(word完好版)高中不等式全部知識(shí)及典型例題(超全)(word完好版)高中不等式全部知識(shí)及典型例題(超全)(word完好版)高中不等式全部知識(shí)及典型例題(超全)一．不等式的性：二．不等式大小比的常用方法：1．作差：作差后通分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出果；2．作商〔常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)的代數(shù)式〕；3．剖析法；4．平方法；5．分子〔或分母〕有理化；6．利用函數(shù)的性；7．找中量或放法；8．象法。此中比法〔作差、作商〕是最根本的方法。三．重要不等式221.〔1〕假定a,bR，a2b22ab(2)假定a,bR，abab〔當(dāng)且當(dāng)ab取“=〞〕22.(1)假定a,b*，abab(2)假定a,bR*，ab2ab〔當(dāng)且當(dāng)ab取“〞〕R2=a2*，abb(當(dāng)且當(dāng)ab取“=〞〕(3)假定a,bR23.假定x0，x12(當(dāng)且當(dāng)x1取“〞〕;x=1假定x0，x2(當(dāng)且當(dāng)x1取“〞〕x=假定x111-2(當(dāng)且當(dāng)ab取“=〞〕0，x2即x2或xxxx假定ab0，ab2(當(dāng)且當(dāng)ab取“=〞〕ba假定ab0，ab2即ab2或ab-2(當(dāng)且當(dāng)ab取“〞〕bababa=224.假定a,bR，(ab2ab〔當(dāng)且當(dāng)ab取“=〞〕)22注：〔1〕當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的定植，能夠求它的和的最小，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和定植，能夠求它的的最小，正所“定和最小，和定最大〞．〔2〕求最的條件“一正，二定，三取等〞(3)均定理在求最、比大小、求量的取范、明不等式、解決方面有寬泛的用．3+b3+c3≥3abc〔a,b,cR+〕,a+b+c≥3abc〔當(dāng)且當(dāng)a=b=c取等號(hào)〕；31na1a2Lan(a+12ni12n222≥ab+bc+ca;ab≤(a+b2+≤a+b+c3+式：a+b+c)(a,b)(a,b,cR)2R);abc(32aba+ba2+b2a≤a+b≤ab≤2≤2≤b.(0<a≤b)b－nbb+m7.度不等式：a－n<a<a+m,a>b>n>0,m>0;用一：求最例1：求以下函數(shù)的域〔1〕y＝3x2＋12〔〕＝＋12x2yxx解技巧：1技巧一：湊項(xiàng)例1：x5，求函數(shù)y4x21的最大值。44x5評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)時(shí)，求yx(82x)的最大值。技巧三：分離例3.求yx27x10(x1)的值域。x1技巧四：換元分析二：本題看似沒法運(yùn)用根本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。(t1)27(t〕25t44tyt=t5t當(dāng),即t=時(shí),y2t459〔當(dāng)t=2即＝時(shí)取“＝〞號(hào)〕。tx1a的單技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，假定遇等號(hào)取不到的狀況，應(yīng)聯(lián)合函數(shù)f(x)xx調(diào)性。例：求函數(shù)yx25的值域。x24解：令x24t(t2)，那么yx25x241t1(t2)x2x2t44因t0,t11，但t1解得t1不在區(qū)間2,，故等號(hào)不建立，考慮單一性。tt由于yt1在區(qū)間1,單一遞加，所以在其子區(qū)間2,為單一遞加函數(shù)，故y5。t2所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,。22．0，求函數(shù)yx(1x)的最大值.；3．0x2，求函數(shù)yx(23x)的最大值.x13條件求最值1.假定實(shí)數(shù)知足ab2，那么3a3b的最小值是.剖析：“和〞到“積〞是一個(gè)減小的過程，并且3a3b定值，所以考慮利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正數(shù)，3a3b≥23a3b23ab6當(dāng)3a3b時(shí)等號(hào)建立，由ab2及3a3b得ab1即當(dāng)ab1時(shí)，3a3b的最小值是6．變式：假定log4xlog4y112，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整體代換：頻頻連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否那么就會(huì)犯錯(cuò)。。2：x0,y0，且191，求xy的最小值。xy2技巧七、x，y為正實(shí)數(shù)，且x2＋y2＝，求x＋y2的最大值.211a2＋b2剖析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采納公式ab≤2。同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)1＋y22前面的系數(shù)為1，x1＋y2＝x·1＋y2＝·1＋y2中y2222x22下邊將x，1y22＋2分別當(dāng)作兩個(gè)因式：1y221y222y211y2x·x＋(2＋2)x＋2＋23即x1＋y2＝2·x32＋2≤2＝2＝42＋2≤42技巧八：a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝1的最小值.ab剖析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，往常有兩個(gè)門路，一是經(jīng)過消元，轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉瘮?shù)問題，再用單一性或根本不等式求解，對(duì)本題來說，這類門路是可行的；二是直接用根本不等式，對(duì)本題來說，因條件中既有和的形式，又有積的形式，不可以一步到位求出最值，考慮用根本不等式放縮后，再經(jīng)過解不等式的門路進(jìn)行。法一：a＝30－2b，＝－－2b2＋30b得，＜＜015b＋1abb＋1bb＋1a0b令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31＝－〔＋16〕＋∵＋16≥2t·16＝8t2tt34ttt1∴ab≤18∴y≥18當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)建立。