a.再證數(shù)

的唯一性.設(shè)又有b＝

a

,則(

)a

0故

0,即

.

b上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)“MBCDba

2

MA

2

MB”

已知

b＝

a

,

則b＝0a

,b

同向a

,b

反向例1.

設(shè)

M

為

ABCD

對(duì)角線的交點(diǎn),試用a

與b

表示MA,MB

,MC

,MD.a∥b解:

a

b

ACb

a

BD2

MA

1

(

a

b

)2MB

1

(

b

a

)

A2MC

1

(

a

b

)2MD

1

(

b

a

)上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)ⅦⅡⅢⅥxyⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念過(guò)空間一定點(diǎn)o,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)面卦限(八個(gè))x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

z

軸(豎軸)oxoy面yoz面Ⅰ上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)x點(diǎn)M徑r1

1有序數(shù)組(x,y,z)1

1向在直角坐標(biāo)系下P(x,0,0)yQ(0,

y,0)R(0,0,

z)A(x,

y,0)B(0,

y,

z)C(x,

o,

z)(稱(chēng)為點(diǎn)M

的坐標(biāo))特殊點(diǎn)的坐標(biāo):原點(diǎn)

O(0,0,0)

;

坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q

,

R

;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A

,B

,CzrM上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)x坐標(biāo)面:yz坐標(biāo)軸:o上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)2.向量的坐標(biāo)表示在三個(gè)坐標(biāo)軸上坐標(biāo)x

r

=

x

i

+

y

j

+

z

k

x

,

y

,

z

MNByC

zkoiAj

r

在空間直角坐標(biāo)系下,

任意向量

r

可用向徑

OM

表示.

以i

,j

,k

分別表示x

,y

,z

軸上的單位向量,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M

(x

,y

,z),則此式稱(chēng)為向量r

的坐標(biāo)分解式,沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向.的分向量.OM

ON

NM

OA

OB

OC機(jī)動(dòng)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算

x

y

za

,

a

,

a

,設(shè)a

x

y

zb

b,b

,b

,a

b

x

x

y

y

z

za

b

,

a

b

,

a

bx

yz

a

,

a

,

a

a

為實(shí)數(shù)，則當(dāng)平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:a

0

時(shí),bx

axby

aybz

azax

ayaz

bx

by

bz

上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)例2.求解以向量為未知元的線性方程組

5

x

3

y

a3

x

2

y

b其中a

2，1，2,b

1，1，2.解:①②

2×①－3×②,得x

2

a

3b

7,1,10代入②得2y

1(3

)

11,

2,16x

b上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)AMBoABM及實(shí)數(shù)

1,得111

2

1

2

12x

x

,

y

y

,

z

z

即例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M

,使解:設(shè)M

的坐標(biāo)為AM

MBAM

OM

OAMB

OB

OMOM

OA

(OB

OM

)OM

1

1

(

OA

OB

上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:1

1x1

x2

,

y1

y2

,2

2x1

x2

,

y1

y2

,z1

z22oABMz1

z21當(dāng)

1時(shí),點(diǎn)M

為AB

的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:11上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)1

2

1

2

12AMBx

x

,

y

y

,

z

z

五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式22r

OMxoMN

x

y

z2QyR

zP因得兩點(diǎn)間的距離公式: (x2

x1)2

(

y2

y1)2

(z2

z1)2對(duì)兩點(diǎn)與設(shè)r

x

,y

,z

,作OM

r

,則有r

OM

OP

OQ

OR由勾股定理得上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)例4.求證以的三角形是等腰三角形.證:M1M

2M

3

M1M

2

14M

2M

3

M1M

3

(7

4)2

(1

3)2

(2

1)2(5

7)2

(2

1)2

(3

2)2

6(5

4)2

(2

3)2

(3

1)2

6

M

2M

3

M1M

3即

M1M

2M3為等腰三角形.為頂點(diǎn)上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)yz2.

方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O

,

稱(chēng)

=∠AOB

(0≤≤

)為向量a

,b

的夾角.ro

xrcos

x2

y2

z

2x

x

為其方向角.方向角的余弦稱(chēng)為其方向余弦.記作類(lèi)似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,

,上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)yz

ro

xrxcos

x2

y

2

z

2yxcos

ry

x2

y

2

z

2zcos

rz

x2

y

2

z

2方向余弦的性質(zhì):上機(jī)動(dòng)下頁(yè)返回結(jié)束頁(yè)例7.已知兩點(diǎn)和