第一部分：概念公式1、排列：從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2、組合：從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)的為排列問(wèn)題,與順序無(wú)關(guān)的為組合問(wèn)題.注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問(wèn)題。3、加法原理：如果完成一項(xiàng)工作有兩類相互獨(dú)立的方式A和B,在方式A中有m種完成任務(wù)的途徑,在方式B中有n種完成任務(wù)的途徑,則完成這項(xiàng)工作的總的途徑有m+n種.4、乘法原理：如果完成一項(xiàng)工作有兩個(gè)連續(xù)的步驟A和B,在步驟A中有m種不同的方式,在步驟B中有n種不同的方式,則完成這項(xiàng)工作的總的方法有m*n種.注意：0?。?第二部分：排列組合解決方法一：特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法。由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).先排末位共有（C(3,1)）然后排首位共有（C(4,1)）最后排其它位置共有（A(4,3)）由分步計(jì)數(shù)原理得（C(3,1)C(4,1)A(4,3)=288）練習(xí)１：六人站成一排，求

(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)

(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)

分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。

第一類：乙在排頭，則直接符合要求，共有A(5,5)=120種站法。

第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，則有A(4,1)可選，此時(shí)甲不能在排頭則有A(4,1)可選，其余A(4,4)。則有A(4,1)A(4,1)A(4,4)=384種站法，

共共有504種種站法。方法2：間接法

一共有A(6,6)種方法若A排頭有A(5,5),B排尾有A(5,5),其中重復(fù)了A排頭B排尾的情況有A(4,4)

所以共有A(6,6)-2A(5,5)+A(4,4)=504

方法3：插空法

先讓除A其余五個(gè)人任意排列然后讓A插入（不能插第一個(gè)位置）共有五個(gè)位置可插入

則共有5A(5,5)

其中排除B在尾的狀況4A(4,4)

則有5A(5,5)-4A(4,4)=504（2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，則保證不相鄰。有A（4,4）種方法。

第二類：甲在排尾，乙不在排頭，且甲乙不相鄰的有A(3,1)×A（4,4）種方法。

第三類：乙在排頭，甲不在排尾，且甲乙不相鄰的有3×A（4,4）種方法。

第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有（中間四個(gè)位置挑二個(gè)不相鄰的給甲乙）6×A（4,4）種方法（排除相鄰）。

共共A（4,4）+3×A（4,4）+3×A（4,4）+6×A（4,4）=312。二：相鄰元素捆綁策略要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.例：7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A（5，5）*A（2，2）*A（2，2）=480練習(xí)1：5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?因?yàn)榕旁谝黄?所以可以將3個(gè)女生看成是一個(gè)人,與5個(gè)男生作全排列,有A（6，6）種排法,其中女生內(nèi)部也有A（3，3）種排法,根據(jù)乘法原理,共有A（6，6）*A（3，3）種不同的排法.三：不相鄰問(wèn)題插空策略元素不相鄰問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端例.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有A(5,5)種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法A(6,4)，由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有A(5,5)*A(6,4)種練習(xí)1：某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?

∵連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問(wèn)題。另外沒(méi)有命中的之間沒(méi)有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即A（5，2）＝20。例習(xí)2：馬路上有編號(hào)為l，2，3，……，10十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒(méi)有區(qū)別，因而問(wèn)題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。

∴共C（6，3）=20種方法。四：定序問(wèn)題倍縮空位插入策略(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)例：7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少種不同的排法A（7，7）/A（3，3）練習(xí)1：期中安排考試科目9門,語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?答：1/2*A（9，9）練習(xí)2：有1、2、3，...，9九個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的5位數(shù)？

