上頁下頁返回結束德州學院線性代數電子教案付春艷2012年教案目錄第一章行列式第二章線性方程組第三章矩陣第四章向量第五章向量空間第六章矩陣的相似特征值和特征向量第七章二次型第一章行列式

行列式是為了求解線性方程組而引入的，但在線性代數和其它數學領域以及工程技術中，行列式是一個很重要的工具。本章主要介紹行列式的定義、性質及計算方法。上頁下頁返回結束數域與排列1.11.1.1數域（某些數的集合）定義1：集合P，a,b∈P，經過某運算后，結果仍在P中，稱P關于該運算封閉。例N，Z定義2：滿足（1）至少含有兩互異的數（2）運算封閉（加減乘除）P則稱為一個數域。根據定義，全體有理數的集合，全體實數的集合，全體復數的集合都是數域，用Q，R,C來表示，且有

有理數，實數，復數是最常見數域，且用Q,R,C來表示。今后在數域P中討論問題，對所涉及的P中的數進行四則運算，該結果在數域P上成立，而數域P是泛指的，可以是Q,R,C或其他某個數域。1.1.2排列定義：

由1，2，3，…，ｎ這ｎ個數構成的一個有序數組，

稱為一個ｎ階排列.

例如：234615、456321、123456、6543216階排列124356789(10)(11)11階排列ｎ(ｎ－1）…21是一個什么排列？ｎ階排列其一般形式為：其中下標代表排列中的位置ｎ階排列第一個位置有n種選擇，第二個位置有（n－1）種選擇，依此類推，到只有2種，到只有一種選擇，故總共有n！個n階排列完全按自然順序從小到大排序的那個排列123…(n-1)n.標準排列：逆序：在一個n元排列中，任取兩個數和,若

則稱數對和構成一個逆序。

j<k

而即大在前小在后哦例如：4階排列3412中，3與2?逆序3與1?3與4?不是逆序1與2?上頁下頁返回結束對于一般的一個排列，計算逆序數的方法是：＋（后面比小的數個數）＋（后面比小的數個數）＋……

（后面比小的數個數）例：0+3+2+1＝6偶排列②①計算n階排列

的逆序數，并判斷奇偶性.逆序數＝

解：(n-1)+(n-2)+(n-3)+…...+2+1偶排列其他情況為奇排列標準排列的奇偶性呢？1.2行列式的定義引進記號：并規(guī)定：稱為二階行列式，副對角線主對角線主對角線上的乘積－副對角線上的乘積例如：二階行列式術語行、列、元素、行指標、列指標、主對角線、副對角線從形式上，n階行列式肯定有：＝現在的問題就是如何定義n階行列式二階、三階行列式都有對角線法則，是不是n階行列式也有呢注意：四階以上行列式沒有對角線法則。

特別規(guī)定一階行列式：例如一階行列式要注意一階行列式跟絕對值的區(qū)別哦！為給出n階行列式的定義，首先分析一下二階、三階行列式，它們有如下共同特征：(1)二階是2!=2項的代數和，三階是3!=6項的代數和；(2)它們的每一項都是不同行不同列元數的乘積，并且包含了所有可能的不同行不同列元素的乘積，(3)代數和中每一項的正負號是這樣決定的：當行指標取成標準排列時，由列指標排列的奇偶性確定，偶者為正，奇者為負稱為n階行列式。它是所有取自不同行、不同列的n個元素的乘積的代數和，共有n！項，于是：將其推而廣之，n階行列式有定義，每項都冠以符號：定義1.2.4：

n2個數aij（i=1,2,…,n)組成的記號:即：例1.2.5計算n階行列式解：

根據定義1.2.4展開式中的表示取自第n行的數。第n行中除外都為零，故展開式中非零項只能是，即。因為不同行不同列，且第n－1行中除都為零，故展開式中非零項只能是依次類推，非零項的列指標只能是又因為所以上三角行列式類似于上三角行列式，可以得到下三角行列式的值：重要結論上、下三角形行列式都等于主對角線上元素的乘積。例1.2.5計算n階行列式由于數的乘法滿足交換律，故而行列式各項中n個元素的順序可以任意交換.任意變換前后位置如何確定變換后的展開式的符號呢由于每交換中兩個元素的位置，對應的行指標、列指標的排列均作了一次對換，因而前后逆序數之和的奇偶性不變。適當變換前后位置即當有成立：表明的符號是：例：下面四項中是五階行列式的項，其中帶正號的是（）（A）（B）（C）（D）§1.4行列式按行（列）展開

§1.3行列式的性質

1.3行列式的性質行列式計算是本章的中心課題。按照定義，n階行列式是n！項的代數和，而在n較大時n！就變成一個很龐大的數據，從定義出發(fā)只能計算上、下三角等一些特殊的行列式，因而有必要研究行列式的一些性質，以簡化行列式的計算。首先引入轉置行列式的概念，考慮稱DT為D的轉置行列式.將它的行依次變?yōu)橄鄳牧校ㄐ?、列互換），得DT，

行列式的兩行（列）互換，行列式的值變號.性質2即＝－行列式若有兩行（列）對應元素完全相同，則行列式為零.推論1證：設行列式D的i行和k行相同，則若將i行和k行互換，所得仍為D。但是由性質2知，互換前后變號，即D＝－D，所以，D＝0。行列式某一行（列）的所有元素都乘以數k，等于數k乘以此行列式，換言之，行列式某一行(列)所有元素的公因子k可提到行列式的外面相乘，即性質3若行列式中一行(列)所有元素為零，則行列式等于零；推論2即為性質3中k＝0的情況

