2022北京西城高三(上)期末數(shù)學(xué)考生須知：1.本試卷滿分150分。.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、班級、姓名和學(xué)號。.試題答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效。.在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項(xiàng)涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。.考試結(jié)束時(shí)，將本試卷、答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)已知集合A=｛%|—3<%w2｝，B=｛x|-2<%w3｝，則AUB=(A)(-3,3] (B)(-3,3)(C)(-3,2] (D)(-2,2](2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=(1+2i)i對應(yīng)的點(diǎn)位于(A)第一象限 (B)第二象限(0第三象限 (D)第四象限(3)在^ABC中，若a=2,b=3,cos(A+B)=3，則Uc=TOC\o"1-5"\h\z(A)<17 (B)4(C)35 (D)3(4)若雙曲線C:二-^2=1的一條漸近線方程為y=—%，則雙曲線C的離心率為a2b2 22222 (C)3 (D)232(5)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C(5)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C中，點(diǎn)E,F分別是棱AC,BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是11 ．．．CC1//平面A1ABB1AF//平面ABC111EF//平面AABB11AE//平面B1BCC1(6)已知函數(shù)f(%)=,%' %<0,的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是2%-a,%三0(A)a<0 (B)a>0(C)aw1 (D)a力1(7)已知｛a｝為等比數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和，若S=3a,a2=a，則S=n n 2 1 23 4(A)7(B)8(C)15(D)312/12(8)已知函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間［0,2］上連續(xù)不斷，貝卜f(0)+f(1)+f(2)=0”是“f(x)在［0,2］上存在零點(diǎn)”的(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件(9)按照“碳達(dá)峰”、“碳中和”的實(shí)現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時(shí)期，2060年實(shí)現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：Ah)，放電時(shí)間看(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=In-t，其中n為Peukert常數(shù).為了測算某蓄電池的Peukert常數(shù)n，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流I=20A時(shí)，放電時(shí)間t=20h；當(dāng)放電電流I=30A時(shí)，放電時(shí)間t=10h.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為(參考數(shù)據(jù):lg2工0.30,lg3M0.48)TOC\o"1-5"\h\z(A)4 (B)5 (C)8 (D)23 33(10)設(shè)集合A的最大元素為M，最小元素為m，記A的特征值為X^=M-m，若集合中只有一個(gè)元素，規(guī)定其A特征值為0.已知A1,A2,A3，…，An是集合N*的元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，且Xa+Xa+Xa+…+Xa=120，貝n的最大值為1 2 3 n(A)14 (B)15 (C)16 (D)18第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11)在(%x-2)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)x(12)已知點(diǎn)A(2,4)在拋物線C:y2=2px上，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).則拋物線C的方程為△AOF的面積為.(13)在長方形ABCD中，|AB|=1,BE=1BC，且AB-AE=AD-AE，則|AD|= ,AE-AC= .3(14)已知函數(shù)f(x)」cos(x+°),x*0,是偶函數(shù)，則0的一個(gè)取值為 .［sinx,x<0(15)在棱長為1的正方體ABCD-4產(chǎn)1cl4中，過點(diǎn)A的平面a分別與棱BB^CJ,DR交于點(diǎn)E,F,G，記四邊形AEFG在平面BCCBB1上的正投影的面積為\，四邊形AEFG在平面ABB】氣上的正投影的面積為S2.給出下面有四個(gè)結(jié)論：①四邊形AEFG是平行四邊形;②\+S2的最大值為2；④四邊形AEFG可以是菱形，且菱形面積的最大值③s1S2④四邊形AEFG可以是菱形，且菱形面積的最大值則其中所有正確結(jié)論的序號是