答案是A(9,5)/A(3,3)五：重排問(wèn)題求冪策略一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mn種例：把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種分法.,把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有76種不同的排法練習(xí)1：某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法答案：78練習(xí)2：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為分析：插空法：先放入一個(gè)節(jié)目有六個(gè)位置。再放入另一個(gè)節(jié)目有七個(gè)位置。即6*7=42。六：一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究多排問(wèn)題直排策略例：8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排。先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有A（4，2）種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有_A（4，1）種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有_A（5，5）種,則共有A（4，2）*A（4，1）*A（5，5）種.七：元素相同問(wèn)題隔板策略將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用（m-1）塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的(n-1)個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為C(n-1,m-1)例：有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有__C（9，6）_________種分法。練習(xí)1：10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一有多少裝法？答案：C（9，4）練習(xí)2：把10本相同的書分給編號(hào)1,2,3的閱覽室，要求每個(gè)閱覽室分得的書數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，則不同的分發(fā)有多少種？分析1：先讓2、3號(hào)閱覽室依次分得1本書、2本書；

再對(duì)余下的7本書進(jìn)行分配，保證每個(gè)閱覽室至少得一本書，

這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入兩個(gè)相同“|”（一般可視為“隔板”）共有C(6,2）種插法，即有15種分法。八：排列組合混合問(wèn)題先選后排策略解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排（先處理組合再考慮排列）是最基本的指導(dǎo)思想.例:5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有C(5,2)____種方法.再把5個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有_A(4,4)__種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_C(5,2)*A(4,4)____練習(xí)1：從0，l，2，……，9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?

分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。

（1）不取0時(shí)，從1到9取3個(gè)奇數(shù)2個(gè)偶數(shù)有C42C53=60種情況，然后排列成5位數(shù)有A55=120種情況。故有60×120=7200種情況。（2）取0時(shí)，從1到9取3個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)有C41C53=40種情況，然后排列時(shí)0不可為首位，故有4A44=96種情況。故有40×96=3840種情況。綜上為11040練習(xí)2：電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?(一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有C73C4(二）選擇10層中的四層下樓有A104種?！喙灿蠧73C42A104=1058400種。九：平均分組除法策略平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以A（n,n）(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。例.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得C(6,2)c(4,2)c(2,2)方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則C(6,2)c(4,2)c(2,2)中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A(3,3)種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故有C(6,2)c(4,2)c(2,2)/A(3,3)種分法練習(xí)1：將5位志愿者分成3組，其中各組2人，另一組1人，分赴世博會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有多少種？分析：部分均分問(wèn)題(1)、將5位志愿者分成3組，其中各組2人，另一組1人的分法C(5,2)*C(3,2)*C(1,1)]/A2(2)=15(2)、再分赴世博會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有A(3,3)=6所以將5位志愿者分成3組，其中各組2人，另一組1人，分赴世博會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有15*6=90種練習(xí)2：10名學(xué)生分成3組,其中一組4人,

