線性代數(shù)第2講行列式的計算,克萊姆法則11/10/20221例1

上三角行列式(i>j時,aij=0)這是因為上三角行列式的轉(zhuǎn)置是下三角行列式.11/10/20222例2計算4階行列式解11/10/2022311/10/20225例311/10/2022611/10/20227例4行列式D=的元素滿足aij=-aji(i,j=1,2,...,n),就稱D是反對稱行列式,證明奇數(shù)階反對稱行列式的值為零.

證設(shè)將D轉(zhuǎn)置再每一行都乘-1.11/10/20228例5證明證把左端行列式的第2,3列加到第1列,提取公因子2,再把第1列乘-1加到第2,3列得11/10/20221011/10/202212例如11/10/202214證用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=2時,結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對n-1階范德蒙行列式成立,證明對n階范德蒙行列式結(jié)論也成立.在Vn中,從第n行起,依次將前一行乘-x1加到后一行,得11/10/202215按第一列展開,并分別提取公因子,得11/10/202216根據(jù)歸納假設(shè)可得結(jié)論.11/10/2022171.3克萊姆(Cramer)法則11/10/202218其系數(shù)行列式則方程組(1.23)有唯一解11/10/202220其中Dj是用常數(shù)項b1,b2,...,bn替換D中第j列所成的行列式,即11/10/202221得11/10/202223證解的唯一性,設(shè)c1,c2,...,cn是一組解,即在上面n個等式兩端,分別依次乘A1j,A2j,...,Anj,然后再把這n個等式的兩端相加,得11/10/202224推論1若齊次線性方程組推論2齊次線性方程組11/10/202226用Cramer法則求解系數(shù)行列式不等于零的n元非齊次線性方程組,需要計算n+1個n階行列式,它的計算工作量很大.實際上關(guān)于數(shù)字系數(shù)的線性方程組(包括系數(shù)行列式等于零及方程個數(shù)和未知量個數(shù)不相同的線性方程組)的解法,一般都采用第2章中介紹的高斯消元法.Cramer法則主要是從理論上具有重要意義,特別是它明確地揭示了方程組的解和系數(shù)之間的關(guān)系.11/10/202227例1

已知三次曲線y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四個點x=1,x=2處的值為:f(1)=f(-1)=f(2)=6,f(-2)=-6,試求其系數(shù)a0,a1,a2,a3.

解將三次曲線在4點處的值代入其方程,得到關(guān)于a0,a1,a2,a3的非齊次線性方程組11/10/20222811/10/20223011/10/202231所以a0=8,a1=-1,a2=-2,a3=1,即所求的三次曲線方程為

f(x)=8-x-2x2+x3.

由上述解題過程可知,過n+1個x坐標(biāo)不同的點(xi,yi),i=1,2,...,n+1,可以唯一地確定一個n次曲線的方程y=a0+a1x+a2x2+...+anxn.11/10/202232例2求四個平面aix+biy+ciz+di=0(i=1,2,3,4)相交于一點的充分必要條件.

解把平面方程寫成

aix+biy+ciz+dit=0,

其中t=1,于是四個平面交于一點,即x,y,z,t的齊次線性方程組11/10/202233有唯一的一組非零解(x0,y0,z0,1),根據(jù)齊次線性方程組有非零解的必要和充分的