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)(本小題13分)，點(diǎn)E在線段AB如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD1平面ABCD,PD=AD=2,AB=4上，且AE=，點(diǎn)E在線段AB4(I)求證：CE1平面PBD；(II)求二面角P—CE—A的余弦值.(17)(本小題(17)(本小題13分)已知函數(shù)f(x)=Asin?x+6(A〉0,3〉0,0<^<n)的部分圖象如圖所示，在條件①、條件②、中選擇兩個(gè)作為已知．(I)求函數(shù)f(x)的解析式；(II)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x).cos(2x+殳，若g(x)在區(qū)間［0，m］上單調(diào)遞減，求m的最大值.條件③這三個(gè)條件條件①：c-a=n;2條件②：b=n;3條件③：c=—.12注：如果選擇多個(gè)條件組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．(18)(本小題14分)2021年7月11日18時(shí)，中央氣象臺發(fā)布暴雨橙色預(yù)警，這是中央氣象臺2021年首次發(fā)布暴雨橙色預(yù)警.中央氣象臺預(yù)計(jì)，7月11日至13日，華北地區(qū)將出現(xiàn)2021年以來的最強(qiáng)降雨.下表是中央氣象臺7月13日2:00統(tǒng)計(jì)的24小時(shí)全國降雨量排在前十的區(qū)域.北京密云山東樂陵河北遷西山東慶云北京懷柔河北海興河北唐山天津渤海A平臺河北豐南山東長清180毫米175毫米144毫米144毫米143毫米140毫米130毫米127毫米126毫米126毫米(I)從這10個(gè)區(qū)域中隨機(jī)選出1個(gè)區(qū)域，求這個(gè)區(qū)域的降雨量超過135毫米的概率；(II)從這10個(gè)區(qū)域中隨機(jī)選出3個(gè)區(qū)域，設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的區(qū)域?yàn)楸本﹨^(qū)域的數(shù)量，求X的分布列和期望；(III)在7月13日2:00統(tǒng)計(jì)的24小時(shí)全國降雨量排在前十的區(qū)域中，設(shè)降雨量超過140毫米的區(qū)域降雨量的方差為s：，降雨量在140毫米或140毫米以下的區(qū)域降雨量的方差為s；,全部十個(gè)區(qū)域降雨量的方差為s32.試判斷s,,s22,s32的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)(19)(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+1).(I)若a=0，求f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；(II)若f(x)在(-1,1)上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(I)若對于任意xe(0心］,f(x)〉ex(x2cosx+1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2(20)(本小題15分)已知橢圓M:上+*=1的焦點(diǎn)為F(2,0)，長軸長與短軸長的比值為%萬.a2b2(I)求橢圓M的方程；(I)過點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于A,B兩點(diǎn)，BC±x軸于點(diǎn)C,AD±x軸于點(diǎn)D，直線BD交直線x=4于點(diǎn)E，求△ECD與^EAB的面積之比.(21)(本小題15分)已知數(shù)列A:a1,a2,???,aN(N三4)，其中a1,a2,???,aNgZ，且a1<a2<???<aN.若數(shù)列A”,a2,???,aN滿足a「a1,aN=aN，當(dāng)i=2,3,…,N—i時(shí)，ai=a「1+1或2-1,則稱A：a1,a2,…,aN為數(shù)列A的“緊數(shù)列”.例如，數(shù)列A：2,4,6,8的所有“緊數(shù)列”為2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8.(I)直接寫出數(shù)列A:1,3,6,7,8的所有“緊數(shù)列”A；(11)已知數(shù)列A滿足：4=1,aN=2N，若數(shù)列A的所有“緊數(shù)歹U”A均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為N+1；(111)已知數(shù)列A滿足：4=0,a2=2，對于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”A，定義集合S(A)={a1aili=2,3,???,N-1},如果對任意xgS(A)，都有-xeS(A),那么稱A為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”.若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求aN的最小值.(用關(guān)于N的代數(shù)式表示)2022北京西城高三（上）期末數(shù)學(xué)參考答案、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）B （3）A （4）C （5）D（6）D （7）C （8）A （9）B （10）C、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）60 （12）y2=8%4 （13）<32（14）-（答案不唯一）2(15)①③④三、解答題（共6小題，共85分）(16)(共13分)解：(1)因?yàn)镻DI平面ABCD,CEu平面ABCD,所以PD±CE.因?yàn)锳B=4,AE=3AB,4所以AE=3,BE=1.所以ABBCADBE所以ABBCADBE所以Rt△CBEsRt△BAD所以BD±CE.又因?yàn)镻D±CE,PD^BD=D,所以CE±平面PBD. 5分(II)因?yàn)镻D±平面ABCD,ADu平面ABCD,CDu平面ABCD,所以PD±AD,PD±CD.又因?yàn)锳BCD是矩形，AD±CD,所以AD,CD,PD兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,貝UC(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),所以PC=(0,4,-2),CE=(2,-1,0).設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為n=(羽y,z)，則n-CE=0, f2%-y=0,4 即〈n-PC=0, 14y-2z=0.令％=1,則y=2,z=4.于是n=(1,2,4).因?yàn)镻D±平面ABCD,取平面ACE的法向量為m=（0,0,1）.

