定義域與值域講義(教師版)定義域與值域講義(教師版)定義域與值域講義(教師版)V:1.0精細整理，僅供參考定義域與值域講義(教師版)日期：20xx年X月課題函數(shù)的定義域與值域教學目的掌握定義域的求法掌握復合函數(shù)定義域求法掌握值域的幾種重要求法重難點定義域值域教學內(nèi)容 【基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡總結(jié)與鞏固】一、函數(shù)及其表示設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應關(guān)系和值域再注意：1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)二、區(qū)間的概念及表示法設是兩個實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實數(shù)的集合分別記做．注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須．三、求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù)．②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合．④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函數(shù)的定義域應由不等式解出．⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論．⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．四、求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：①觀察法：函數(shù)的定義域與對應法則直接制約著函數(shù)的值域，對于一些比較簡單的函數(shù)可直接通過觀察法求得值域.②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式的問題,常用配方法求值域.③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時，由于為實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值．分子、分母是一次函數(shù)或二次齊次式的有理函數(shù)常用分離變量法求值域；分子、分母中含有二次項的有理函數(shù),常用判別式法求值域(主要適用于定義域為R的函數(shù)).④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．只要是能求導數(shù)的函數(shù)?？捎脤?shù)的方法求值域.【重難點例題啟發(fā)】知識點1求相關(guān)函數(shù)的定義域【例1】求下列函數(shù)的定義域：（1）f（x）=+lg(3x+1)；（2）f（x）=+(3-2x)0.［解答］（1）由題意可得<x<1，即原函數(shù)的定義域為.（2）由題意可得即<x≤2且x≠1和，∴原函數(shù)的定義域為［精要點評］會求函數(shù)的定義域是正確求解一切函數(shù)問題的基礎(chǔ)，求解時要注意找全限制條件，并正確取出各部分的公共部分，且最后結(jié)論一定要寫成集合或區(qū)間的形式.【舉一反三】1、求函數(shù)f（x）=+lgsinx的定義域.［解答］由題意可得,∴原函數(shù)的定義域為［-5,-π］∪（0,π）.2、求下列函數(shù)的定義域：⑴⑵【例2】求抽象函數(shù)求定義域記住兩句話：地位相同范圍相同，定義域是關(guān)于x的。1）設的定義域是[3，]，求函數(shù)的定義域。2)已知y=f(2x+1)的定義域為[-1，1]，求f(x)的定義域；【舉一反三】已知函數(shù)f（x）的定義域為，求函數(shù)的定義域.［解答］∵-≤x2-x-≤,所求函數(shù)的定義域是知識點2函數(shù)的定義域的應用【例3】若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍.［思維引導］可先求出使函數(shù)有意義的不等式(組)，再對其中的參數(shù)進行分類討論使問題獲解.［解答］由題意知當x∈R時，（a2-1）x2+（a-1）x2+≥0恒成立.①當a2-1=0，即時，得a=1，此時有(a2-1)x2+(a-1)x+=1.可知當x∈R時，（a2-1）x2+（a-1）x+≥0恒成立.②當a2-1≠0，即時，有解得1<a≤9.綜上所述，使得函數(shù)y的定義域為R的a的取值范圍是［1,9］.［精要點評］解決本題關(guān)鍵的是理解函數(shù)的定義域是R的意義，并會對函數(shù)式進行分類討論，特別要注意不要遺漏對第一種情況a2-1=0的討論.【舉一反三】已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，求實數(shù)a的取值范圍.［解答］由a=0或解得-12<a0,即a∈（-12，0）.知識點3函數(shù)值域的求法1、直接法：例1：求函數(shù)的值域。例2：求函數(shù)的值域。2、配方法：例1：求函數(shù)（）的值域。例3：求函數(shù)的值域。3、分離常數(shù)法：例1：求函數(shù)的值域。例2：求函數(shù)的值域．例3：求函數(shù)得值域.4、換元法：例1：求函數(shù)的值域。5、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例1：求函數(shù)的值域。6、數(shù)型結(jié)合法：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。當函數(shù)解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點間距離，直線的斜率、截距等）或當一個函數(shù)的圖象易于作出時，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。例1：求函數(shù)的值域?！九e一反三】求下列函數(shù)的值域：（1）（2）（3）（4）【課后作業(yè)練習】1.(2008·山東卷文改編）設函數(shù)f（x）=則=___________.［答案］［解析］∵f(2)=22+2-2=4,∴=,f（）=1-（）2=.∴=.2.(2009·江西卷文）函數(shù)y=的定義域為___________.［答案］{x|-4≤x<0或0<x≤1}［解析］由.3.(2008·江西卷文）若函數(shù)y=f（x）的定義域是［0,2］，則函數(shù)g(x)=的定義域是___________.［答案］［0,1)［解析］因為f（x）的定義域為［0，2］，所以對于g(x)中，0≤2x≤2且x≠1,故x∈［0,1).4.函數(shù)y=的定義域是___________，值域是___________.［答案］R，［0,1)［解析］定義域是R.當x=0時，y=0；當x≠0時，.∵x2>0,>0,∴1+>1，∴0<<1.∴0<y<1，即原函數(shù)的值域是［0,1］.5.設x取實數(shù)，則f(x)與g(x)表示同一個函數(shù)的是（）A、，B、，C、，D、，6.下列四個函數(shù)中,與y=x表示同一函數(shù)的是（）A.y=()2 B.y= C.y= D.y=7.判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為（）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，。A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸8.求函數(shù)的定義域（1）（2）g(x)=（3）已知y=f(x+3)的定義域為[1，3]，求f(x-1)的定義域.（4）若函數(shù)的定義域為[1,1],求函數(shù)+定義域9.求下列函數(shù)的值域：（1）y=3x2-x+2,x∈[1,3];（2）y=;（3）y=x+4;（4）y=(x>).［思維引導］函數(shù)的值域問題是函數(shù)知識的重要組成部分，它蘊含的思想方法豐富，不同類型函數(shù)模型的值域問題有不同的解法，要視具體問題而定.［解答］（1）（配方法）∵y=3x2-x+2=3，∴函數(shù)y=3x2-x+2在［1,3］上單調(diào)增.∴當x=1時，原函數(shù)有最小值為4；當x=3時，原函數(shù)有最大值為26.∴函數(shù)y=3x2-x+2，x∈［1,3］的值域為［4,26］．（2）（分離變量法）y==3+，∵≠0，∴3+≠3.∴函數(shù)y=的值域為{y|y∈R且y≠3}．（3）（換元法）設t=≥0，則x=1-t2，∴原函數(shù)可化為y=1-t2+4t=-（t-2）2+5（t≥0），∴y≤5，∴原函數(shù)