第一章解三角形1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，為的外接圓的半徑，那么有：．2、正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④．注意：正弦定理主要用來解決兩類問題：1、兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其余的量。2、兩角和一邊，求其余的量。⑤對(duì)于兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況?！惨唤狻山?、無解三中情況〕如：在三角形ABC中，a、b、A〔A為銳角〕求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想DbsinADbsinAAbaC當(dāng)無交點(diǎn)那么B無解、當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)那么B有一解、當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)那么B有兩個(gè)解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當(dāng)a<bsinA，那么B無解當(dāng)bsinA<a≤b,那么B有兩解當(dāng)a=bsinA或a>b時(shí)，B有一解注：當(dāng)A為鈍角或是直角時(shí)以此類推既可。3、三角形面積公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推論：，，．(余弦定理主要解決的問題：1、兩邊和夾角，求其余的量。2、三邊求角)6、如何判斷三角形的形狀：設(shè)、、是的角、、的對(duì)邊，那么：=1\*GB3①假設(shè)，那么；=2\*GB3②假設(shè)，那么；CABD=3\*GB3③假設(shè)，那么．CABD7、正余弦定理的綜合應(yīng)用：如下圖：隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距千米的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離。附：三角形的五個(gè)“心〞；重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).練習(xí)題一、選擇題1、在△ABC中，＝10，B=60°,C=45°,那么等于〔 B〕A． B． C． D．2、三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，那么三角形的另一邊長(zhǎng)為A．52 B． C．16 D．43、在△ABC中，假設(shè)，那么〔C〕ABCD4、在△ABC中，根據(jù)以下條件解三角形，那么其中有兩個(gè)解的是〔D〕A．b=10，A=45°，B=70°B．a(chǎn)=60，c=48，B=100°C．a(chǎn)=7，b=5，A=80°D．a(chǎn)=14，b=16，A=45°5、△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，那么A∶B∶C等于(A)A．1∶2∶3 B．2∶3∶1C．1：3：2D．3：1：26、假設(shè)△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是，A＝60°，那么BC邊的長(zhǎng)是〔C〕A． 5 B．6 C．7 D．8二、填空題〔每題5分,共25分〕7、在中，，那么___________8、在△ABC中，A=60°,b=1,面積為，那么=9、在△ABC中，AB=4，AC=7，BC邊的中線，那么BC=10、在中，角、、所對(duì)的邊分別是、、，邊，且，又的面積為，那么________________三．解答題〔2小題，共40分〕13、在ABC中，,sinB=.〔I〕求sinA的值；(II)設(shè)AC=，求ABC的面積.知識(shí)點(diǎn)穩(wěn)固練習(xí)〔一〕一、選擇題1．在△ABC中，假設(shè)，那么等于〔〕A．B．C．D．2．假設(shè)為△ABC的內(nèi)角，那么以下函數(shù)中一定取正值的是〔〕A．B．C．D．3．在△ABC中，角均為銳角，且那么△ABC的形狀是〔〕A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是，這條高與底邊的夾角為，那么底邊長(zhǎng)為〔〕A．B．C．D．5．在△中，假設(shè)，那么等于〔〕A．B．C．D．6．邊長(zhǎng)為的三角形的最大角與最小角的和是〔〕A．B．C．D．二、填空題1．在△ABC中，，那么的最大值是_______________。2．在△ABC中，假設(shè)_________。3．在△ABC中，假設(shè)_________。4．在△ABC中，假設(shè)∶∶∶∶，那么_____________。三、解答題在△ABC中，假設(shè)那么△ABC的形狀是什么？2．在△ABC中，求證：3．在銳角△ABC中，求證：。知識(shí)點(diǎn)穩(wěn)固練習(xí)〔二〕一、選擇題1．在△ABC中，，那么等于〔〕A．B．C．D．2．在△ABC中，假設(shè)角為鈍角，那么的值〔〕A．大于零B．小于零C．等于零D．不能確定3．在△ABC中，假設(shè)，那么等于〔〕A．B．C．D．4．在△ABC中，假設(shè)，那么△ABC的形狀是〔〕A．直角三角形B．等邊三角形C．不能確定D．等腰三角形5．在△ABC中，假設(shè)那么()A．B．C．D．6．在△ABC中，假設(shè)，那么最大角的余弦是〔〕A．B．C．D．二、填空題1．假設(shè)在△ABC中，那么=_______。2．假設(shè)是銳角三角形的兩內(nèi)角，那么_____〔填>或<〕。3．在△ABC中，假設(shè)_________。4．在△ABC中，假設(shè)那么△ABC的形狀是_________。5．在△ABC中，假設(shè)_________。三、解答題在△ABC中，，求。在銳角△ABC中，求證：。在△ABC中，求證：。在△ABC中，假設(shè)，那么求證：。在△ABC中，假設(shè)，那么求證：知識(shí)點(diǎn)穩(wěn)固練習(xí)〔三〕一、選擇題1．為△ABC的內(nèi)角，那么的取值范圍是〔〕A．B．C．D．2．在△ABC中，假設(shè)那么三邊的比等于〔〕A．B．C．D．3．在△ABC中，假設(shè)，那么其面積等于〔〕A．B．C．D．4．在△ABC中，，，那么以下各式中正確的是〔〕A．B．C．D．5．在△ABC中，假設(shè)，那么〔〕A．B．C．D．6．在△ABC中，假設(shè)，那么△ABC的形狀是〔〕A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能確定D．等腰三角形二、填空題1．在△ABC中，假設(shè)那么一定大于，對(duì)嗎？填_________〔對(duì)或錯(cuò)〕2．在△ABC中，假設(shè)那么△ABC的形狀是______________。3．在△ABC中，∠C是鈍角，設(shè)那么的大小關(guān)系是___________________________。4．在△ABC中，假設(shè)，那么______。5．