另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同方法？分析：先算出10個(gè)人排433的方法

C(10,4)*C(6,3)*C(3,3)=4200種

再減去兩個(gè)班長(zhǎng)在同一組的可能。就是其他8人按照233，413，431三種方式分組

就是C(8,2)*C(6,3)*C(3,3)+C(8,4)*C(4,1)*C(3,3)+C(8,4)*C(4,3)*C(1,1)=1120種

4200-1120=3080種

去掉重復(fù)的，3080/2=1540

也就是說(shuō)有1540種方法。十：環(huán)形（圓形）排列從n個(gè)不同的數(shù)中不重復(fù)的取出取出r個(gè)沿一圓周排列，不分首尾排成一個(gè)圓圈，稱為圓周排列（也稱循環(huán)排列,環(huán)形排列）。把n個(gè)不同的元素圓周排列，排列方案為：n!/n從n個(gè)不同的元素中取r個(gè)沿一圓周排列，排列的方案：A(n,r)/rN個(gè)元素的圓周排列：A(n,n)/n=(n-1)!N個(gè)元素的項(xiàng)鏈排列：A(n,n)/2n例：8人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分,所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即7！練習(xí)1：五對(duì)夫婦圍一圓桌而坐，則男女相間且夫婦相鄰的坐法有分析：要求男女相間且夫妻相鄰，則先將每對(duì)夫妻看成一個(gè)整體則環(huán)狀排列A(5,5)/5，再考慮內(nèi)部排序，因要求男女相間則只有二種方案故A（5，5）*2/5=48練習(xí)2：四男四女圍一圓桌而坐，男女相間的坐法有分析：直線排列男生A(4,4)女生A(4,4)男左女右或女左男右共二種故直線為A(4,4)A(4,4)*2,再環(huán)狀A(yù)（4，4）*A（4，4）*2/8練習(xí)3：五男四女圍一圓桌而坐，若四女皆不相鄰，則有坐法解：五男先入坐之法為其次由4女入坐5個(gè)間隔，其法P(5,4)故坐法為4!*p(5,4)=2880種練習(xí)4：有8個(gè)不同顏色的珠子,取6個(gè)串成一項(xiàng)鏈,試問(wèn)有多少種方法？解：A(8,6)/6*2=1680十一.合理分類與分步策略解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。例9.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能夠唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有_C(3,2)*C(3,2)___種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員_C(5,1)C(3,1)C(4,2)_______種,只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有_C(5,2)C(5,2)___種，由分類計(jì)數(shù)原理共有_C(3,2)C(3,2)+C(5,1_____種。練習(xí)1：四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？分析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C（4，2）種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A（4，3）種，故共有種.C（4，2）A（4，3）=144練習(xí)2：9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？分析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有C（5，2）C（4，2）種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有中A（2，1）排法，故共有C（5，2）C（4，2）A（2，1）=120種練習(xí)3：3成人2小孩乘船游玩,A號(hào)船最多乘3人,B號(hào)船最多乘2人,C號(hào)船只能乘1人,分析：他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船,這3人共有多少乘船方法.首先人數(shù)可以有以下分配A3,B2,C0；A3,B1,C1；A2,B2,C1分情況討論A3,B2,C0所有可能C（5，3）減去小孩獨(dú)乘的可能(只有一種就是兩個(gè)小孩都在B上)種乘法（C（5，3）-1=9）種；A3,B1,C1：BC上肯定都是一個(gè)大人A（3，2），剩下一個(gè)大人和兩個(gè)小孩乘A沒(méi)得選：種乘法A（3，2）=6；A2,B2,C1首先A、B、C上肯定都有一個(gè)大人，所以有（C（3，1）C（2，1）C（2，1）C（1，1）C（1，1）=12）種乘法；答案：9+6+12=27十二.構(gòu)造模型策略一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決。例：馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有C（5，3）練習(xí)1：某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？分析：4人選位A（4，4）=24然后4人旁邊插空需5個(gè)空位剩余的1個(gè)任意放在這5個(gè)中的一個(gè)即5種共24*5=120十三.正難則反總體淘汰策略有些排列組合問(wèn)題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.例:從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有_C（5，3）,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有_C（5，1）C（5，2）,和為偶數(shù)的取法共有_C（5，3）+C（5，1）C（5，2__再淘汰和小于10的偶數(shù)共__9___符合條件的取法共有___C（5，3）+C（5，1）C（5，2）-9_________（０１３，０１５，０１７，０３５，２１３，２１５，４１３，０２４，０２６）練習(xí)1：三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形?分析：比如說(shuō)該題直接去求三角形的個(gè)數(shù)分類太多，比較復(fù)雜;換個(gè)方式思考，所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-三點(diǎn)共線的情況數(shù)。即C（9，3）-8=76（8：同行同列同斜線）練習(xí)2：正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體?分析：所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，

∴共C（8，4）-12=70-12=58個(gè)。十四：實(shí)際操作窮舉法對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹(shù)狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果十五.分解與合成策略分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,從而得到問(wèn)題的答案,每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略例.:30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13依題意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為：C(5,0)+C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)=32十六：化歸策略處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)題例：25人排成5×5方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？解：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3×3方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3×3方隊(duì)中選3人的方法有__C(3,1)C(2,1)C(1,1)_種。再?gòu)?×5方隊(duì)選出3×3方隊(duì)便可解決問(wèn)題,從5×5方隊(duì)中選取3行3列有_C(5,3)C(5,3)__選法所以從5×5方隊(duì)選不在同一行也不在同一列的3人有___C(5,3)C(5,3)C(3,1)C(2,1)C(1,1)_____選法。十七：數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù),根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)例．由0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比324105大的數(shù)？首位是4或5的，都比324105大：

