高中物理競賽數(shù)學知識之一、二階微分方程求解高中物理競賽數(shù)學知識12018年暑假焊接認識實習報告總結范文焊接認識實習報告格式一(1)學習識別簡單的電子元件與電子線路;(2)學習并掌握收音機的工作原理;(3)按照圖紙焊接元件,組裝一臺收音機,并掌握其調試方法。(1)電烙鐵:由于焊接的元件多,所以使用的是外熱式電烙鐵,功率為30w,烙鐵頭是銅制。(2)螺絲刀、鑷子等必備工具。(3)松香和錫,由于錫它的熔點低,焊接時,焊錫能迅速散步在金屬表面焊接牢固,焊點光亮美觀。(4)兩節(jié)5號電池。電子技術實習的主要目的就是培養(yǎng)我們的動手能力,同金工實習的意義是一樣的,金工實習要求我們都日常的機械車床,勞動工具能夠熟練使用,能夠自己動手做出一個像樣的東西來。而電子技術實習就要我們對電子元器件識別,相應工具的操作,相關儀器的使用,電子設備制作、裝調的全過程,掌握查找及排除電子電路故障的常用方法有個更加詳實的體驗,不能在面對這樣的東西時還像以前那樣一籌莫展。有助于我們對理論知識的理解,幫助我們學習專業(yè)知識。使我們對電子元件及收音機的裝機與調試有一定的感性和理性認識,打好日后深入學習電子技術基礎。同時實習使我獲得了收音機的實際生產(chǎn)知識和裝配技四五二一退出Chpt.7常微方程基本概念與幾種一階和二階線性方程的主要解法解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法專題常微方程基本概念與簡單分類方法解一階常微方程的湊微分法三解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的特征多項式法一階常微方程的分離變量解法與套公式解法2018年暑假焊接認識實習報告總結范文四五二一退出Chpt.2退出返回本章只討論常微方程。簡例如下：2.常微方程分類命名法

含一元未知函數(shù)的導函數(shù)或因變量一、常微方程基本概念與簡單分類法1.何謂常微分方程經(jīng)驗指出，常微方程中未知函數(shù)及其非線性方程，剩下的都是線性方程。顯然，簡例中階數(shù)最高的方程是(5)，它們統(tǒng)稱為高階方程）。剩下的方程全為三階方程；其次是(4)，為二階方程（是一階方程（尤其含有微分者更如此）的微分以及自變量的微分的等式稱為數(shù)或因變量的微分及其多個自變量的常微分方程；含多元未知函數(shù)的偏導常微方程按其內(nèi)所含未知函數(shù)的最高階數(shù)來分類并命名。最高階數(shù)是幾，方程就被稱為幾階方程。導數(shù)的冪次是否全為一次，決定了未知函數(shù)的具體結構能否被解出來的難度。全為一次的方程稱為線性方程，否則稱為非線性方程。易見，簡例唯有(2)是的微分的等式稱為偏微分方程。退出返回本章只討論常微方程。簡例如下：2.常微方程分類命3退出返回3.常微方程的特解與通解常微方程的通解多數(shù)都能囊括方程的例外）。不被通解囊括的以及通解中的例1-1驗證方程的通解任何含自變量與因變量的表達式，若能由之恒等地推出給定的常微方程時，都稱為該常微方程的解；解若含有任意所有可能存在的解（僅非線性方程鮮有常數(shù)、且不能合并的任意常數(shù)的個數(shù)恰任意常數(shù)取特定值后所得出的對應解稱證是好等于方程的階數(shù)時稱為方程的通解。為方程的特解。由于表達式中僅含一個任意常數(shù)，個數(shù)可見，給定的表達式是給定方程的解；明顯與方程的階數(shù)（一階）相等，故此解是方程的通解。證畢。一、常微方程基本概念與簡單分類法退出返回3.常微方程的特解與通解常微方程的通解多數(shù)都能囊4退出返回的通解。解故原方程的通解為*例2-1求一階非線性微分方程即非線性方程的通解（包括特解）往往用隱函數(shù)的形式書寫比較簡潔。有些非線性方程偶爾可經(jīng)變元代換化成線性方程再求解（有興趣者可參閱教材P236之例4與例5），但轉換過程瑣碎，明顯不如湊微分法來得直接和明快。二、解一階常微方程的湊微分法可見，退出返回的通解。解故原方程的通解為*例2-1求一階非線性5退出返回的通解。解故原方程的通解為*例2-2求一階非線性微分方程即