在△ABC中，假設(shè)那么B的取值范圍是_______________。6．在△ABC中，假設(shè)，那么的值是_________。三、解答題1．在△ABC中，假設(shè)，請(qǐng)判斷三角形的形狀。如果△ABC內(nèi)接于半徑為的圓，且求△ABC的面積的最大值?！鰽BC的三邊且，求4．在△ABC中，假設(shè)，且，邊上的高為，求角的大小與邊的長(zhǎng)答案知識(shí)點(diǎn)穩(wěn)固練習(xí)〔一〕一、選擇題1.C2.A3.C都是銳角，那么4.D作出圖形5.D或6.B設(shè)中間角為，那么為所求二、填空題1.2.3.4.∶∶∶∶∶∶，令三、解答題解：或，得或所以△ABC是直角三角形。證明：將，代入右邊得右邊左邊，∴3．證明：∵△ABC是銳角三角形，∴即∴，即；同理；∴知識(shí)點(diǎn)穩(wěn)固練習(xí)〔二〕一、選擇題1.C2.A，且都是銳角，3.D4.D，等腰三角形5.B6.C，為最大角，二、填空題1.2.，即，銳角三角形為最大角，為銳角5.三、解答題1.解：，而所以2.證明：∵△ABC是銳角三角形，∴即∴，即；同理；∴∴3.證明：∵∴4．證明：要證，只要證，即而∵∴∴原式成立。5．證明：∵∴即∴即，∴知識(shí)點(diǎn)穩(wěn)固練習(xí)〔三〕一、選擇題1.C而2.B3.D4.D那么，，5.C6.B二、填空題對(duì)那么直角三角形3.4．那么5.6．三、解答題解：∴等腰或直角三角形解：另法：此時(shí)取得等號(hào)解：解：，聯(lián)合得，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。解三角形單元測(cè)試題選擇題：1、在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于〔 〕A． 30° B．45° C．60° D．120°2、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,那么c等于〔 〕A． B． C． D．3、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，那么A等于〔 〕A．30° B．60° C．30°或120° D．30°或150°4、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情況是〔 〕A．無解 B．一解 C． 二解 D．不能確定5、在△ABC中，，那么角A為〔 〕A． B． C． D．或6、在△ABC中，假設(shè)，那么△ABC的形狀是〔 〕A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7、銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，a，那么a的范圍是〔 〕A． B． C． D．8、在△ABC中，,那么△ABC一定是( )A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形9、△ABC中，60°，如果△ABC兩組解，那么x的取值范圍()A． B． C． D．10、在△ABC中，周長(zhǎng)為7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,以下結(jié)論：①②③④其中成立的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)11、在△ABC中，,,∠A＝30°，那么△ABC面積為〔〕A． B． C．或 D． 或12、△ABC的面積為，且，那么∠A等于〔〕A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°13、△ABC的三邊長(zhǎng)，那么△ABC的面積為〔〕ACB30米20米A． B． C． D．ACB30米20米14、某市在“舊城改造〞中方案內(nèi)一塊如下圖的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，這種草皮每平方米a元，那么購(gòu)置這種草皮至少要〔〕A． 450a元 B．225a元 C． 150a元 D． 300a元15、甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲，乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是〔〕A． 分鐘 B．分鐘 C．21.5分鐘 D．2.15分鐘16、飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為30°，向前飛行10000米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為〔〕A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D．米17、在△ABC中，°，°，∠C＝70°，那么△ABC的面積為〔〕A． B． C． D．18、假設(shè)△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是，A＝60°，那么BC邊的長(zhǎng)是〔〕A． 5 B．6 C．7 D．819、銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x，那么x的取值范圍是〔〕A． B．C． D．20、在△ABC中，假設(shè)，那么△ABC是〔〕A．有一內(nèi)角為30°的直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一內(nèi)角為30°的等腰三角形 D．等邊三角形二、填空題21、在△ABC中，假設(shè)∠A:∠B:∠C=1:2:3,那么22、在△ABC中，150°，那么b＝23、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，那么a＝；b＝24、△ABC中，121°，那么此三角形解的情況是25、三角形兩邊長(zhǎng)分別為1和，第三邊上的中線長(zhǎng)為1，那么三角形的外接圓半徑為.26、在△ABC中，，那么△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是三、解答題27、在△ABC中，，A＝45°，在BC邊的長(zhǎng)分別為20，，5的情況下，求相應(yīng)角C。28、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的兩個(gè)根，且。求：(1)角C的度數(shù)；(2)AB的長(zhǎng)度。29、在△ABC中，證明：。30、在△ABC中，，cosC是方程的一個(gè)根，求△ABC周長(zhǎng)的最小值。解三角形單元測(cè)試答案一、選擇題1-5.CBCBC6-10.DBBCC11-15.BDBDA16-20.ACCBB二、填空題21、22、723、,24、無解25、126、120°三、解答題27、解：由正弦定理得〔1〕當(dāng)BC＝20時(shí)，sinC＝；°〔2〕當(dāng)BC＝時(shí)，sinC＝；有兩解或120°〔3〕當(dāng)BC＝5時(shí)，sinC＝2>1；不存在28、解：〔1〕C＝120°〔2〕由題設(shè)：29、證明：由正弦定理得：30、解：又是方程的一個(gè)根