首位有2種選擇，后面5個(gè)數(shù)字全排列。2×A（5,5）=240個(gè)

首位是3，萬(wàn)位是4或5的，也比324105大：

首位有1種選擇，萬(wàn)位有2種選擇，后面數(shù)字全排列：1×2×A(4,4)=48個(gè)

首位是3，萬(wàn)位是2，千位是5的，也比324105大：

后三位全排列：A（3,3）=6個(gè)

首位是3、萬(wàn)位是2、千位是4的當(dāng)中比324105大的還有324510、324501、324150三個(gè)

共有240+48+6+3=297個(gè)練習(xí)1：在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有

多少個(gè)？分析1：231XX：23154

234XX：A(2，2)=2

235XX：A(2，2)=2

24XXX：A(3，3)=6

25XXX：A(3，3)=6

3XXXX：A(4，4)=24

41XXX：A(3，3)=6

42XXX：A(3，3)=6

431XX：A(2，2)=2

432XX：A(2，2)=2

435XX：43512

共有2+2+6+6+24+6+6+2+2+1+1=58(個(gè))分析2：23145---------------25431有17個(gè)（不包括23145）

31245---------------35421有4*3*2*1=24個(gè)

41235---------------43521有17個(gè)（不包括43521）

17+24+17=58個(gè)

分析3：由數(shù)字12345可以組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù),一共有5*4*3*2*1=120種。

≤23145的：1開(kāi)頭的有24種。21開(kāi)頭的有6種。23開(kāi)頭23145最小就1種24+6+1=31

≥43521的：5開(kāi)頭的有24種。45開(kāi)頭的有6種.43開(kāi)頭43521最大就1種24+6+1=31

大于23145且小于43521的數(shù)=120-31-31=58十八：全錯(cuò)位排列公式：f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)]例：五個(gè)編號(hào)為1~5的小球放進(jìn)5個(gè)編號(hào)為1~5的小盒里面，全錯(cuò)位排列（即1不放1，2不放2，依次類推）一共有多少種放法。分析：令n＝1、2、3、4、5逐個(gè)推算的問(wèn)題。f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=9，f(5)=44答案是44種附加題：歷屆高考排列組合1.相鄰問(wèn)題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素“捆綁”在一起看作一個(gè)元素與其它元素進(jìn)行排列，然后再對(duì)這幾個(gè)元素進(jìn)行全排列。（即注意“松綁”）例1．（1996年全國(guó)文）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同的排法有（

）A、720種

B、360種

C、240種

D、120種解析：把甲、乙兩人視為一人，這樣6個(gè)人看作5個(gè)人，5個(gè)人的排法有A（5，5）種，甲乙兩人還有順序問(wèn)題A(2，2），所以排法種數(shù)為故選C2.不相鄰問(wèn)題插空排:元素不相鄰問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的不相鄰的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.例2.（2006年重慶文）高三（一）班需要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（

）（A）1800

（B）3600

（C）4320

（D）5040解析：先將4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，1個(gè)曲藝節(jié)目排列有A（5，5）種，再將2個(gè)舞蹈節(jié)目插入其中的6個(gè)“空”，有A（6，2）種插入方法，即得不同的排法共有A（5，5）*A（6，2）種，故選B3.定序問(wèn)題縮倍法:在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.（2006年江蘇理）今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有

種不同的方法（用數(shù)字作答）。解析：同色球不加以區(qū)分（即屬相同元素排列的消序問(wèn)題），先全排列A（9，9），在消去各自的順序即可，則將這9個(gè)球排成一列共有種不同的方法。故填A(yù)（9，9）/A（2，2）/A（3，3）/A（4，4）=12604.標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)（某些）元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)（一些）元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4．（2000全國(guó)文理）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員有3名主力隊(duì)員，派5名參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有

