歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！第一節(jié)任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)考試要求：1．了解任意角的概念和弧度制．2．能進(jìn)行弧度與角度的互化．3．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．任意角定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形分類按旋轉(zhuǎn)方向不同正角、負(fù)角和零角按終邊的位置不同象限角和軸線角終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad,1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))eq\s\up12(°)．在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不能混用．3．扇形的弧長(zhǎng)公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2．扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式中角的單位要用弧度．4．任意角的三角函數(shù)(1)概念：任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)概念推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)符號(hào)法則：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置，不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角． (×)(2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)． (√)(3)不相等的角終邊一定不相同． (×)(4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1． (√)2．已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1C解析：設(shè)圓的半徑為r，則sin1＝eq\f(1,r)，所以r＝eq\f(1,sin1)，所以2弧度的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為2r＝eq\f(2,sin1)．3．集合，k∈Z中的角所表示的范圍(陰影部分)是()ABCDC解析：當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時(shí)α終邊位于第一象限；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時(shí)α表示的終邊位于第三象限．4．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，則cosα＝________．－eq\f(3,5)解析：因?yàn)辄c(diǎn)A縱坐標(biāo)yA＝eq\f(4,5)，且點(diǎn)A在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以點(diǎn)A橫坐標(biāo)xA＝－eq\f(3,5)．由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f(3,5)．5．點(diǎn)P(tan2022°，cos2022°)位于第______象限．四解析：因?yàn)?022°＝5×360°＋222°，所以2022°的終邊與220°的終邊相同．又222°是第三象限角，所以tan2022°>0，cos2022°<0，即點(diǎn)P位于第四象限．考點(diǎn)1象限角及終邊相同的角——基礎(chǔ)性1．在平面直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的是()A．小于90°的角一定是銳角B．第二象限的角一定是鈍角C．始邊相同且相等的角的終邊一定重合D．始邊相同且終邊重合的角一定相等C解析：對(duì)于A，小于90°的角一定是銳角，首先必須強(qiáng)調(diào)為正角且小于90°，故錯(cuò)誤．對(duì)于B，例如α＝eq\f(17π,6)的終邊在第二象限，但不是鈍角，故錯(cuò)誤．對(duì)于C，始邊相同且相等的角的終邊一定相同，故正確．對(duì)于D,30°與390°角的始邊終邊均相同，但不相等，故錯(cuò)誤．2．(2021·松山區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，若角α的終邊與240°角的終邊相同，則eq\f(α,2)的終邊所在象限是()A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限A解析：因?yàn)榻铅翞榈谌笙藿?，滿足的集合為{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以，所以eq\f(α,2)的終邊落在第二象限或第四象限．3．(2021·遼寧模擬)寫出兩個(gè)與－eq\f(11π,3)的終邊相同的角：________．－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)(答案不唯一)解析：與－eq\f(11π,3)終邊相同的角α＝2kπ－eq\f(11π,3)．k∈Z，當(dāng)k＝1時(shí)，α＝－eq\f(5π,3)，當(dāng)k＝2時(shí)，a＝eq\f(π,3)．1．解答第1題要緊扣概念，尤其分清小于90°的角與銳角的區(qū)別；第3題是開放題，是近年來(lái)高考的新題型，要予以重視．2．利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來(lái)求得所需的角．3．確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法(1)先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．(2)數(shù)形結(jié)合，等分象限，確定角所在的象限．考點(diǎn)2扇形的弧長(zhǎng)、面積公式——綜合性(1)(2022·煙臺(tái)一模)某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一種螺線，作法如下：在水平直線l上取長(zhǎng)度為2的線段AB，并作等邊三角形ABC．第一次畫線：以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D；第二次畫線：以點(diǎn)C為圓心、CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；以此類推，得到的螺線如圖所示，則()A．第二次畫線的圓弧長(zhǎng)度為eq\f(4π,3)B．前三次畫線的圓弧總長(zhǎng)度為4πC．在螺線與直線l恰有4個(gè)交點(diǎn)(不含點(diǎn)A)時(shí)停止畫線，此時(shí)螺線的總長(zhǎng)度為30πD．在螺線與直線l恰有6個(gè)交點(diǎn)(不含點(diǎn)A)時(shí)停止畫線，此時(shí)螺線的總長(zhǎng)度為60πD解析：第一次畫線：以點(diǎn)B為圓心，r＝2，旋轉(zhuǎn)eq\f(2π,3)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為2×eq\f(2π,3)＝eq\f(4π,3)；第二次畫線：以點(diǎn)C為圓心，r＝4，旋轉(zhuǎn)eq\f(2π,3)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為4×eq\f(2π,3)＝eq\f(8π,3)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，交l累計(jì)1次；第三次畫線：以點(diǎn)A為圓心，r＝6，旋轉(zhuǎn)eq\f(2π,3)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為6×eq\f(2π,3)＝eq\f(12π,3)＝4π，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，交l累計(jì)2次；第四次畫線：以點(diǎn)B為圓心，r＝8，旋轉(zhuǎn)eq\f(2π,3)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為8×eq\f(2π,3)＝eq\f(16π,3)；第五次畫線：以點(diǎn)C為圓心，r＝10，旋轉(zhuǎn)eq\f(2π,3)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為10×eq\f(2π,3)＝eq\f(20π,3)，交l累計(jì)3次；前五次累計(jì)畫線eq\f(4π,3)＋eq\f(8π,3)＋eq\f(12π,3)＋eq\f(16π,3)＋eq\f(20π,3)＝20π，第六次畫線：以點(diǎn)A為圓心，r＝12，旋轉(zhuǎn)eq\f(2π,3)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為12×eq\f(2π,3)＝eq\f(24π,3)＝8π，交l累計(jì)4次，累計(jì)畫線20π＋8π＝28π，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．