1齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)第三章第四講一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)（1）齊次線性方程組則方程組(1)可寫(xiě)成向量方程若記回顧若為方程的解稱為方程組(1)的解向量，它也是向量方程的解．則顯然齊次線性方程組總是有解，就是該方程組的一個(gè)解，這個(gè)解叫做零解，若方程組還有其他解，那么這些解就叫做非零解.方程組有非零解的充要條件是。齊次線性方程組的解有如下的性質(zhì)性質(zhì)（1）若為的解，則

也是的解.證

性質(zhì)（2）若為的解，為實(shí)數(shù)，則也是的解．證證畢.

由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間．定理1齊次線性方程組若有非零解，則它一定有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于n-r，其中r是系數(shù)矩陣的秩?；A(chǔ)解系的求法證明：系數(shù)矩陣為

有非零解，從而秩r＜n.對(duì)A進(jìn)行行初等變換，A可化為齊次線性方程組（1）與之對(duì)應(yīng)的方程組為令為自由未知量，得取

可得從而得到(1)的n-r個(gè)解首先，這n-r個(gè)解向量顯然線性無(wú)關(guān).其次，設(shè)()是方程組的任意解，代入方程組得

例1解齊次線性方程組解齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為對(duì)A進(jìn)行行初等變換，得

二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)稱為非齊次線性方程組(不全為0).

如果把它的常數(shù)項(xiàng)都換成0，就得到相應(yīng)的齊次線性方程組，稱它為非齊次線性方程組(2)的導(dǎo)出方程組，簡(jiǎn)稱導(dǎo)出組.線性方程組（2）

其中為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組Ax=b的通解為例2

試求

的全部解。

解

對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等行變換

系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2<5，故有解。

對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（去掉常數(shù)列）的基礎(chǔ)解系為

令x3＝x4＝x5＝0，得齊次線性方程組的一個(gè)特解為(30/7,-3/7,0,0,0)，

(不能忽略常數(shù)列)，于是它的全部解為

其中k1，k2，k3，為任意實(shí)數(shù)。

例3設(shè)線性方程組試就p,t討論方程組的解的情況，有解時(shí)并求出解.解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等變換(1)當(dāng)時(shí)，有惟一解(2)當(dāng)p=1，且1-4t+2pt=1-2t=0即t=時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，此時(shí)于是方程組的一般解為

(k為任意常數(shù)).(3)當(dāng)p=1，但1-4t+