如果行列式的兩行（列）元素對應成比例，則行列式為零。性質4＝

＝

＝0

例計算行列式例已知求：解行列式的某一行（列）加上另一行（列）對應元素的k倍，行列式的值不變。性質6即＝

注:第i行(或列)提出公因子k記作Rik(或cik)

交換i

j兩行記作RiRj交換i

j兩列記作cicj

以數k乘第j行(列)加到第i行(列)上記作RikRj

(cikcj)

為了書寫方便，特作如下約定。例計算右邊n階行列式等式成立嗎？上（下）三角行列式等于主對角線上元素的乘積，因此計算行列式常利用行列式的性質，把行列式化成上（下）三角行列式。這是計算行列式最基本的方法必須掌握例計算2

1

4

3

1

1

3

3

1

1

0

5

3

1

2

1

5

1

4

3

2

0

1

1

1

5

3

3

例計算

解：3

5

2

1

C12

D最好把首個位置變成11321R2R1

R45R1008166402117213210167201231211001080123121102110864R23

00108001510

R34R2

R48R2

005/2040

例計算n階行列式解法一把D的第2列，第3列，….，第n列都加到第1列，得到：當每一行（列）元素之和都相等時，這是經常采用的方法解法二稱為“箭”型行列式若把行列式中的a改成x，則可以得到結果：這是關于x的n次多項式當行列式中元素包含x的整數次冪時，該行列式就是關于x的一個多項式例如6由n(n>1)階行列式

=0來說明n!個不同的n階排列中奇排列和偶排列各占一半證根據行列式的定義

=

==0所以上式中(-1)的個數和(+1)的個數一樣多,(-1)是由奇排列產生的,而(+1)是由偶排列產生的.同時根據行列式的定義這里包括了所有的n階排列,故可以得到全體n階排列中奇排列的個數與偶排列的個數一樣多,各占一半.1.3行列式按行(列)展開由于三階、二階行列式可直接寫出，因而計算行列式中一個常用方法就是把高階行列式歸化為低階行列式。余子式，代數余子式在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原來的順序構成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij；而Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數余子式.返回定義例如例

求出行列式解行列式按一行（列）展開定理n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和，即定理證(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均為零,即而

A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;(ii)當D的第i行只有元素aij0時，即

將D中第i行依次與前i-1行對調,調換i-1次后位于第1行

D中第j列依次與前j-1列對調,調換j-1次后位于第1列經(i-1)+(j-1)=

i+j-2次對調后,

aij位于第1行、第1列,即(iii)

一般地由(i)由(ii)n階行列式的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應的代數余子式的乘積之和為零，定理即證按s行展開，所以，同理可證，利用行列式按一行(列)展開，可將n階行列式化為n個n－1階行列式，若選取的行(列)只有個別數不為零，就可達到降階化簡的目的。所以通常先利用行列式的性質使得某一行(列)含有較多的零，并選取含0元素比較多的行或者列來展開。1121-31-2000103414C1+C4C3＋C4

計算行列式例111344-310＝(-1)(－1)2+4R2－4R1111-100-310－＝別丟了代數余子式的符號例計算行列式解

法1法2選取“0”多的行或列例證明n（n>1)階行列式所有右邊項減去左邊項的乘積稱為范德蒙德行列式證利用數學歸納法，n＝2時結論成立，假設對n－1時結論成立，即則n階范德蒙德行列式計算行列式例解D是4階范德蒙德行列式的轉置，所以范德蒙德行列式是一個重要的行列式，結果要記住哦利用行列式的性質可以證明下列結論。

1.2.3.4.計算行列式例解法一解法二若b＝0，則行列式為零，下設b≠0，箭型行列式凡涉及對未知參數的除法時，必須保證非0。例已知4階行列式解

法1法2利用行列式的按列展開定理，簡化計算.§1.5克拉默法則

§1.6概要與小結

§1.5克拉默法則利用n階行列式來給出含有n個未知量的n個線性方程組的公式解。定理設含有n個未知量的n個線性方程組為，如果系數行列式則方程組有唯一解，其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數行列式D中第j列的元素換成方程組的右端常數項所構成的n級行列式,即證略該定理說明當D≠0時，①方程組有簡潔的公式解②只有唯一解例設ai≠aj

（i≠j，i，j＝1,2,…,n)求解方程組解系數行列式范德蒙德行列式由克拉默法則解方程組有唯一解：并且，而當j≥2時，Dj中會出現第1列和第j列都是1，故Dj＝0，所以方程組的唯一解是，性質設含有n個未知量的線性方程組為，如果系數行列式則,方程組有零解，例問λ取何值時，下面線性方程組只有零解.解系數行列式λ

110λ-11-λ

λ-101-λ

λ

110λ-10

λ-100由性質知道，當D≠0時，即λ≠1且λ≠－2時，該方程組只有零解。

§1.6概要與小結概要本章重點內容可以歸結為三個方面：①一個概念（n階行列式）

③兩種計算行列式的方法

②九類可直接求出的行列式

一、n階行列式

n階行列式|aij|n是所有不同行不同列元素乘積的代數和，其定義可分為三個步驟，取項