一、中心力場的徑向方程的回顧二、無限深球方勢阱三、三維各向同性諧振子2一、中心力場的徑向方程的回顧(1)為在V

(r)給定后能確定本征態(tài)和本征值E。3能量本征方程

[考慮到V

(r)的球?qū)ΨQ性，采用球坐標(biāo)：設(shè)質(zhì)量為的粒子在中心勢V

(r)中運(yùn)動(dòng)，則Hamilton

V

(r)]

Er

2r

2p?

V

(r)

p?

2222?為

H

2r

2r

2r

r

2

2r

2r

r

r

2r

l?2r

r2

222

V

(r)

2

22

2

l?22

l?2

一、中心力場的徑向方程的回顧(2)?

?4

(r,

,)

Rl

(r)f

(

,)既是H?的本征函數(shù)，??

?

?

?要采用分離變量法，故設(shè)

(r,

,)

Rl

(r)f

(

,)

V

(r)]

E能量本征方程[22

2

2zf

(

,)

Ylm

(

,)

(r,

,)

ml

(r,

,)

Rl

(r)Ylm(

,)z

z]

0

（H?，l?

,l

）

完全集[l

,

H

]

0且[l

,

l也應(yīng)是l

和l

的共同本征函數(shù)。由此

得到r

2

2

l?22r

r

2

2r

2一、中心力場的徑向方程的回顧(3)其中，l

(r)

rRl

(r)

徑向波函數(shù)

取決于V

(r)

V

(r)]

E[rr

將

lm

(r,

,)

Rl

(r)Ylm

(

,)代入2

2

l?22r

r

2

2r

2ll或

(r)

[

2

(E

V

(r))

l(l

1)

]

(r)

02

r

2ll

lR(r)

2

R(r)

[

2

(E

V

(r))

l(l

1)

]R

(r)

02

r

2得到徑向方程5二、無限深球方勢阱(1)20

02

0,

r

a對無限深球方勢阱

V

(r)

,

r

a

,2

2

l?2能量本征方程為

[

r

V

(r)]

E2r

r

2

2r

2其解為

lm

Rl

(r)Ylm

(

,)，其中Rl

(r)滿足徑向方程

(r)

2

[E

V

(r)]

(r)

0llr

2

(r)

[

2

(E

V

(r))

l(l

1)]

(r)

0,

l

0,1,

2,,1、s態(tài)（即l

0的情況）ll

(r)

67二、無限深球方勢阱(2)0

0220

0勢阱內(nèi)（0

r

a）,V

(r)

0,令k

2E

/r

2

(r)

k

1、s態(tài)

(r)

2

[E

V

(r)]

(r)

0在邊界條件0

(0)

0

(a)

0下求解此方程(r)

0

解為c

sin

kr或c

cos

kr0

(0)

0，取

0

(r)

c

sin

kr再由0

(a)

0

sin

ka

0

ka

(nr

1)nr

0,1,2,,

能量本征值為2a22

(n

1)2E

En

r

,

nr

0,1,

2,,ll

(r)

8二、無限深球方勢阱(3)0

020nr0(r)

ra0nr[

(r)]2

dr

1a

a

22

(n

1)22a22

sin

(nr

1)

r

,

0

r

a本征態(tài)1、s態(tài)

(r)

2

[E

V

(r)]

(r)

0在邊界條件0

(0)

0

(a)

0下本征值

E

En

r

,

nr

0,1,

2,,可以可以證明9二、無限深球方勢阱(4)2、s與非s態(tài)（l

0）

勢阱內(nèi)（0

r

a）徑是球Bessel方程，其解Rl

(r)

（jlrkr）,

k

2E

/d

)l

sin

xdx

x（jl

kr)為球Bessel函數(shù):j

(在邊界條件Rl

(a)

0下,有jl

(ka)

0,若令x

ka

從jl

(x)

0解出根，記為xn

l，nr

0,1,2,,l

llrr

2向方程為R

(r)

