第2章線性偏微分方程分類LinearPartialDifferentialEquations12.1偏微分方程基本概念自變量未知函數(shù)偏微分方程普通形式數(shù)學(xué)物理方程2PDE階：PDE解古典解廣義解一些概念:是指這么一個(gè)函數(shù)，它滿足方程，而且在所考慮區(qū)域內(nèi)有m階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。線性PDE非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE數(shù)學(xué)物理方程3線性PDE：PDE中對(duì)所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)全體都是線性。比如：常系數(shù)線性PDE:不然稱為變系數(shù)．齊次線性PDE:不然稱為非齊次．線性PDE主部:含有最高階數(shù)偏導(dǎo)數(shù)組成部分。主部數(shù)學(xué)物理方程4PDE中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)是線性。比如：半線性PDE：完全非線性PDE：PDE中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)不是線性。擬線性PDE：擬線性PDE中，最高階導(dǎo)數(shù)系數(shù)僅為自變量函數(shù)。比如：數(shù)學(xué)物理方程5舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）1.2.變換解為：解為：數(shù)學(xué)物理方程6舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）4.3.解為：變換解為：數(shù)學(xué)物理方程75.不易找出其通解，但還是能夠找出一些特解任意解析函數(shù)實(shí)部和虛部均滿足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程數(shù)學(xué)物理方程舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）其中87.擬線性PDE8.擬線性PDE9.半線性PDE10.半線性PDE11.完全非線性PDE數(shù)學(xué)物理方程舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）9拉普拉斯(Laplace)方程熱傳導(dǎo)方程波動(dòng)方程數(shù)學(xué)物理方程舉例（未知函數(shù)為多元函數(shù)）102.2二階線性偏微分方程分類兩個(gè)自變量，齊次主部目：經(jīng)過自變量非奇異變換來簡(jiǎn)化方程主部，從而據(jù)此分類。非奇異（1）數(shù)學(xué)物理方程11復(fù)合求導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程12系數(shù)之間關(guān)系（2）（1）（3）數(shù)學(xué)物理方程13其它系數(shù)之間關(guān)系（3*）數(shù)學(xué)物理方程14考慮如若能找到兩個(gè)相互獨(dú)立解那么就作變換從而有（4）數(shù)學(xué)物理方程15假設(shè)是方程特解，則關(guān)系式是常微分方程（4）（5）普通積分。反之亦然。引理

由此可知，要求方程（4）解，只須求出常微分方程（5）普通積分。數(shù)學(xué)物理方程16定義稱常微分方程（5）為PDE（1）特征方程。稱（5）積分曲線為PDE（1）特征曲線。（6）數(shù)學(xué)物理方程17記定義方程(1)在點(diǎn)M處是雙曲型：橢圓型：拋物型：若在點(diǎn)M處，有若在點(diǎn)M處，有若在點(diǎn)M處，有數(shù)學(xué)物理方程18雙曲型PDE右端為兩相異實(shí)函數(shù)它們普通積分為由此令，方程（1）可改寫為雙曲型方程第一標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程第二標(biāo)準(zhǔn)型數(shù)學(xué)物理方程19拋物型PDE由此得到普通積分為由此令其中,為獨(dú)立任意函數(shù)。數(shù)學(xué)物理方程20因?yàn)橛纱送瞥鰯?shù)學(xué)物理方程21所以，方程（1）可改寫為拋物型方程標(biāo)準(zhǔn)型而數(shù)學(xué)物理方程22橢圓型PDE右端為兩相異復(fù)數(shù)由此推出兩族復(fù)數(shù)積分曲線為其中數(shù)學(xué)物理方程23由此令從而方程（1）可改寫為，滿足方程（4）橢圓型方程標(biāo)準(zhǔn)型數(shù)學(xué)物理方程24例1拋物型方程令數(shù)學(xué)物理方程25例2雙曲型方程數(shù)學(xué)物理方程26例3Tricomi方程橢圓型雙曲型拋物型數(shù)學(xué)物理方程27數(shù)學(xué)物理方程28本章綜合習(xí)題1、確定以下各方程為雙曲線型、拋物型或橢圓型范圍，并在對(duì)應(yīng)區(qū)域中化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：數(shù)學(xué)物理方程292、求出以下各方程通解，并代回原方程來檢驗(yàn)是否有解：（c為常數(shù)）（c為常數(shù)）數(shù)學(xué)物理方程303、求以下