第五章平面向量向量的字符運算第講2編輯ppt考點搜索●平面向量的數(shù)量積●平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)●兩個向量垂直的充要條件●常用的模的等式和不等式高考猜想字符運算是向量的核心內(nèi)容，是高考的一個重要命題點.編輯ppt一、平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

1.已知兩個非零向量a，b，過O點作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.

很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)兩非零向量a，b同方向時，θ=___，當(dāng)且僅當(dāng)a、b反方向時，θ=______，同時0與其他任何非零向量之間不談夾角問題.0°180°編輯ppt2.如果a，b的夾角為____，則稱a與b垂直，記作_______.3.a，b是兩個非零向量，它們的夾角為θ，則__________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即______________.

規(guī)定0·a=___.

當(dāng)a⊥b時，θ=____，這時a·b=____.

二、a·b的幾何意義

1.一個向量在另一個向量方向上的投影.90°a⊥b|a||b|·cosθa·b=|a||b|cosθ090°0編輯ppt設(shè)θ是a與b的夾角，則_________稱作a在b方向上的投影._______稱作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一個數(shù)，而不是向量.當(dāng)______________時，它是正數(shù)；當(dāng)___________________時,它是負數(shù)；當(dāng)θ=90°時,它是零.2.a·b的幾何意義.

a·b等___與b在a方向上的投影的乘積.3.a·b的性質(zhì).

設(shè)a,b是兩個非零向量,e是單位向量,于是有：|a|cosθ|b|cosθ0°≤θ＜90°90°＜θ≤180°|a|編輯ppt(1)e·a=a·e=|a|cosθ;(2)a⊥b________;(3)當(dāng)a與b同向時，a·b=___________；當(dāng)a與b反向時，a·b=____________；特別地，a·a=a2=|a|2，或|a|=_____;(4)cosθ=_________;(5)|a·b|≤|a|·|b|.a·b=0|a||b|-|a||b|編輯ppt1.已知向量a和b的夾角為120°,|a|=1,|b|=3，則|5a-b|=____.解：

所以|5a-b|=7.7編輯ppt2.若a,b,c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·c

C.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)

解：A、B、C是運算律，而a·b=λ∈R,b·c=μ∈R,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故選D.D編輯ppt3.在△ABC中，已知向量與滿足且則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解：在△ABC中，

(M在∠BAC的平分線上)，D編輯ppt由知所以⊥，則△ABC是等腰三角形；因為所以則∠BAC=60°，所以△ABC是等邊三角形.故選D.編輯ppt1.如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問與的夾角θ取何值時的值最大？并求出這個最大值.解法1：因為，所以因為題型1向量的數(shù)量積運算編輯ppt所以故當(dāng)cosθ=1,即θ=0(

與

方向相同)時，

的值最大，其最大值為0.解法2：以直角頂點A為坐標(biāo)原點，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.編輯ppt設(shè)|AB|=c,|AC|=b，則A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a.設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則Q(-x,-y).所以所以編輯ppt因為所以cx-by=a2cosθ，所以故當(dāng)cosθ=1，即θ=0(與

方向相同)時，

的值最大，其最大值為0.點評：向量的數(shù)量積是最基本的向量的運算，字符向量的數(shù)量積主要是將其轉(zhuǎn)化為兩向量模及夾角余弦的積，注意向量夾角與兩直線夾角之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化.編輯ppt已知|a|=2，|b|=3，a與b的夾角為，c=5a+3b，d=3a+kb，求當(dāng)實數(shù)k為何值時，c⊥d？解：要使c⊥d，即c·d=0，即(5a+3b)·(3a+kb)=0，所以15a2+(9+5k)a·b+3kb2=0，所以15×4+(9+5k)×2×3cos+3k·9=0，解得k=.所以當(dāng)k=時，c與d垂直.編輯ppt2.已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=4，|b|=2.求：

(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)·(a+b).

解：依題意得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.(1)因為|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2

=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12，所以|a+b|=

題型2向量的模編輯ppt(2)因為|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=16×19，所以|3a-4b|=.(3)(a-2b)·(a+b)=a2-2a·b+a·b-2b2

=42-(-4)-2×22=12.

點評：求形如|a+b|的模，一般是通過|a+b|2=(a+b)2把求模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積來求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算術(shù)平方根即可.編輯ppt已知平面上三個向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°.(1)求證：(a-b)⊥c；

(2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范圍.

解：(1)證明：因為|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之間的夾角均為120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|·cos120°=0,

所以(a-b)·c=0，所以(a-b)⊥c.編輯ppt(2)解法1：因為|ka+b+c|>1，即|ka+b+c|2>1，即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,

因為a·b=b·c=a·c=-，所以k2-2k>0，所以k<0或k>2.

解法2：由已知a+b+c=0,

故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|,|ka+b+c|>1(k∈R)|k-1|>1k<0或k>2.編輯ppt題型3向量的夾角編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt點評：(1)中最值問題不少都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，以構(gòu)造函數(shù)．而(2)中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用．編輯ppt已知三個單位向量a，b，c，兩兩之間的夾角為120°，求a-2b與c的夾角.

解：(a-2b)·c=a·c-2b·c=1×1×cos120°-2×1×1×cos120°=，又〈a-2b，c〉∈［0，π］，所以〈a-2b，c〉=arccos.編輯ppt1.向量的字符運算是向量運算的一種基本形式，它類似于實數(shù)的字母運算，在沒有幾何背景和向量坐標(biāo)的向量問題中，一般通過這種運算解答相關(guān)問題.