2

R(r)[k

2

l(l

1)]R

(r)

0nr

表示jl

(x)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。jl

(x)的節(jié)點(diǎn)數(shù)xjl

(x)j0

(x)j1(x)2j

(x)3j

(x)x0,00,1x0,2x0,3xx1,0101,1x二、無限深球方勢阱(5)a)]1}1

21102a)

j

(ka3l

1

nrll

1

nrl

Rl

(r)

Rn

l

(r)

jl

(kn

l

r)

Rn

l

(r)

Cn

l

jl

(kn

l

r),r

r

r

r

r,nr

nrnrl

nr

laR

(r)R

(r)r

2

dr

nrl得到

C

{

2

[

j

(kn

lr2E

/

E

En

l

2a

xr

2又

k

Rl

(a)

0

（jl

x)

0,

x

ka

記xn

l為（jl

x)

0r的根，nr

0,1,2,,

nr

表示（jl

x)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

k

x

/

a，故可將k表示為kn

l

xn

l

/

a，,r

r2由二、無限深球方勢阱(6)x

x12x2x

dx

xll

ll1)

x

(球Bessel函數(shù)j

(x)(rn

lr)1

d

sin

x0

1

j

(x)

sin

x

,

j

(x)

sin

x

cos

x2,

n

0,1,2,,E

En

l

2a

xr

2Rn

l

(r)

Cn

l

jl

(k

r)

Cn

l

jl

(x),

x

krr

r

r從jl

(x)

0，得到nr

個(gè)根xn

l，從而得到r2二、無限深球方勢阱(7)這是s態(tài)（l

0)時(shí)已得到的結(jié)果。E

En

r

,

nr

0,1,2,,j0

(x

ka,

k

2E

sin

x0)

j

(x)

1

d

sin

xx

dx

x

xl

0nrll

ljl

(x)

(1)

x

(

(nr

1)

,

nr

0,1,2,....r2a2

22

(n

1)21314二、無限深球方勢阱(8)2x22a2220101nr

1

E11

11nr

1

rx2x2x22a222a22a2l

sinx

ka,

k

2E

E

,

n

0

E

rj1

(x)

0

x

tg11,...,

xn

1,...nr

0,1,

2nrlnr

1r用類似的方法能得到l

2,3,....時(shí)的xn

llx

dj

(x)

(1)l

xl(

1

d

E

E

15二、無限深球方勢阱(9)當(dāng)給定nr

和l后，En

l

給定，但m

l,l

1,,l

1,l有(2l

1)r個(gè)

每個(gè)En

l

對應(yīng)(2l

1)個(gè)

n

lm

能級(2l

1)度簡并r

r162l

1

(l

m)!a)]1}1

200

a3C

{

2

[

j

(k a)

j

(kl

1

nrl

l

1

nrl22(x

ak

)與E

x

相對應(yīng)的本征函數(shù)為20mlP

(cos

)e4

(l

m)!imlmY

(

,)

(1)manr

nr

ll

mmnr

lmnr

lm(r,

,)r

2dr

(r,

,)

*sin

ddnrlnr

lmn

l

jl

(kn

l

r)Ylm

(

,),r

r

(r,

,)

Rn

l

(r)Ylm

(

,)

Crn

ln

ln

l n

lrrrr2a217二、無限深球方勢阱(10)*2d

sin

d

0

k

n

lm

(r,

,)

Cn

l

jl

(kn

l

r)Ylm

(

,),r

r

rnrlmr本征值對應(yīng)的量子數(shù)l和m,可以對

n

lm進(jìn)行分類，r從而保證對應(yīng)同一能級En

l的(2l

1)個(gè)不同簡并態(tài)r

n

lm之間的正交性得到保證：每個(gè)En

l

對應(yīng)(2l

1)個(gè)

n

lm

能級(2l

1)度簡并r

r

是(H?

