x(t)x(x(t)x(t)=Acos中第2章 信號(hào)分析本章提要信號(hào)分類周期信號(hào)分析一傅里葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)分析一傅里葉變換脈沖函數(shù)及其性質(zhì)信號(hào)：反映研究對(duì)象狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)特征的物理量信號(hào)分析：從信號(hào)中提取有用信息的方法和手段§2—1信號(hào)的分類兩大類：確定性信號(hào)，非確定性信號(hào)確定性信號(hào)：給定條件下取值是確定的。進(jìn)一步分為：周期信號(hào)，非周期信號(hào)。彈簧剛度K777777質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)的力學(xué)模型非確定性信號(hào)（隨機(jī)信號(hào)）：給定條件下取值是不確定的按取值情況分類：模擬信號(hào)，離散信號(hào)數(shù)字信號(hào)：屬于離散信號(hào)，幅值離散，并用二進(jìn)制表示。信號(hào)描述方法時(shí)域描述如簡諧信號(hào)簡諧信號(hào)及其三個(gè)要素xcos(①t+e)幅值/頻率相角頻域描述以信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)來描述信號(hào)的方法：將信號(hào)看成許多諧波(簡諧信號(hào))之和，每一個(gè)諧波稱作該信號(hào)的一個(gè)頻率成分，考察信號(hào)含有那些頻率的諧波，以及各諧波的幅值和相角。<pagebreak>§2—2 周期信號(hào)與離散頻譜、周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式周期信號(hào)時(shí)域表達(dá)式x(t)=x(t+T)=x(t+2T)=A=x(t+nT)(n二±1，±2，A)T：周期。注意n的取值：周期信號(hào)“無始無終”#傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開式8 T?x(t)=a+E(acosn①t+bsinnot)0 n 0n 0n=1(n=1,2,3，…)傅立葉系數(shù)：a=J2%(t)dt0tT—一2fTOC\o"1-5"\h\z2T/、 7a=J2%(t)cosn①tdtnTT 0—27 2T/、. ，b=J2%(t)sinn①tdtnTT 0—2式中T—周期； 基頻，=2/T。三角函數(shù)展開式的另一種形式:N次諧波的幅值||N次諧波的頻率8 /%(t)=a0+ZAnC0S(n_0t+^n) N次諧波信號(hào)的均值，直流分量I In次諧波的相角

A=^a2+b2-b。=arctg n_nn=1,2,3,A周期信號(hào)可以看作均值與一系列諧波之和一諧波分析法頻譜圖1111II***%如?！? (周期信號(hào)的頻譜三個(gè)特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性例1：求周期性非對(duì)稱周期方波的傅立葉級(jí)數(shù)并畫出頻譜圖解：解：信號(hào)的基頻傅里葉系數(shù)x(t)At非對(duì)稱周期方波—周期方波—t的偶函數(shù)奇函數(shù)：a0=an=t的偶函數(shù)2(Tj2x(t)sinn①tdt-~24f2Asinn①tdt=?"1一cosn丸］T0n為奇數(shù)(n為奇數(shù)n為偶數(shù)n次諧波的幅值和相角a2+a2+b2=b8n丸，n2(n=1,3,5,A)最后得傅立葉級(jí)數(shù)(n=1,3,5,A)/八(n=1,3,5,A)x(t)=z cos(nWt-2)n頻譜圖Af丸4A4AI*故33353000?幅頻譜圖 相頻譜圖二、周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式歐拉公式e土加t=cosWt土jsin①t

<[?1( )cos①t=e-加t+ej。t/2Sin。t=je-j。t-e.t)I 2/?=尸傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式8x(t)=zce加01n=-8(n=0,土1,土2,土3,A)復(fù)數(shù)傅里葉系數(shù)的表達(dá)式1Tc=a=j2x(t)dt~2a-jbc—nnn21Tj2x(t)e-網(wǎng)jdtTT—2nn般c是個(gè)復(fù)數(shù)。n其中ann般c是個(gè)復(fù)數(shù)。n因?yàn)閍是因?yàn)閍是n的偶函數(shù)b是n的奇函數(shù)n因此b =—b-n nn-n即：實(shí)部相等，虛部相反，c與c共軛。n-ncn的復(fù)指數(shù)形式共軛性還可以表示為0=—4n—n即：c與c模相等，相角相反。傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)也描述信號(hào)頻率結(jié)構(gòu)。它與三角函數(shù)形式的關(guān)系對(duì)于n>0a2+(—b)2A

"2" =~2T（等于三角函數(shù)模的一半）（與三角函數(shù)形式中的相角相等）（與三角函數(shù)形式中的相角相等）Ac=n—n 2o=—arctg_匕=arctg匕-n a a

