本章小結(jié)知識(shí)回顧問題1

閱讀課本，繪制本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖．平面向量基本概念向量的表示方法幾何表示法有向線段字母表示法向量的模與向量有關(guān)的其他概念零向量向量夾角單位向量向量在幾何證明中的應(yīng)用向量在物理中的應(yīng)用余弦定理與正弦定理共線（平行）向量向量的概念應(yīng)用舉例相等向量用余弦定理、正弦定理解三角形定義幾何意義運(yùn)算律運(yùn)算律共線（平行）向量基本定理定義幾何意義性質(zhì)及其運(yùn)算律坐標(biāo)表示投影直線的方向向量數(shù)量積向量的加減法向量的數(shù)乘線性運(yùn)算平面向量基本定理及坐標(biāo)表示問題導(dǎo)入問題2

向量的概念和向量運(yùn)算的物理背景分別是什么？物理背景分別是位移、速度、力．問題3

向量的概念和向量運(yùn)算的幾何背景分別是什么？幾何背景分別是有向線段、三角形、平行四邊形．問題4

比較向量運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算，向量運(yùn)算給我們什么啟示？向量不僅有大小而且還有方向，運(yùn)用向量解決問題，不能忽視方向．問題導(dǎo)入問題導(dǎo)入問題5

為什么平面向量基本定理是很重要的？平面向量基本定理是向量的理論基礎(chǔ)；是平面向量的運(yùn)算的基礎(chǔ)．定理揭示了任一平面向量均可以用平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線向量線性表示出來的實(shí)質(zhì)，問題6

向量的應(yīng)用有哪些？向量是解決其他問題的重要工具，運(yùn)用向量的方法可以解決一些平面幾何問題以及物理中的問題．問題導(dǎo)入問題7

為什么說向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁？向量融數(shù)、形于一體，與幾何的橋梁．具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，因此是溝通代數(shù)問題導(dǎo)入問題8

運(yùn)用正弦定理、余弦定理能求解的三角形題型有哪些？正弦定理：已知兩角和一邊或兩邊和其中一邊的對(duì)角求其他邊角，或兩邊夾角求面積．余弦定理：已知兩邊和夾角求第三邊，或已知三邊求角．問題導(dǎo)入問題9

運(yùn)用正弦定理、余弦定理能求解的三角形的應(yīng)用題題型有哪些？常用的有測(cè)量距離問題，測(cè)量角度問題等．測(cè)量高度問題，問題導(dǎo)入問題10

向量線性運(yùn)算的求解策略是什么？復(fù)習(xí)探究（1）向量是一個(gè)有“形”的幾何量，因此在進(jìn)行向量線性運(yùn)算時(shí)，一定要結(jié)合圖形，這是研究平面

（3）平行向量共線向量、相等向量與相反向量、單位向量等，理解向量的有關(guān)概念并進(jìn)行恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用．

向量的重要方法與技巧．復(fù)習(xí)探究問題11

向量數(shù)量積的運(yùn)算方法有哪些？數(shù)量積運(yùn)算能解決哪些問題？向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法：（1）當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os<a，b>．（2）當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝x1，y1，b＝x2，y2，則a·b＝x1x2＋y1y2．運(yùn)用兩向量的數(shù)量積解決長(zhǎng)度、夾角、垂直等問題，解題時(shí)應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解．復(fù)習(xí)探究問題12

平面向量與三角形的“四心”有什么關(guān)系？設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，

復(fù)習(xí)探究問題13

解決解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的思路是什么？解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中（目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系），最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，用哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行作答，解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的的要求．課堂練習(xí)練習(xí)：教科書第128～P129頁復(fù)習(xí)題A組第1，2，3，4，5．

初步應(yīng)用解析：因?yàn)镚為△ABC的重心，A．

B．

所以

所以

故選B．B初步應(yīng)用

解析：設(shè)H是BC上除E點(diǎn)外的另一個(gè)三等分點(diǎn)，連接FH，連接BD交AC于O，則BD∥FH．在三角形CFH中，G是兩條中線的交點(diǎn)，HOCEGFDAB故G是三角形CFH的重心，結(jié)合可知