用湊微分法解常微方程，需要純熟地掌握湊微分的四則運算技巧，特別是商的微分運算法則；其掌控的要點在于認準何為分母，何為分子。（本例即教材P236之例4）可見，二、解一階常微方程的湊微分法退出返回的通解。解故原方程的通解為*例2-2求一階非線性6退出返回解的通解。例2-3求一階線性微分方程故

湊微分法解一階微分方程時，只要可能，應堅持因變量按因變量湊，自變量按自變量湊；然后再合并歸總得通解。

解微分方程的過程，本質上是

求出的特解和通解又常常被分別稱做歷經(jīng)曲折求原函數(shù)的過程。因此，被微分方程的積分曲線和積分曲線族（我們知道，同時含有因變量和自變量的等式在解析幾何中表示平面曲線）

在極理想的情況下，原方程有可能被重組成因變量與自變量全都各居一側的形式，人們常稱其為已分離變量的形式。這種方程的解幾乎顯而易見：二、解一階常微方程的湊微分法退出返回解的通解。例2-3求一階線性微分方程故7退出返回

解故原方程的通解為或者故原方程的通解為或者例2-4解下列一階線性齊次方程方程兩邊同乘以線性方程中不含未知函數(shù)及其導函數(shù)的項稱為非齊次項。非齊次項為零的方程稱為線性齊次方程二、解一階常微方程的湊微分法退出返回解故原方程的通解為或者故原方程的通解為或者例2-48的特解。退出返回滿足初始條件

解故方程的通解為亦即又故欲求的特解為或者例2-5求一階線性微分方程亦即二、解一階常微方程的湊微分法的特解。退出返回滿足初始條件解故方程的通解為亦即又故欲求的9退出返回

解故方程的通解為或者又即故原方程欲求的特解為或者的特解。滿足初始條件例2-6求一階線性微分方程二、解一階常微方程的湊微分法退出返回解故方程的通解為或者又即故原方程欲求的特解為或者的10*例2-7求一階線性微分方程與退出返回

解故方程的通解為即的通解。故方程的通解為即二、解一階常微方程的湊微分法*例2-7求一階線性微分方程11退出返回解得x的連續(xù)函數(shù)。所得等式的兩邊同乘以參考課本P237公式(6)故方程的通解為可見**例2-8求一階線性微分方程的通解，其中P，Q都是二、解一階常微方程的湊微分法退出返回解得x的連續(xù)函數(shù)。所得等式的兩邊同乘以參考課本P12但應強調指出的是，其中的不定積分僅用以特指P(x)的某一積函數(shù)的某個原函數(shù)而非全體原函數(shù)。而非全體原函數(shù)。該公式在教材的P237的公式(6)中借不定積分的形式表述為的通解求算公式：**例2-8的求解結果實際上給出了一階線性微分方程類似地，不定積分也僅用以特指被顯然，使用變積分上限的函數(shù)表示某指定函數(shù)的原函數(shù)，較之上述采取將全體原函數(shù)聲明混用于單個原函數(shù)的過于簡單的做法要嚴謹。二、解一階常微方程的湊微分法退出返回但應強調指出的是，其中的不定積分僅用以特指P(x)13退出返回的通解。解故原方程的通解為**例2-9求一階線性微分方程

用湊微分法解常微方程，除應純熟地掌握湊微分的四則運算技巧、特別是商的運算法則之外，對已經(jīng)選湊成形的微分間的相互關聯(lián)性，尤其應保持住豐富的聯(lián)想空間。何謂規(guī)律？不就是相互關聯(lián)性嗎？“想象力比知識更重要”，本例即為又一值得體味的佐例（請與教材P236之例4相比對）可見，二、解一階常微方程的湊微分法退出返回的通解。解故原方程的通解為**例2-9求一階線性14退出返回1.分離變量法2.公式法已分離變量的方程。對可分離變量