用c畫頻譜：雙邊頻譜n第一種：幅頻譜圖：|c|-，相頻譜圖:nn第二種：實(shí)譜頻譜圖:用c畫頻譜：雙邊頻譜n第一種：幅頻譜圖：|c|-，相頻譜圖:nn第二種：實(shí)譜頻譜圖:Rec- ，虛頻譜圖：Imc- ；也就是&-nnn#n<pagebreak>§2-3 非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜分兩類：準(zhǔn)周期信號(hào)定義：由沒有公共周期（頻率）的周期信號(hào)組成頻譜特性：離散性，非諧波性判斷方法：周期分量的頻率比（或周期比）不是有理數(shù)瞬變非周期信號(hào)幾種瞬變非周期信號(hào)數(shù)學(xué)描述：傅里葉變換一、傅里葉變換演變思路：視作周期為無窮大的周期信號(hào)式(2.22)借助(2.16)演變成：工但的傅里葉變換X(3)x(t)=Is1Isx(t)e-jsdteEd①—s2k[-—^0 --J定義x(t)的傅里葉變換X(3)XG)=/x(t)e-jtdt—sX(3)的傅里葉反變換X(t)：x(t)= IsX(①)ej?td①衍—s傅里葉變換的頻譜意義：一個(gè)非周期信號(hào)可以分解為角頻率連續(xù)變化的無數(shù)諧波1…、 ，X(①)ej-1如的疊加。稱X()其為函數(shù)x(t)的頻譜密度函數(shù)。對(duì)應(yīng)關(guān)系：X()描述了x(t)的頻率結(jié)構(gòu)X()的指數(shù)形式為X(①)=X(①)ej偵①)以頻率f(Hz)為自變量，因?yàn)閒=w/(2p)，得X(f)=js%(t)e-j2兀ftdt—s%(t)=產(chǎn)X(f)ej2兀ftdf—sX(f)的指數(shù)形式X(f)=X(f)ej(f)頻譜圖幅值頻譜圖和相位頻譜圖:幅值頻譜圖相位頻譜圖幅值頻譜圖相位頻譜圖X(o)實(shí)頻譜圖ReX（s）和虛頻譜圖Im（3）如果X（）是實(shí)函數(shù)，可用一張X（）圖表示。負(fù)值理解為幅值為X（）的絕對(duì)值，相角為"或。二、傅里葉變換的主要性質(zhì)（一）疊加性ax(t)+ax(t)—ft^aX(f)+aX(f)11 22 1 1 2 2（二）對(duì)稱性X(t)—r^x(—f)（注意翻轉(zhuǎn)）時(shí)移性質(zhì)x(t土t)—f—TX(f)e土j2兀ft00（幅值不變，相位隨f改變±2ft0）（四）頻移性質(zhì)x(t)e土，2”打0——TX(f

（注意兩邊正負(fù)號(hào)相反）（五）時(shí)間尺度改變特性1 fx(at)=_X()

~a ~~a（六）微分性質(zhì)dtn（七）（1）卷積性質(zhì)卷積定義x(t)*y(t)=j^x(t)y(t-T)d氣dtn（七）（1）卷積性質(zhì)卷積定義x(t)*y(t)=j^x(t)y(t-T)d氣（2）卷積定理x(t)*y(t)—FT^X(_)Y(_)x(t)y(t)——^X(_)*Y(_)三、脈沖函數(shù)及其頻譜（一） 脈沖函數(shù)：x（t）,1/8 '(t)x(t)87^8/2定義函數(shù)（要通過函數(shù)值和面積兩方面定義）函數(shù)值：§(t)=〈脈沖強(qiáng)度（面積）(t)dt=1（二）脈沖函數(shù)的樣質(zhì)1.脈沖函數(shù)的采性（相乘）樣質(zhì)：§(t)X（t）§(t)x(t)§(t-t)=<0強(qiáng)度:此工(t)8(t-1)dt=x(t)此8(t-1)dt=x(t)—8 0 0-8 0 0結(jié)論：1.結(jié)果是一個(gè)脈沖，脈沖強(qiáng)度是x(t)在脈沖發(fā)生時(shí)刻的函數(shù)值2.脈沖函數(shù)與任意函數(shù)乘積的積分等于該函數(shù)在脈沖發(fā)生時(shí)刻的的值。2. 脈沖函數(shù)的卷積性質(zhì)：(a)利用結(jié)論2x(t)*8(t)=J8x(T)8(t-T)dT

—8 0=x(t)J88(t-T)dT-8=x(t)(b)利用結(jié)論2x(t)*8(t-t0)=J：x(T)8(t-t0-T)dT=x(t-t0)匕8(t-t0-T)dT=x(t—t)0結(jié)論：平移（三）脈沖函數(shù)的頻譜8(t)—/r