第七次畫線：以點(diǎn)B為圓心，r＝14，旋轉(zhuǎn)eq\f(2π,3)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為14×eq\f(2π,3)＝eq\f(28π,3)；第八次畫線：以點(diǎn)C為圓心，r＝16，旋轉(zhuǎn)eq\f(2π,3)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為16×eq\f(2π,3)＝eq\f(32π,3)，交l累計(jì)5次；第九次畫線：以點(diǎn)A為圓心，r＝18，旋轉(zhuǎn)eq\f(2π,3)，劃過(guò)的圓弧長(zhǎng)為18×eq\f(2π,3)＝eq\f(36π,3)＝12π，交l累計(jì)6次，累計(jì)畫線28π＋eq\f(28π,3)＋eq\f(32π,3)＋12π＝60π，故選項(xiàng)D正確．(2)《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計(jì)算問(wèn)題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(弧田弦)圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長(zhǎng)，“矢”指的是弧田所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．如圖，弧田是由圓弧eq\o(AB,\s\up10(︵))和其所對(duì)弦AB圍成的圖形．若弧田的弧eq\o(AB,\s\up10(︵))長(zhǎng)為eq\f(8π,3)，弧所在的圓的半徑為4，則利用《九章算術(shù)》中的弧田面積公式計(jì)算出來(lái)的面積與實(shí)際面積之差為________．8eq\r(3)＋2－eq\f(16π,3)解析：如圖所示，由題意可得∠AOB＝eq\f(\f(8π,3),4)＝eq\f(2π,3)，OA＝4．在Rt△AOD中，可得∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2，可得矢＝4－2＝2．由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，可得弦＝2AD＝4eq\r(3)，所以，弧田面積為eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2．實(shí)際面積為eq\f(1,2)×eq\f(8π,3)×4－eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2＝eq\f(16π,3)－4eq\r(3)．所以4eq\r(3)＋2－eq\f(16π,3)＋4eq\r(3)＝8eq\r(3)＋2－eq\f(16π,3)．本例若改為：弧田弦AB等于6m，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為eq\f(7,2)m2，則sin∠AOB＝________．eq\f(24,25)解析：如圖，由題意可得AB＝6，弧田的面積S＝1,2)(弦×矢＋矢×矢)＝eq\f(7,2)，解得矢＝1或矢＝－7(舍)．設(shè)半徑為r，圓心到弧田弦的距離為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r－d＝1，,r2＝9＋d2，))解得d＝4，r＝5．所以cos∠AOD＝eq\f(d,r)＝eq\f(4,5)．所以cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝eq\f(32,25)－1＝eq\f(7,25)．所以sin∠AOB＝eq\r(1－cos2∠AOB)＝eq\f(24,25)．應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題．(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理利用圓心角所在的三角形．1．半徑為2，圓心角為eq\f(π,3)的扇形的面積等于()A．eq\f(4π,3)B．πC．eq\f(2π,3)D．eq\f(π,3)C解析：因?yàn)樯刃蔚陌霃绞?，圓心角的弧度數(shù)是eq\f(π,3)，故扇形的弧長(zhǎng)為eq\f(2π,3)，所以扇形的面積為S＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2＝eq\f(2π,3)．2．(2022·太原模擬)斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋線”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)列(即a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*))的各項(xiàng)為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，將這些圓弧依次連起來(lái)的弧線就是斐波那契螺旋線．自然界中存在很多斐波那契螺旋線的圖案，如向日葵、鸚鵡螺等．如圖為該螺旋線的一部分，則第七項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的扇形的弧長(zhǎng)為()A．eq\f(169π,4)B．eq\f(21π,4)C．eq\f(13π,2)D．4πC解析：由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和．根據(jù)題意，接下來(lái)的一段圓弧所在圓的半徑r＝5＋8＝13，對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)l＝2π×13×eq\f(1,4)＝eq\f(13π,2)．考點(diǎn)3三角函數(shù)的定義——基礎(chǔ)性考向1三角函數(shù)的定義(1)已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為eq\f(1,2)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)D解析：因?yàn)榻铅恋捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為eq\f(1,2)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))．根據(jù)三角函數(shù)的定義，得cosα＝－eq\f(\r(3),2)．所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα＝－eq\f(\r(3),2)．(2)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)C解析：由題意得點(diǎn)P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝±eq\f(1,2)．又cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝eq\f(1,2)．本例(1)若改為：角α終邊上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，把角α按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到角θ，則sinθ＝________．eq\f(3,5)解析：由題意得，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，θ＝α＋90°，所以sinθ＝sin(α＋90°)＝cosα＝eq\f(3,5)．利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．考向2三角函數(shù)值的符號(hào)(1)下列三角函數(shù)值為負(fù)數(shù)的是()A．sin2 B．cos3C．tan4 D．cos(－5)B解析：因?yàn)閑q\f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq\f(3π,2)＜5＜2π，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，且cos(－5)＝cos5＞0．(2)已知sinθcosθ<0，且|cosθ|＝cosθ，則角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角D解析：因?yàn)閟inθcosθ<0，所以sinθ，cosθ一正一負(fù)．又|cosθ|＝cosθ，所以cosθ≥0，綜上有sinθ<0，cosθ>0，即θ為第四象限角．要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，正弦函數(shù)值的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào)，余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào)，正切函數(shù)值的符號(hào)由x，y共同決定，如果不能確定角所在的象限，就要分類討論．1．(2021·日照模擬)若α為第二象限角，則()A．sinα－cosα＜0B．tanα＜0C．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))>0D．cos(π－2α)>0B解析