貝ijcos<m,n)=貝ijcos<m,n)=ImllnIl-->/l+4+16 21由圖可知二面角P-C￡-A為銳角,所以二面角P-C￡-4的余弦值是21 13分(17)(共13分)解：（I）選條件①②:因?yàn)閏—4TT TTT 2冗2,所以乙=乙，即7=兀，則所以二面角P-C￡-4的余弦值是21 13分(17)(共13分)解：（I）選條件①②:因?yàn)閏—4TT TTT 2冗2,所以乙=乙，即7=兀，則co=e=2.2 22 T由題意可知A=2，則/(%)=2sin(2%+(p)?因?yàn)椤?g,/(>)=2sin(曾+(p)=0,所以g+（p=既，左GZ,即（p=—夸+就.TT因?yàn)?<(p<7i,所以(p=3,k=1-所以/(%)=2sin(2%+：> 6分選條件①③:TT TTT 7712，所以人=2，即T=ti，則3=3=2.2 22 T由題意可知4=2，則/(%)=2sin(2%+cp)?因?yàn)镃7Ji 7兀*，/(c)=2sin(￡+(p)=—2,77r 47r jr所以j+(P=*+2E,keZ,即(p=—+2E?6 2 3Tl因?yàn)?<(p<7i,所以(png,k=0.所以/(%)=2sin(2%+：> 6分選條件②③:TT 77r IT因?yàn)閆?=—，c=—，所以(?_>=一3 12 4T 271—?即7=71，貝I]g)=^-=2.由題意可知4=2，則/(%)=2sin(2%+cp)?因?yàn)镃77i「,、 、c—?f(c)=2sin(—+(p)=-2，12 o77r 47r ir所以—+(p=—+2kn，keZ，即(p=—+2E?6 2 37T因?yàn)?<(p<7i,所以9=3,k=0.所以f(x)=2sin(2x+3). 6分(口)由題意得g(x)=sin(4所以f(x)=2sin(2x+3). 6分(口)由題意得g(x)=sin(4x+1n).n 3n函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為[—+2kn, +2kn](kgZ).22n 2n 3n…由—+2k汽v4x+ v +2k汽，2v3v2nn k汽得- + vxv24 2vv5nk汽+一.24 2因?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)在區(qū)間［0,m］上單調(diào)遞減，且0g［一A,5n］，此時(shí)k=0.2424所以mv5n，所以m的最大值是5n. 13分v24 24(18)(共14分)解：(I)設(shè)這個(gè)區(qū)域降雨量在135毫米以上為事件A,區(qū)域降雨量在135毫米以上的區(qū)域共有6個(gè)，所以P(A)=-=3.105答：這個(gè)區(qū)域降雨量在135毫米以上的概率為3. 4分5P(X=0)=-C3-=567 ,C31201510C2C1567p(Y—1、一r-p(X—1)—82一一,C31201510C1C281P(X=2)=一.C31012015(II)由題意分析可知X=0,1,2,隨機(jī)變量X的分布列為:所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為:E(X)7 7 13=0x—+1x—+2x—=一15 15155(III)(19)S22<S12<s2.(共15分)XX001122P17515115 11分14分解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=ex(x2+1),f(x)=ex(x2+2x+1),所以f'(0)=1,f(0)=1,所以切線方程為y=x+1. 4分(II)由f(x)=ex(x2+ax+1)，得f<x)=ex[x2+(a+2)x+a+1].令f'(x)=0，得xi=-a-1,x2=-1.①若％]wx2，則a三0,f(x)三0在(-1,1)上恒成立，因此，f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意.②若x1>x2，則a<0,f(x)與f(x)的情況如下：x(-8,-1)-1(-1,-a-1)-a-1(-a-1,+8)f(x)+00+f(x)極大值極小值因此，f(x)在(-8,-1),(-a-1,+s)上單調(diào)遞增，在(-1,-a-1)上單調(diào)遞減.