法二：由得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab那么u2＋22u－30≤0，－52≤u≤321ab≤32，ab≤18，∴y≥18評(píng)論：①本題考察不等式abab〔a,bR〕2的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②怎樣由不等式aba2b〔〕的范圍，重點(diǎn)是找尋到與之間的關(guān)系，由此想a,bR出發(fā)求得abaabb到不等式abab〔a,bR〕2，這樣將條件變換為含ab的不等式，從而解得ab的范圍.變式：1.a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.假定直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x＋2y的最值.解法一：假定利用算術(shù)均勻與平方均勻之間的不等關(guān)系，a＋b≤a2＋b2，本題很簡(jiǎn)單223x＋2y≤2〔3x〕2＋〔2y〕2＝2＋2y＝253x解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，想法直接用根本不等式，應(yīng)經(jīng)過平方化函數(shù)式為積的形式，再3向“和為定值〞條件聚攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝25應(yīng)用二：利用根本不等式證明不等式1．a(chǎn),b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2abbcca1〕正數(shù)a，b，c知足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：a、b、cR，且abc1。求證：1111118abc剖析：不等式右側(cè)數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左側(cè)因式分別使用根本不等式可得三個(gè)“2〞連乘，又111abc2bc，可由此變形下手。aaaa解：Qa、b、cR，abc1。111abc2bc。同理112ac，112ab。aaaabbcc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1111112bcg2acg2ab8。當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)取等號(hào)。abcabc3應(yīng)用三：根本不等式與恒建立問題例：x0,y0且191，求使不等式xym恒建立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。xy解：令xyk,x0,y0,191，xy9x9y1.10y9x1xykxkykkxky11023。k16，m,16k應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：假定ab1,Plgalgb,Q1(lgalgb),Rlg(ab)，那么P,Q,R的大小關(guān)系是.22剖析：∵ab1∴l(xiāng)ga0,lgb0Q1〔lgalgb)lgalgbp2Rlg(ab)lgab1lgabQ∴R>Q22四．不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：〔1〕分解成假定干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；〔2〕將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方挨次經(jīng)過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；〔3〕依據(jù)曲線展現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如〔1〕解不等式(x1)(x2)20?！泊穑簕x|x1或x2}〕；4〔2〕不等式(x2)x22x30的解集是____〔答：{x|x3或x1}〕；〔3〕設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)0的解集為{x|1x2}，g(x)0的解集為，那么不等式f(x)gg(x)0的解集為______〔答：(,1)U[2,)〕；〔4〕要使知足對(duì)于x的不等式2x29xa0〔解集非空〕的每一個(gè)x的值起碼知足不等式x24x30和x26x80中的一個(gè)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.〔答：[7,81)〕84．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右側(cè)為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不可以去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如〔1〕解不等式5xx212x3〔答：(1,1)U(2,3)〕；〔2〕對(duì)于x的不等式axb0的解集為(1,)，那么對(duì)于x的不等式axb0的解集為____________x2〔答：(,1)(2,)〕.指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式。6．絕對(duì)值不等式的解法：〔1〕含絕對(duì)值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集〔2〕|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|(zhì)ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥cax+b≥c或ax+b≤-c.〔3〕|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，表達(dá)了數(shù)形聯(lián)合的思想；方法二：利用“零點(diǎn)分段法〞求解，表達(dá)了分類議論的思想；方法三：經(jīng)過結(jié)構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，表達(dá)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例1：解以下不等式：(1).x22xx(2).-3<1<2x【分析】：〔1〕解法一〔公式法〕原不等式等價(jià)于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1∴原不等式的解集為﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜解法2〔數(shù)形聯(lián)合法〕作出表示圖，易察看原不等式的解集為﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜5第〔1〕題圖第〔2〕題圖【分析】：本題假定直接求解分式不等式組，略顯復(fù)雜，且簡(jiǎn)單解答錯(cuò)誤；假定能聯(lián)合反比率函數(shù)圖象，那么解集為x|x1或x<-1,結(jié)果了如指掌。