由于O是AC中點(diǎn)，故

所以

，由此可知λ＝

．

初步應(yīng)用

ACDBFM

∴

初步應(yīng)用

（2）∵F為線段AB的中點(diǎn)，

∵A、M、D三點(diǎn)共線，

ACDBFM

初步應(yīng)用

ACDBFM

∴λ＝

，

初步應(yīng)用（1）若cos∠ABC＝

，則△ABC的面積S△ABC為________；

解析：（1）因?yàn)閏os∠ABC＝

，∠ABC∈（0，π），

所以sin∠ABC＝

，

所以△ABC的面積為

初步應(yīng)用（2）以E為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

（1）若cos∠ABC＝

，則△ABC的面積S△ABC為________；

ADBECxy0初步應(yīng)用

＝－2cos（A＋C）－1＝2cosB－1＝0，（1）求B的大??；（2）若b＝7，sinA＋sinC＝

，求△ABC的面積．

＝2sinAsinC－2cosAcosC－1∴cosB＝

，又B∈（0，π），∴B＝

．

初步應(yīng)用

又∵b2＝a2＋c2－2accosB，（1）求B的大?。唬?）若b＝7，sinA＋sinC＝

，求△ABC的面積．

∴a＋c＝13．（2）∵

∴sinA＝

，sinC＝

，

∵sinA＋sinC＝

，即

，

即72＝a2＋c2－2accos，所以ac＝40，

∴S△ABC＝

初步應(yīng)用例5

已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

，λ∈（0，＋∞），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）

A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心解析：因?yàn)?/p>

所以

初步應(yīng)用例5

已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，λ∈

（0，＋∞），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）

A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心所以

所以點(diǎn)P在BC的高線上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的垂心，故選B．B歸納小結(jié)（2）平面向量運(yùn)算律的注意點(diǎn)有哪些？（3）解三角形問題中的注意點(diǎn)有哪些？問題14

（1）有關(guān)向量的注意點(diǎn)有哪些？（1）有關(guān)向量的注意點(diǎn)：①零向量的方向是任意的．②平行向量無傳遞性，即a∥b，b∥c時(shí)，a與c不一定是平行向量．③注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量．歸納小結(jié)（2）平面向量運(yùn)算律的注意點(diǎn)有哪些？（3）解三角形問題中的注意點(diǎn)有哪些？問題14

（1）有關(guān)向量的注意點(diǎn)有哪些？（2）向量運(yùn)算律中的注意點(diǎn)：①向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除（相約）．②向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即（a·b）c≠a（b·c）．歸納小結(jié)（2）平面向量運(yùn)算律的注意點(diǎn)有哪些？（3）解三角形問題中的注意點(diǎn)有哪些？問題14

（1）有關(guān)向量的注意點(diǎn)有哪些？（3）應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化問題，要注意公式及題目的隱含條件；解三角形問題要注意結(jié)合圖形，特別是三角形的相關(guān)性質(zhì)（內(nèi)角和、邊角關(guān)系）；已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角問題（既可用正弦定理，也可用余弦定理；解三角形時(shí)可能有一解、兩解和無解三種情況）．作業(yè)布置作業(yè)：教科書第128頁，A組第6，7，8，9，10．

1目標(biāo)檢測(cè)DA．B．C．D．

因此，

2目標(biāo)檢測(cè)A

A．（－2，6）C．（－2，4）B．（－6，2）D．（－4，6）

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，

AP′BC′CDEFPF′（－1，3），3目標(biāo)檢測(cè)

解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2），

BxyDCPA4目標(biāo)檢測(cè)（2020年全國(guó)Ⅱ卷）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．（1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．解答：（1）由正弦定理可得：BC2－AC2－AB2＝AC·AB，

（2）由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，