,l

2

,l

)的共同本征函數(shù)，利用l

2和l

的z

z0

anrlm

nrlm

nrnr

ll

mm

r

2

dr

0二、無限深球方勢阱(11)以nr111，110此時(shí)正交歸一性可a可見，運(yùn)用力學(xué)量完全集以后，解決同一能級Ek的不同簡并態(tài)

k

之間的正交性問題d0r

2d*

11m

11m0

2

0sin

d18三、三維各向同性諧振子(1)三維各向同性諧振子:V

(r)

2r

2

/2具有中心對稱性，徑向方程為2r

2l(l

1)Rl

(r)]Rl

(r)

0lr

22

2

r

2

2R

(r)

[(E

)

采用自然單位，令

1，有R

(r)

2r

1R(r)

[2E

r

2

l(l

1)r

2

]R

(r)

0l

l

l如何加以求解？可令Rl

(r)

f

(r)u(r),

將關(guān)于Rl

(r)的方程轉(zhuǎn)換為u(r)的方程，而f

(r)則從

r

0和r

時(shí)的漸近行為中獲得。19三、三維各向同性諧振子(2)的概率，應(yīng)該有l(wèi)imr

0r

0要求lim

|

(r)

|2

r

3

0,

若

(r)～r

s

s

3

/

232|

(r)

|

d

0,

d

r0

01、波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋對波函數(shù)漸近行為的要求波函數(shù)

(r),若

(r

0)

,則r

0是

(r)的奇點(diǎn)，粒子出現(xiàn)在r

0的概率應(yīng)該為0。設(shè)體積元

0是以r

0為球心、半徑為r的小球，2如果要求積分

|

(r)

|

d

能代表粒子出現(xiàn)在

0Rl

(r)

f

(r)u(r)2021三、三維各向同性諧振子(3)r

02、徑向波函數(shù)在r

0時(shí)的漸近行為若lim

r

2V

(r)

0,則徑向方程2s2在r

0的領(lǐng)域內(nèi)，設(shè)R

(r)

rs

,代入上式，得l

s

l(l

1)

0

s

l,s

(l

1)，

r

0時(shí)，l

lll

lllrr

2R

(r)

2

R(r)

[

2

(E

V

(r))

l(l

1)]R

(r)

0rr

2在r

0時(shí)，有

R

(r)

2

R(r)

l(l

1)R

(r)

0,R(r)

rl或r

(l

1)，但

要求(l

1)

3

/

2,若l

1l

lR

(r)

r

(l

1)的解要舍去

r

0時(shí),R

(r)

rl三、三維各向同性諧振子(4)3、徑向波函數(shù)在r

時(shí)的漸近行為對三維各向同性諧振子，V

(r)

2r2

/2,采用自然單位，徑向方程為R

(r)

2r1R(r)

[2E

r

2

l(l

1)r

2

]R

(r)

0l

l

l為求解Rl

(r)，設(shè)Rl

(r)

f

(r)u(r),

將關(guān)于Rl(r)的方程轉(zhuǎn)換為u(r)的方程，而f

(r)則從

r

0和lr

時(shí)的漸近行為中獲得。r

0時(shí),R

(r)

rlr

時(shí)，有R(r)

r

2

R

(r)

0

R

(r)

er2

/2l

l

l這是

R

rR

,

R

R

r

2

R

r

2

Rl

l

l

l

l

l22三、三維各向同性諧振子(5)4、三維諧振子徑R

(r)

2r

1R(r)

[2E

r

2

l(l

1)r

2

]R

(r)

0l

l

l2r

0時(shí),

有R

(r)

rl

;

r

時(shí)，有R

(r)

e

r

/2l

l2可設(shè)

R

(r)

f

(r)u(r)

rle

r

/

2u(r),

得到23lu

(r)

2r

1

(l

1

r

2

)u(r)

[2E

(2l

3)]u(r)

0令

r

2

,

(l

3

/

2

E)

/

2,

l

3

/

2,

有2d

ud

2

ddu

(

)

u

0

u(r)

F

(

,

,

)F

(

,

,

)