若f(x)在(-1,1)上有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，則需-1<-a-1<1,所以一2<a<0.綜上，a的取值范圍是(-2,0).(III)因?yàn)閑x>0,所以f(x)=ex(x2+ax+1)>ex(x2cosx+1)，即x2+ax>x2cosx.又因?yàn)閤>0,所以x2+ax>x2cosx，即a>xcosx-x.令g(x)=xcosx-x，所以g'(x)=cosx-xsinx-1=(cosx-1)-xsinx.因?yàn)閤G(0,-]，所以cosx-1<0,2又xsinx>0，所以g'(x)<0,所以g(x)為(0,-]上減函數(shù)，所以g(x)<g(0)=0，所以a三02綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,+8). 15分(20)(共15分)解：(1)由題設(shè)，a=<2，所以a2=2b2.b又因?yàn)镃=2,a2=b2+c2，所以2b2=b2+4.解得b2=4,a2=8. 5分所以橢圓M的方程為x2+或=1.8 5分(II)由題意可知，直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x-2).\y=k(x-2),,由《 得(1+2k2)x2-8k2x+(8k2-8)=0.Ix2+2y2=8設(shè)A(x,y),B(x,y)，則Ux+x= ,xx11 22 1 2 1+2k2 12因?yàn)锳D±x軸，所以D(x,0).i直線BD方程為直線BD方程為y——x-x「(x-x)，所以E4,y：(4-x))x2-「因?yàn)锽C1x因?yàn)锽C1x軸，所以C(x2，0).因?yàn)閗—』一AC x1-x2k-八(4-xJ,K— 2 1EC(x-x)(4-X2)所以kEC-k所以kEC-kAC(x-x)(4-21y2(4-\)+邛4-x2)

(x2-x1)(4-x2)X2)y—i-

x1-x2k(x2-2)(4-日)+k(-2)(4-x2)(x-x)(4-x)k [6(x+x)-2xx-16]TOC\o"1-5"\h\z(x-x)(4-x) 1 2 1221 22k 「24k2 8k2-8。1[ — —8](x2-x1)(4-x2)1+2k2 1+2k216k 3k2-k2+1-1-2k2(x-x)(4-x)=0.所以C,A,E三點(diǎn)共線.因?yàn)锽C//AD，所以S△ACD-S△ABD，所以S△ECD—S△EAB'所以S△eCD：S△EAB-1:1? 15分(21)(共15分)解：(1)A1:1,2,4,7,8；A2:1,2,6,7,8；A3:1,5,4,7,8；A4:1,5,6,7,8. 5分(II)依題意，對任意i—2,3,…,N-2，有a,—4J1或Qi+1-1,q+1—ai+1或ai+2-1,因?yàn)锳均為遞增數(shù)列，所以有ai<ai+1，即同時(shí)滿足：a1+1<a+1^①a.1-1<a?-1^②a」+1<a.2-1^③，a」-1<a.+1^④.因?yàn)锳為遞增數(shù)列，因此①和②恒成立.又因?yàn)锳為整數(shù)數(shù)列，對于③，ai-1+屋ai<ai+aai+2-1也恒成立.對于④，一方面，由a1-1<a+1,得a1<a+2,即a」^a.+1.另一方面，a,+1三a,+1,所以a.+1—a.+1(i—2,3，…,N-2),即A從第2項(xiàng)到第N-1項(xiàng)是連續(xù)的正整數(shù)，^^以a三a+1—2,a—a+N—3wa—1—2N-1,因此匕2wawN+2,故a共有N+1種不同取值，即所有符合條件的數(shù)列A共有N+1個(gè) 10分2(Ill)記b=a一a1,依題意，bgN*(n=2,3，…,N).對任意i=2,3,…,N—1,有aJa,=bi—1或—bij1,注意到0eS(A)，即對任意ig{2,3,…,N—1]，有ai—ai豐0,若aaa=b-1中0，則b中1,即b22;若a-a=—b^1+1豐0，貝1Jb.產(chǎn)1,即bi1N2,即對任意i=2,3,…,N—1,或者bi22，或者bi+122.所以bi+bi+12