試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆湖北省百校高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，，再求兩集合的交集即可.【詳解】因為，所以，因為，所以.故選：D2．曲線在點處的切線斜率為（

）A． B．1 C．0 D．【答案】B【分析】利用導數(shù)的幾何意義即可求得函數(shù)在某點處的切線斜率.【詳解】因為，所以，所以在點處的切線斜率為.故選：B.3．設命題，命題：每個三角形都有內切圓，則（

）A．的否定：B．是真命題C．的否定：存在一個三角形沒有內切圓D．是假命題【答案】C【分析】結合命題的否定的改寫方法以及命題的真假可判斷.【詳解】命題的否定應為：，所以A錯誤；因為在單調遞增，所以，所以，所以命題為假命題，所以B錯誤；命題的否定：存在一個三角形沒有內切圓，所以C正確；任何三角形都有內切圓，所以命題q為真命題，所以D錯誤.故選:C.4．設一個等差數(shù)列的前4項和為3，前8項和為11，則這個等差數(shù)列的公差為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設出公差，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式列出方程組，求出公差【詳解】設這個等差數(shù)列的公差為，首項為，則，，解得：.故選：A5．在中，為邊上的中點，為直線上一點，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)向量加法法則結合充分條件、必要條件的定義進行判定即可.【詳解】因為為邊上的中點，所以.若，則，則.反之由，為直線上一點，可得，則或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)在上的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的圖象變換求解【詳解】將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象，故選：C7．在西雙版納熱帶植物園中有一種原產于南美熱帶雨林的時鐘花，其花開花謝非常有規(guī)律.有研究表明，時鐘花開花規(guī)律與溫度密切相關，時鐘花開花所需要的溫度約為，但當氣溫上升到時，時鐘花基本都會凋謝.在花期內，時鐘花每天開閉一次.已知某景區(qū)有時鐘花觀花區(qū)，且該景區(qū)6時時的氣溫（單位：）與時間（單位：小時）近似滿足函數(shù)關系式，則在6時時中，觀花的最佳時段約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．時時 B．時時C．時時 D．時時【答案】C【分析】由三角函數(shù)的性質求解【詳解】當時，，則在上單調遞增.設花開?花謝的時間分別為.由，得，解得時；由，得，解得時.故在6時時中，觀花的最佳時段約為時時.故選：C8．設，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】比較與的大小可轉化為比較與，即與的大小，進而取與比較大小；而比較與的大小可轉化為比較與，即與的大小，進而取與比較大小，即與比較大小，從而可構造函數(shù)，求導并判斷單調性，從而可得，即；由，可得，變形可得，從而可得，即得.【詳解】設函數(shù)，則，所以在上單調遞減，因此，則，即.當時，由，得，因此，則，即，故.故選：B【點睛】思路點睛：求解本題的關鍵是構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性，從而可得的大小關系；再由取對數(shù)變形得，可判斷的關系.二、多選題9．設，且函數(shù)的定義域為，則（

）A．B．函數(shù)的定義域為C．函數(shù)的值域為D．函數(shù)在定義域內為增函數(shù)【答案】ABD【分析】由的解析式和定義域，可求出的解析式和定義域，選項逐個驗證即可.【詳解】因為，若，則，所以，的定義域為，故B選項對；則，故A選項對；由二次函數(shù)性質可知在定義域內為增函數(shù)，的值域為，故C選項錯，D選項對.故選：ABD.10．若，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，再代入的值求解即可.【詳解】，所以，所以，即.當時，，當時，，當時，，故選：ACD11．若由函數(shù)構造的數(shù)列滿足，則稱為單位收斂函數(shù).下列四個函數(shù)中，為單位收斂函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對于A，根據(jù)函數(shù)的形式可得數(shù)列的通項，利用放縮法可得前8項和大于1，故可判斷A的正誤；對于B、D利用裂項相消法可判斷BD的正誤；對于C，利用求和公式和不等式的性質可判斷C的正誤.【詳解】若，則，則，故不是單位收斂函數(shù).若，則，故為單位收斂函數(shù).若，則，，故為單位收斂函數(shù).若，則，，當時，，故不是單位收斂函數(shù).故選：BC.12．已知函數(shù)，則（