若一階常微方程已被改寫成關于通解表達式，把未知函數(shù)的系數(shù)和若一階常微方程已被改寫成等號兩邊各自分別是同一變量疑似為某全微分的方程，則這種方程就稱為所求得的一階任意線性微分方程的非齊次項的信息直接代入計算，而一舉得出通解的解法稱為公式法。這種奠基性的解法一旦與微分方程的具體構形特征掛上鉤之后，湊微分法是微分方程求解的奠基性解法。還能衍生出許多其它的經(jīng)典解法。的方程分離變量，各邊再分頭關于自身的變量求不定積分常能求出方程的解。這種解法稱為分離變量法。某個變量為未知函數(shù)的一階線性微分方程的規(guī)范形式，則借用例2-8三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法退出返回1.分離變量法2.公式法已分離變量的方程。對15退出返回*例3-1用分離變量法求微分方程（因y

＝0顯然是方程之解，故任意常（若y≠0）數(shù)C

取0時通解就可將之囊括其內(nèi)）的通解。

解故*例3-2用公式法求一階線性微分方程的通解。

解三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法短接退出返回*例3-1用分離變量法求微分方程（因y＝016故返回給定的變量即得原方程的通解退出返回**例3-3用變元代換法求微分方程的通解。（此乃P239習題7.2的4(2)）

解若令則方程將化為以Z為未知函數(shù)的一階線性方程方程的通解應為于是，依線性方程的求解公式，此三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法故返回給定的變量即得原方程的通解退出返回**例3-3用變17退出返回**例3-4用變元代換法求微分方程若再令則方程顯然是以z的通解。

解依求解公式，此方程的通解應為若令故返回給定的變量即得原方程的通解則方程將化為以t

為自變量的一階微分方程（因為為未知函數(shù)、以t

為自變量的一階線性方程三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法退出返回**例3-4用變元代換法求微分方程若再令則方程顯18退出返回

解*例3-5用不同方法求方程的通解解二（湊微分法）故原方程的通解為一（公式法）方程是線性方程方程即三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法亦即退出返回解*例3-5用不同方法求方程的通解19退出返回四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法例4-0求一階線性齊次方程的通解解原方程即拆中降階建立在對一階常系數(shù)線性齊次方程的通解能目視得解的基礎上亦即故原方程的通解為系數(shù)為a

，通解為Ans.通解為Ans.通解為Ans.通解為Ans.通解為Ans.通解為退出返回四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法例420退出返回*例4-1求二階線性齊次方程的通解【拆中降階要點】中項系數(shù)的分拆之積與末項系數(shù)相等解原方程即故原方程的通解為解原方程即故原方程的通解為四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法短接退出返回*例4-1求二階線性齊次方程的通解21退出返回例4-2求下列微分方程的通解解原方程即【拆中降階要點】中項系數(shù)的分拆之積與末項系數(shù)相等亦即原方程即故原方程的通解為解故原方程的通解為四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法退出返回例4-2求下列微分方程的通解22*例4-3求下列微分方程的通解中是一階導函數(shù)項的代稱中項系數(shù)的分拆之積與末項系數(shù)相等解原方程即故原方程的通解為原方程即解故原方程的通解為退出返回四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法【拆中降階要點】*例4-3求下列微分方程的通解23*例4-4求二階線性齊次方程的通解。解原方程即亦即

或者故原方程的通解為退出返回根據(jù)著名的歐拉（Euler）公式四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法特征多項式*例4-4求二階線性齊次方程24*例4-5-1求二階線性非齊次方程解原方程即亦即故原方程的通解為退出返回可以看出：非齊次方程的通解等于某個特解與對應齊次方程的通解之和。本例的求算過程乃是一般性證明的某個具體實現(xiàn)。四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法的通解。*例4-5-1求二階線性非齊次方程解原方程即25**例4-5-2求二階線性非齊次方程解原方程即亦即故原方程的通解為退出返回可以看出：非齊次方程的通解等于某個特解與對應齊次方程的通解之和。本例的求算過程乃是一般性證明的某個具體實現(xiàn)。四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法的通解。**例4-5-2求二階線性非齊次方程解原方程即26**例4-5-3求二階線性非齊次方程解原方程即亦即故原方程的通解為退出返回可以看出：非齊次方程的通解等于某個特解與對應齊次方程的通解之和。本例的求算過程乃是一般性證明的某個具體實現(xiàn)。四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法的通解。**例4-5-3求二階線性非齊次方程解原方程即27退出返回五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特征根法

