關于空間立體的體積第1頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五1.已知平行截面面積的空間立體體積設所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對應于小區(qū)間因此所求立體體積為上連續(xù),的體積元素為OdV第2頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五例1解取坐標系如圖底圓方程為yxoA(x)三角形邊長高為：第3頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五2.旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺第4頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五情形1G1xyoG1G1xyoxyoxyoxyoxyo?

G1繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積則以f(x)

為高，以dx

為底的窄邊矩形平面圖形G1：由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a,x=b

及x軸所圍成的曲邊梯形.繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱體第5頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五的體積便是體積元素：G1xyoxyoxyoxyoxyoG1繞x

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：第6頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五例2解直線方程為建立坐標系，如圖.連接坐標原點O及點P(h,R)的直線，直線x=h及x

軸圍成一個直角三角形.將它繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周構成一個底半徑為R，高為h的圓錐體，計算該圓錐體的體積.第7頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五以dx為底的窄邊矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱體的體積為第8頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五用“柱殼法”：將旋轉(zhuǎn)體分割成一系列以y軸為中心軸的曲頂環(huán)柱體.xOyabG1G1繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積第9頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五o(dx)可以證明：體積元素G1繞y

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：xabG1oyy第10頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五情形2

G2繞y

軸旋轉(zhuǎn)G2繞x

軸旋轉(zhuǎn)cdy?

第11頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五解例3第12頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五（方法1）第13頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五(方法2)柱殼法第14頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五例4解體積元素為:(方法1)4–22xyo?MP??Q第15頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五(方法2)4–22xyo第16頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五例5(綜合題)解

(1)xyo1第17頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五(2)(3)xyo1x第18頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五第19頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五第20頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五例6(綜合題)解所以c=0,又由題設，知知識點：①平面圖形的面積②旋轉(zhuǎn)體的體積

③函數(shù)的極值、最值第21頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五第22頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五第23頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五內(nèi)容小結二、旋轉(zhuǎn)體的體積一、平行截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞非坐標軸直線旋轉(zhuǎn)一周第24頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五備用題例1-1

一平面經(jīng)過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解

如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為計算該平面截圓柱體所得立體的體積.第25頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五利用對稱性思考

可否選擇y

作積分變量?此時截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?第26頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五提示:第27頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五計算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解(方法1)

利用直角坐標方程則(利用對稱性)例2-1第28頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五(方法2)利用橢圓參數(shù)方程則特別當b=a

時,就得半徑為a的球體的體積第29頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五例3-1解(1)

繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為xOy第30頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五分別繞

y

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積之差.這個圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積可以看成平面圖形OABC

與

OBC1CBA(2)

繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積分析xOy第31頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五(方法1)OB

的方程為)AB

的方程為)1CBAxOy從而所求的體積為第32頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五第33頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五(方法2)xOy由公式得第34頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五試用定積分求圓繞x

軸上半圓為：下解(方法1)利用對稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積

V.例3-2xyo第35頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五(方法2)

用柱殼法注上式可變形為右半圓為左此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).?o第36頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五設平面圖形A

由與圖形A繞直線x＝2旋轉(zhuǎn)解若選

x為積分變量，則旋轉(zhuǎn)體的體積為若選

y為積分變量,則

例4-1所確定,求一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.第37頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五例4-2在

x≥0時為連續(xù)的非負函數(shù),繞直線x＝t

旋轉(zhuǎn)一周證明:證利用柱殼法所成旋轉(zhuǎn)體體積,則第38頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五故第39頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五解例5-1(2003年考研)第40頁，共43頁，2022年，5月20日，15點7分，星期五由于該切線過原點，得即從而切線方程為所以平面圖形