32：解不等式：|x|1x1【分析】作出函數(shù)f(x)=|x|和函數(shù)g(x)=x的圖象，〔－，0〕[1，＋〕易知解集為解不等式.|x1||x31|例3：2?！窘夥?】令2(x1)g(x)|x1||x1|2x(1x1)2(x1)3h(x)令2，分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，知原不等式的解集為3[,)【解法2】原不等式等價(jià)于|x1|3|x1|2g(x)|x1|,h(x)|x1|32令(3,7)分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，易求出g〔x〕和h〔x〕的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為44|x1||x1|3[3,)所以不等式2的解集為4|x1||x1|32的幾何意義可設(shè)Ｆ1〔－１，０〕，Ｆ２〔１，０〕，Ｍ〔x，y〕，【解法3】由6MF1MF232，可知Ｍ的跡是以Ｆ1、Ｆ2焦點(diǎn)的雙曲的右支，此中右點(diǎn)〔假定，０〕，由雙曲的象和｜x+1｜－｜x-1｜≥知x≥.7．含參不等式的解法：求解的通法是“定域前提，函數(shù)增減性基，分是關(guān)．〞注意解完以后要寫上：“上，原不等式的解集是?〞。注意：按參數(shù)，最后按參數(shù)取分明其解集；但假定按未知數(shù)，最后求并集.如〔1〕假定loga21，a的取范是__________〔答：a1或0a2〕；33〔2〕解不等式ax2x(aR)ax11或x1〔答：a0，{x|x0}；a0，{x|x0}；a0，{x|x0}或x0}〕aa提示：〔1〕解不等式是求不等式的解集，最后必有會(huì)合的形式表示；〔2〕不等式解集的端點(diǎn)常常是不等式方程的根或不等式存心范的端點(diǎn)。如對(duì)于x的不等式axb0的解集(,1)，不等式x20的解集__________〔答：〔－1,2〕〕axb五．三角不等式定理1：假如a,b是數(shù)，|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且當(dāng)ab≥0，等號(hào)建立。注：〔1〕三角不等式的向量形式及幾何意：當(dāng)rrrrrra，b不共，|a+b|≤|a|+|b|，它的幾何意就是三角形的兩之和大于第三。〔2〕不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=〞建立的條件分是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在“=〞建立的條件是ab≥0，左“=〞建立的條件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右“=〞建立的條件是ab≤0，左“=〞建立的條件是ab≥0且|a|≥|b|。定理2：假如a,b,c是數(shù)，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且當(dāng)(a-b)(b-c)，等號(hào)建立。例1.0，xa，yb，求2x3y2a3b5.例2.(1)求函數(shù)yx3x1的最大和最?。?2)aR，函數(shù)fxax2xa(1x1).假定a1，求fx的最大例3.兩個(gè)施工分被安排在公路沿的兩個(gè)地址施工，兩個(gè)地址分位于公路路牌的第10km和第20km.要在公路沿建兩個(gè)施工的共同生活區(qū)，每個(gè)施工每日在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之來回一次.要使兩個(gè)施工每日來回的行程之和最小，生活區(qū)建于何？六．柯西不等式7a1b1a2b2anbn2a12a22an22b12b22bn22aibiR,i1,2n等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an0或bikai時(shí)建立〔k為常數(shù)，i1,2n〕種類一：利用柯西不等式求最值1．求函數(shù)的最大值一：∵且，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即時(shí)函數(shù)取最大值，最大值為二：∵且，∴函數(shù)的定義域?yàn)橛?，得即，解得∴時(shí)函數(shù)取最大值，最大值為.當(dāng)函數(shù)分析式中含有根號(hào)經(jīng)常利用柯西不等式求解種類二：利用柯西不等式證明不等式2．設(shè)、、為正數(shù)且各不相等，求證：又、、各不相等，故等號(hào)不可以建立∴。種類三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用6．△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證：證明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左側(cè)=。8七．證明不等式的方法：比較法、剖析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差〔商〕后經(jīng)過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，而后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：1111111nn1n(n1)n2n(n1)n1nk1k111kk1k1k2kk1k如〔1〕abc，求證：a2bb2cc2aab2bc2ca2；(2)a,b,cR，求證：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；〔3〕a,b,x,yR，且11,xy，求證：xyy；abxab(4)假定a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lgablgbclgcalgalgblgc；222〔5〕a,b,cR，求證：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；(6)假定nN*，求證：(n1)21(n1)n21n；(7)|a||b|，求證：|a||b||a||b|；|ab||ab|〔8〕求證：111L12。2232n2八．不等式的恒建立,能建立,恰建立等問題：不等式恒建立問題的慣例辦理方式？〔常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法〞轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪祮栴}，也可抓住處給不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用數(shù)形聯(lián)合法〕1).恒建立問題假定不等式fxA在區(qū)間D上恒建立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上fxminA