一階常系數(shù)線性微分方程只有一個中的各階導函數(shù)幻化成r的各次冪函將二階線性常系數(shù)齊次方程稱為微分方程的特征多項式，特征多如果特征根是復數(shù)，則二者必共軛，用湊微分法可以證明，如果兩特征根不相等，則線性齊次方程的通解必為若兩特征根彼此相等，即則齊次方程的通解必為數(shù)所得到的二次三項式項式的根稱為微分方程的特征根。以特征多項式作為標準函數(shù)的標準方程特征根r，二階常系數(shù)線性微分方程有兩個特征根當然必不相等。記兩共軛之根為稱為微分方程的特征方程。退出返回五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特征根法一階常系數(shù)線28退出返回例5-1求下列微分方程的通解解的特征多項式特征根為方程的通解為的特征多項式特征根為∴齊次方程

依原方程構造特征多項式最容易的特征多項式特征根為∴齊次方程出差錯的是不求導數(shù)的未知函數(shù)項。

警示自己的口訣是：不求導數(shù)即求零階導數(shù)，r的零次冪可視為無r

！∴齊次的通解為的通解為五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特征根法退出返回例5-1求下列微分方程的通解解的特征多項式特29退出返回例5-2求下列微分方程的通解解項式特征根為通解為的特征多項式特征根為∴齊次方程的特征多項式特征根為∴齊次方程∴齊次方程的的通解為的通解為的特征多

特征根彼此相等時，寫通解的方式完全和不相等時“走一樣的程序”：

在兩任意常數(shù)后寫兩個特征根對應的指數(shù)復合函數(shù)解；檢查此二解的指數(shù)是否相同，一旦發(fā)現(xiàn)二者一模一樣就迅即任選其中的一項補乘以因子x.五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特征根法退出返回例5-2求下列微分方程的通解解項式特征根為通301退出返回**例5-3求二階線性非齊次方程解∵方程的特征多項式特征根為故原方程的通解為的通解。∴對應齊次方程的通解為五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特征根法1退出返回**例5-3求二階線性非齊次方程解∵方程的特31退出返回**例5-4求二階線性非齊次方程解∵方程的特征多項式特征根為故原方程的通解為的通解。∴對應齊次方程的通解為五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特征根法2退出返回**例5-4求二階線性非齊次方程解∵方程的特征32你真的要退出嗎？YesNo你真的要退出嗎？YesNo33多媒體研制組微積分多媒體課件Exit2014年11月28日-12月7日多媒體研制組微積分多媒體課件Exit2014年11月28日-341則設亦即待定多項式與特征多項式的取值雙雙呈降階排列退出返回五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特征根法21則設亦即待定多項式退出返回五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特35退出返回六、關于二階變系數(shù)線性微分方程的解的構造退出返回六、關于二階變系數(shù)線性微分方程的解的構造36退出返回例6-1求下列微分方程的通解