）A．的極大值為B．的最小值為C．當?shù)牧泓c個數(shù)最多時，的取值范圍為D．不等式的解的最大值與最小值之差小于【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值、最值，即可判斷A、B，再根據(jù)函數(shù)的極值及零點求出參數(shù)的取值范圍，即可判斷C，再根據(jù)特殊值判斷D；【詳解】解：因為，所以.當或時，；當或時，.即在和上單調遞減，在和上單調遞增，所以函數(shù)在取得極小值，在處取得極大值，在處取得極小值，又，，故的極大值為，的最小值為，故A正確，B錯誤.所以零點個數(shù)最多為，此時，，解得，C正確.不等式，即，令，則.當或時，；當或時，.即在和上單調遞減，在和上單調遞增，所以的函數(shù)圖象如下所示：因為，，則的解的最大值與最小值之差小于，即不等式的解的最大值與最小值之差小于，D正確.故選：ACD三、填空題13．已知向量且，則___________.【答案】-28【分析】由平面向量平行與垂直的坐標運算,列方程組求解【詳解】因為且，所以，解得.故答案為：-2814．寫出一個同時滿足下列三個性質的函數(shù)：___________.①為奇函數(shù)；②為偶函數(shù)；③在上的最大值為2.【答案】（答案不唯一）【分析】寫出符合要求的三角函數(shù)即可.【詳解】從三角函數(shù)入手，由于為奇函數(shù)，可考慮正弦函數(shù)，再結合為偶函數(shù)，且在上的最大值為2，故可以為：或均可.故答案為：15．如圖，現(xiàn)要鑄造一個四面體的零件，已知平面平面為正三角形，，且，則該零件（四面體）體積的最大值為___________.【答案】【分析】由面面垂直的性質得面，設，則，應用棱錐體積公式得，結合導數(shù)求其最大值即可.【詳解】因為面面，面面，面，所以面.設，則，四面體的體積為，則，則.當時，即遞增；當時，即遞減.所以.故答案為：16．已知正數(shù)滿足，則的最小值是___________.【答案】1【分析】由于，結合，所以利用“1”的妙用化簡后，再利用基本不等式即可得出答案【詳解】解：因為是正數(shù)，所以且，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值是1，故答案為：1四、解答題17．在等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）等比數(shù)列可求出首項、公比和通項，可得到數(shù)列的通項.（2），采用分組求和法求.【詳解】(1)設等比數(shù)列的公比為，則所以，故.(2)由(1)得，，.18．已知函數(shù)的最小值為1，最小正周期為，且的圖象關于直線對稱.(1)求的解析式；(2)將曲線向左平移個單位長度，得到曲線，求曲線的對稱中心的坐標.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最小值及最小正周期，求出，再根據(jù)函數(shù)圖象關于對稱，結合，求出，從而求出函數(shù)解析式；（2）先求出平移后的解析式，再用整體法求解對稱中心.【詳解】(1)依題意可得解得，則，因為的圖象關于直線對稱，所以，又，所以.故.(2)依題意可得，令，得，故曲線的對稱中心的坐標為.19．已知函數(shù).(1)討論的單調性.(2)當時，試問曲線是否存在過坐標原點且斜率不為0的切線？若存在，求切點的橫坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)存在，切點的橫坐標為【分析】(1)利用導數(shù)來討論單調性，求單調區(qū)間；(2)根據(jù)過曲線外的一個點作曲線的切線的求解方法即可.【詳解】(1).當時，在上單調遞增.當時，若；若.則在上單調遞減，在上單調遞增.當時，若；若.則在上單調遞增，在上單調遞減.(2)設切點為，則消去，得，即，解得或.當時，；當時，.所以曲線存在過坐標原點且斜率不為0的切線，且切點的橫坐標為.20．記△的內角，，的對邊分別為，，，已知.(1)若，求；(2)若，求的最小值.【答案】(1)或(2)最小值【分析】（1）將代入，使用三角恒等變換化簡可求得，再用三角形內角和可求出；（2）使用正弦定理，將化角得，再利用已知條件，將，轉化為（或將，轉化為），使用基本不等式求解.【詳解】(1)∵，，∴，∴，整理得，∴∴，∵，∴，所以或，解得或，∵，∴或.(2)∵，∴∴，∴，∴∴，∵，∴，即∴，∴，，，∴令（），則，，由正弦定理，∵，∴，當且僅當即時取等號，∴的最小值為.21．若，則稱在區(qū)間上的圖象是凹的；若，則稱在區(qū)間上的圖象是凸的.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的圖象是凹的還是凸的，根據(jù)凹凸性的定義證明你的結論；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的圖象是凹的還是凸的，根據(jù)凹凸性的定義證明你的結論.【答案】(1)圖象是凹的，證明見解析(2)圖象是凸的，證明見解析【分析】（1）、（2）根據(jù)函數(shù)定義證明即可【詳解】(1)解：在區(qū)間上的圖象是凹的.證明如下：，則因為，所以，且，所以，所以，即，故在區(qū)間上的圖象是凹的.(2)函數(shù)在區(qū)間上的圖象是凸的.證明如下：，則，因為，所以，所以，即，故在區(qū)間上的圖象是凸的.22．已知函數(shù).(1)當時，求在上的值域；(2)若有兩個零點，且，證明：且.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出，則可得在上的單調性，即可求出其最值，則可得出答案；（2）由有兩個零點，易知，由此可得，又由可知，則可證；令，要證，只需證，易知，結合在上單調遞減，則可證，又，即可證，令函數(shù)，求出，易證恒成立，則可