.（用數(shù)字作答）解析：3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置有A（3，3）種方法，從其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置有種，共有A（7，2）種，故填A(yù)（3，3）A（7，2）=252例5．(2004全國(guó)III)將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名，則不同的分配方案共有（

）A．12種

B．24種

C．36種D．48種解析：把四名教師分成3組只有一種分法（即2、1、1型）有C（4，2）方法，再把三組教師分配到三所學(xué)校有A（3，3）種，故共有C(4,2)A(3,3)=36種方法.故選C7.名額分配問(wèn)題隔板法:對(duì)于相同元素的分組這類典型問(wèn)題，可用“隔板”法求解。例6：某學(xué)校要從高三的6個(gè)班中派9名同學(xué)參加市中學(xué)生外語(yǔ)口語(yǔ)演講，每班至少派1人，則這9個(gè)名額的分配方案共有

種.（用數(shù)字作答）解析：將9個(gè)名額視為9個(gè)相同的小球排成一排為：，然后在9個(gè)小球的8個(gè)空位中插入5塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種放法，故共有不同的放法為C（8，5）種.故應(yīng)填568.限制條件的分配問(wèn)題分類法:例7．(2005福建文，理)從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有

（

）

A．300種

B．240種

C．144種

D．96種解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來(lái)分類，有以下四種情況：①若甲乙都不選，則有A（4，4）種；②若選甲而不選乙，則有C（3，1）A（4，3）種；③若選乙而不選甲，則有種類情況分別計(jì)數(shù)（4）甲乙都選則A(3,2)A(2,2)C(4,2)共，A（4，4）+2C（3，1）A（4，3）+A（3，2）A（2，2）C（4，2）=240例：8（2003年北京春）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．42

B．30

C．20

D．12解析1：對(duì)新增的2個(gè)節(jié)目分類：①不相鄰：有A（6，2）種，②相鄰：有2C（6，1）種，故不同插法的種數(shù)為42種。故選A

解析2：利用“分步原理”：首先在原5個(gè)節(jié)目的6個(gè)“空隙”中插入一個(gè)節(jié)目有6種，然后再在這6個(gè)節(jié)目的7個(gè)“空隙”中插入一個(gè)節(jié)目有7種，因此共有種。故選A10.交叉問(wèn)題集合法：某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式.例9．（2006年湖北文）安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的種數(shù)是

.（用數(shù)學(xué)作答）解：解析：設(shè)全集=｛5名歌手的出場(chǎng)順序排列｝，A=｛某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)｝，B=｛另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)｝，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得排法的種數(shù)共有：=種.故應(yīng)填78解析2：與前題甲不在頭乙不在尾類似。（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。

第一類：乙在排頭，有A(5,5)=120種站法。

第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有若B不排頭則有C(4,1)C(4,1)A(4,4)=384種站法，

共共有504種種站法。方法2：間接法

一共有A(6,6)種方法若A排頭有A(5,5),B排尾有A(5,5),其中重復(fù)了A排頭B排尾的情況有A(4,4)

所以共有A(6,6)-2A(5,5)+A(4,4)=504

方法3：插空法

先讓除A其余五個(gè)人任意排列然后讓A插入（不能插第一個(gè)位置）共有五個(gè)位置可插入

則共有5A(5,5)

其中排除B在尾的狀況4A(4,4)

則有5A(5,5)-4A(4,4)=504

11.定位問(wèn)題優(yōu)先法：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。例10．（2006全國(guó)I）安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共有

種.（用數(shù)字作答）解析：甲、乙二人安排在5月3日至5月7日值班有種，其余5人安排有種方法；所以共有A（5，2）A（5，5）種。.故應(yīng)填240012.多排問(wèn)題單排法:把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例11．6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（

）A、36種

B、120種

C、720種

D、1440種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共A（6，6）=720種，選C.13.“至少”“至多”問(wèn)題用分類法或間接排除法:對(duì)于含“至多”或“至少”的排列組合問(wèn)題，若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除