解二階常微方程的通解必含兩個任意常數(shù)三階常微方程的通解必含三個任意常數(shù)未知函數(shù)的導函數(shù)可以寫成等于某些已知函數(shù)的典型簡單常微方程之例退出返回例6-1求下列微分方程的通解解二階常微方程的通37高中物理競賽數(shù)學知識之一、二階微分方程求解高中物理競賽數(shù)學知識382018年暑假焊接認識實習報告總結范文焊接認識實習報告格式一(1)學習識別簡單的電子元件與電子線路;(2)學習并掌握收音機的工作原理;(3)按照圖紙焊接元件,組裝一臺收音機,并掌握其調試方法。(1)電烙鐵:由于焊接的元件多,所以使用的是外熱式電烙鐵,功率為30w,烙鐵頭是銅制。(2)螺絲刀、鑷子等必備工具。(3)松香和錫,由于錫它的熔點低,焊接時,焊錫能迅速散步在金屬表面焊接牢固,焊點光亮美觀。(4)兩節(jié)5號電池。電子技術實習的主要目的就是培養(yǎng)我們的動手能力,同金工實習的意義是一樣的,金工實習要求我們都日常的機械車床,勞動工具能夠熟練使用,能夠自己動手做出一個像樣的東西來。而電子技術實習就要我們對電子元器件識別,相應工具的操作,相關儀器的使用,電子設備制作、裝調的全過程,掌握查找及排除電子電路故障的常用方法有個更加詳實的體驗,不能在面對這樣的東西時還像以前那樣一籌莫展。有助于我們對理論知識的理解,幫助我們學習專業(yè)知識。使我們對電子元件及收音機的裝機與調試有一定的感性和理性認識,打好日后深入學習電子技術基礎。同時實習使我獲得了收音機的實際生產(chǎn)知識和裝配技四五二一退出Chpt.7常微方程基本概念與幾種一階和二階線性方程的主要解法解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法專題常微方程基本概念與簡單分類方法解一階常微方程的湊微分法三解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的特征多項式法一階常微方程的分離變量解法與套公式解法2018年暑假焊接認識實習報告總結范文四五二一退出Chpt.39退出返回本章只討論常微方程。簡例如下：2.常微方程分類命名法

含一元未知函數(shù)的導函數(shù)或因變量一、常微方程基本概念與簡單分類法1.何謂常微分方程經(jīng)驗指出，常微方程中未知函數(shù)及其非線性方程，剩下的都是線性方程。顯然，簡例中階數(shù)最高的方程是(5)，它們統(tǒng)稱為高階方程）。剩下的方程全為三階方程；其次是(4)，為二階方程（是一階方程（尤其含有微分者更如此）的微分以及自變量的微分的等式稱為數(shù)或因變量的微分及其多個自變量的常微分方程；含多元未知函數(shù)的偏導常微方程按其內(nèi)所含未知函數(shù)的最高階數(shù)來分類并命名。最高階數(shù)是幾，方程就被稱為幾階方程。導數(shù)的冪次是否全為一次，決定了未知函數(shù)的具體結構能否被解出來的難度。全為一次的方程稱為線性方程，否則稱為非線性方程。易見，簡例唯有(2)是的微分的等式稱為偏微分方程。退出返回本章只討論常微方程。簡例如下：2.常微方程分類命40退出返回3.常微方程的特解與通解常微方程的通解多數(shù)都能囊括方程的例外）。不被通解囊括的以及通解中的例1-1驗證方程的通解任何含自變量與因變量的表達式，若能由之恒等地推出給定的常微方程時，都稱為該常微方程的解；解若含有任意所有可能存在的解（僅非線性方程鮮有常數(shù)、且不能合并的任意常數(shù)的個數(shù)恰任意常數(shù)取特定值后所得出的對應解稱證是好等于方程的階數(shù)時稱為方程的通解。為方程的特解。由于表達式中僅含一個任意常數(shù)，個數(shù)可見，給定的表達式是給定方程的解；明顯與方程的階數(shù)（一階）相等，故此解是方程的通解。證畢。一、常微方程基本概念與簡單分類法退出返回3.常微方程的特解與通解常微方程的通解多數(shù)都能囊41退出返回的通解。解故原方程的通解為*例2-1求一階非線性微分方程即非線性方程的通解（包括特解）往往用隱函數(shù)的形式書寫比較簡潔。有些非線性方程偶爾可經(jīng)變元代換化成線性方程再求解（有興趣者可參閱教材P236之例4與例5），但轉換過程瑣碎，明顯不如湊微分法來得直接和明快。二、解一階常微方程的湊微分法可見，退出返回的通解。解故原方程的通解為*例2-1求一階非線性42退出返回的通解。解故原方程的通解為*例2-2求一階非線性微分方程即