合流超幾何函數(shù).24三、三維各向同性諧振子(6)2

2F

(

,

,

)

1

(

1)

2

(

1)2

(

1)(

2)

3

(

1)(

2)3!l

llF

(

,

,

)R

(r)

2r

1R(r)

[2E

r

2

l(l

1)r

2

]R

(r)

0ll

r

/

2l

r

/

2R

(r)

f

(r)u(r)

r

eu(r)

r

e

可以證明，

時(shí)，無窮級數(shù)F

(

,

,

)

e

F

(

,

,

)不能作為波函數(shù)，必須將其中斷為多項(xiàng)式當(dāng)

0或負(fù)整數(shù)時(shí)，可將F

(

,

,

)化為多項(xiàng)式，即F

(

,

,

)

n。但依然有F

(

,

,

)

n

4、三維諧振子徑三、三維各向同性諧振子(7)2F

(

,

,

)

1

(

1)

2

(

1)2l

/

2

/

2

(

1)(

2)

3

(

1)(

2)3!

0,1,

2,

F

(

,

,

)

l

lll

r

/

2R

(r)

2r

1R(r)

[2E

r

2

l(l

1)r

2

]R

(r)

0R

(r)

r

elF

(

,

,

),

r

2lnr

rF

(

,

,

)

e

e

e

,

R

(r)

多項(xiàng)式若令

n

,n

(2nr

l

3

/

2)rlr

l

/

2

/

2

n

(l

3

/

2

E)

/

2

E

En則R

(r)

e

0，必須有

n4、三維諧振子徑25三、三維各向同性諧振子(8)5、三維諧振子的能量本征值與徑向方程的本征態(tài)E(2nr

l

3/2),若令N

2nr

l,并加上能量的自然單位，有E

EN

(N

3

/

2)，N

0,1,2,,22262

20rnrlr2

2l

2nl

r

/

2nrl(r)]2

r

2dr

1lrl

r

/

2R

(r)

r

eu(r)

F

(n

,

,

)u(r),且rF

(n

,

l

3

/

2,

r

)1

22 (2l

2n

1)

!R

(r)

3/

2

r

n

![(2l

1)

!]

(

r)

e可以證明

[R，歸一化后三、三維各向同性諧振子(9)2

22l

r

/

22

22*00

(

r)

ernrl

2l

2n1

2(2l

2n

1)

!R

(r)

3/

2

r

n

![(2l

1)

!]nrlm(r,

,

)r

2drr

r

r

rF

(n

,

l

3

/

2,

r

)a

(r,

,

)nrlmn

ndsin

d0

ll

mm6、三維諧振子的能量本征值與能量本征態(tài)與E

EN

(N

3

/

2)

相對應(yīng)的本征函數(shù)為

n

lm

(r,

,

)

Rn

l

(r)Ylm

(

,

)r

r27N

2nr

l,

m

l,

l

1,,

l

1,

l三、三維各向同性諧振子(10)2即N

0時(shí)fN

1,能級不簡并；N

1時(shí)fN

3，能級N并的?？梢宰C明，簡并度為f

1

(N

1)(N

2)7、三維諧振子的能級簡并度E

EN

(N

3

/

2)

，N

2nr

l

0,1,

2,能級是均勻分布的，相鄰能級的差都是；由于N

2nr

l，對同一個(gè)N

,有(nr,l)的不同

組合與其對應(yīng)，但每給定一組(nr

,l)

一個(gè)能量本征態(tài)

n

lm

(r,

,

)

Rn

l

(r)Ylm

(

,

)

能級是簡r

r是3重簡并的；N

2時(shí)fN

6，能級是6重簡并的,,28三、三維各向同性諧振子(11)

n

n

nx

y

z(x,

y,

z)

n

(x)n

(

y)n

(z),

nx

,

ny

,

nz

0,1,2,x

y

z29

y2

z2

)??

?

??2

2

,

x,y,z

線性諧振子2