用湊微分法解常微方程，需要純熟地掌握湊微分的四則運算技巧，特別是商的微分運算法則；其掌控的要點在于認準何為分母，何為分子。（本例即教材P236之例4）可見，二、解一階常微方程的湊微分法退出返回的通解。解故原方程的通解為*例2-2求一階非線性43退出返回解的通解。例2-3求一階線性微分方程故

湊微分法解一階微分方程時，只要可能，應堅持因變量按因變量湊，自變量按自變量湊；然后再合并歸總得通解。

解微分方程的過程，本質上是

求出的特解和通解又常常被分別稱做歷經(jīng)曲折求原函數(shù)的過程。因此，被微分方程的積分曲線和積分曲線族（我們知道，同時含有因變量和自變量的等式在解析幾何中表示平面曲線）

在極理想的情況下，原方程有可能被重組成因變量與自變量全都各居一側的形式，人們常稱其為已分離變量的形式。這種方程的解幾乎顯而易見：二、解一階常微方程的湊微分法退出返回解的通解。例2-3求一階線性微分方程故44退出返回

解故原方程的通解為或者故原方程的通解為或者例2-4解下列一階線性齊次方程方程兩邊同乘以線性方程中不含未知函數(shù)及其導函數(shù)的項稱為非齊次項。非齊次項為零的方程稱為線性齊次方程二、解一階常微方程的湊微分法退出返回解故原方程的通解為或者故原方程的通解為或者例2-445的特解。退出返回滿足初始條件

解故方程的通解為亦即又故欲求的特解為或者例2-5求一階線性微分方程亦即二、解一階常微方程的湊微分法的特解。退出返回滿足初始條件解故方程的通解為亦即又故欲求的46退出返回

解故方程的通解為或者又即故原方程欲求的特解為或者的特解。滿足初始條件例2-6求一階線性微分方程二、解一階常微方程的湊微分法退出返回解故方程的通解為或者又即故原方程欲求的特解為或者的47*例2-7求一階線性微分方程與退出返回

解故方程的通解為即的通解。故方程的通解為即二、解一階常微方程的湊微分法*例2-7求一階線性微分方程48退出返回解得x的連續(xù)函數(shù)。所得等式的兩邊同乘以參考課本P237公式(6)故方程的通解為可見**例2-8求一階線性微分方程的通解，其中P，Q都是二、解一階常微方程的湊微分法退出返回解得x的連續(xù)函數(shù)。所得等式的兩邊同乘以參考課本P49但應強調指出的是，其中的不定積分僅用以特指P(x)的某一積函數(shù)的某個原函數(shù)而非全體原函數(shù)。而非全體原函數(shù)。該公式在教材的P237的公式(6)中借不定積分的形式表述為的通解求算公式：**例2-8的求解結果實際上給出了一階線性微分方程類似地，不定積分也僅用以特指被顯然，使用變積分上限的函數(shù)表示某指定函數(shù)的原函數(shù)，較之上述采取將全體原函數(shù)聲明混用于單個原函數(shù)的過于簡單的做法要嚴謹。二、解一階常微方程的湊微分法退出返回但應強調指出的是，其中的不定積分僅用以特指P(x)50退出返回的通解。解故原方程的通解為**例2-9求一階線性微分方程

用湊微分法解常微方程，除應純熟地掌握湊微分的四則運算技巧、特別是商的運算法則之外，對已經(jīng)選湊成形的微分間的相互關聯(lián)性，尤其應保持住豐富的聯(lián)想空間。何謂規(guī)律？不就是相互關聯(lián)性嗎？“想象力比知識更重要”，本例即為又一值得體味的佐例（請與教材P236之例4相比對）可見，二、解一階常微方程的湊微分法退出返回的通解。解故原方程的通解為**例2-9求一階線性51退出返回1.分離變量法2.公式法已分離變量的方程。對可分離變量

若一階常微方程已被改寫成關于通解表達式，把未知函數(shù)的系數(shù)和若一階常微方程已被改寫成等號兩邊各自分別是同一變量疑似為某全微分的方程，則這種方程就稱為所求得的一階任意線性微分方程的非齊次項的信息直接代入計算，而一舉得出通解的解法稱為公式法。這種奠基性的解法一旦與微分方程的具體構形特征掛上鉤之后，湊微分法是微分方程求解的奠基性解法。還能衍生出許多其它的經(jīng)典解法。的方程分離變量，各邊再分頭關于自身的變量求不定積分常能求出方程的解。這種解法稱為分離變量法。某個變量為未知函數(shù)的一階線性微分方程的規(guī)范形式，則借用例2-8三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法退出返回1.分離變量法2.公式法已分離變量的方程。對52退出返回*例3-1用分離變量法求微分方程（因y

＝0顯然是方程之解，故任意常（若y≠0）數(shù)C

取0時通解就可將之囊括其內(nèi)）的通解。

解故*例3-2用公式法求一階線性微分方程的通解。

解三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法短接退出返回*例3-1用分離變量法求微分方程（因y＝053故返回給定的變量即得原方程的通解退出返回**例3-3用變元代換法求微分方程的通解。（此乃P239習題7.2的4(2)）

解若令則方程將化為以Z為未知函數(shù)的一階線性方程方程的通解應為于是，依線性方程的求解公式，此三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法故返回給定的變量即得原方程的通解退出返回**例3-3用變54退出返回**例3-4用變元代換法求微分方程若再令則方程顯然是以z的通解。

解依求解公式，此方程的通解應為若令故返回給定的變量即得原方程的通解則方程將化為以t

為自變量的一階微分方程（因為為未知函數(shù)、以t

為自變量的一階線性方程三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法退出返回**例3-4用變元代換法求微分方程若再令則方程顯55退出返回

解*例3-5用不同方法求方程的通解解二（湊微分法）故原方程的通解為一（公式法）方程是線性方程方程即三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法亦即退出返回解*例3-5用不同方法求方程的通解56退出返回四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法例4-0求一階線性齊次方程的通解解原方程即拆中降階建立在對一階常系數(shù)線性齊次方程的通解能目視得解的基礎上亦即故原方程的通解為系數(shù)為a

，通解為Ans.通解為Ans.通解為Ans.通解為Ans.通解為Ans.通解為退出返回四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法例457退出返回*例4-1求二階線性齊次方程的通解【拆中降階要點】中項系數(shù)的分拆之積與末項系數(shù)相等解原方程即故原方程的通解為解原方程即故原方程的通解為四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法短接退出返回*例4-1求二階線性齊次方程的通解58退出返回例4-2求下列微分方程的通解解原方程即【拆中降階要點】中項系數(shù)的分拆之積與末項系數(shù)相等亦即原方程即故原方程的通解為解故原方程的通解為四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法退出返回例4-2求下列微分方程的通解59*例4-3求下列微分方程的通解中是一階導函數(shù)項的代稱中項系數(shù)的分拆之積與末項系數(shù)相等解原方程即故原方程的通解為原方程即解故原方程的通解為退出返回四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法【拆中降階要點】*例4-3求下列微分方程的通解60*例4-4求二階線性齊次方程的通解。解原方程即亦即

或者故原方程的通解為退出返回根據(jù)著名的歐拉（Euler）公式四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法特征多項式*例4-4求二階線性齊次方程61*例4-5-1求二階線性非齊次方程解原方程即亦即故原方程的通解為退出返回可以看出：非齊次方程的通解等于某個特解與對應齊次方程的通解之和。本例的求算過程乃是一般性證明的某個具體實現(xiàn)。四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法的通解。*例4-5-1求二階線性非齊次方程解原方程即62**例4-5-2求二階線性非齊次方程解原方程即亦即故原方程的通解為退出返回可以看出：非齊次方程的通解等于某個特解與對應齊次方程的通解之和。本例的求算過程乃是一般性證明的某個具體實現(xiàn)。四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法的通解。**例4-5-2求二階線性非齊次方程解原方程即63**例4-5-3求二階線性非齊次方程解原方程即亦即故原方程的通解為退出返回可以看出：非齊次方程的通解等于某個特解與對應齊次方程的通解之和。本例的求算過程乃是一般性證明的某個具體實現(xiàn)。四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法的通解。**例4-5-3求二階線性非齊次方程解原方程即64退出返回五、解二階常系數(shù)