9/9專題限時集訓(十)直線與圓1．過點A(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A．y－x＝1 B．y＋x＝3C．2x－y＝0或x＋y＝3 D．2x－y＝0或y－x＝1D[當直線過原點時，可得斜率為eq\f(2－0,1－0)＝2，故直線方程為y＝2x，即2x－y＝0，當直線不過原點時，設方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，代入點(1,2)可得eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝1，解得a＝－1，方程為x－y＋1＝0，故所求直線方程為2x－y＝0或y－x＝1.]2．若直線x＋(1＋m)y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是()A．1 B．－2C．1或－2 D．－eq\f(3,2)A[由兩直線平行的條件可得－2＋m＋m2＝0，∴m＝－2(舍)或m＝1.]3．直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)，則直線的傾斜角為()A．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6)或eq\f(π,6) D．eq\f(π,6)A[由題意可知，圓心P(2,3)，半徑r＝2，∴圓心P到直線y＝kx＋3的距離d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，由d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝r2，可得eq\f(4k2,1＋k2)＋3＝4，解得k＝±eq\f(\r(3),3).設直線的傾斜角為α，則tanα＝±eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).]4．(2021·常州一模)過圓O：x2＋y2＝5外一點P(2，eq\r(5))作圓O的切線，切點分別為A，B，則|AB|＝()A．2 B．eq\r(5)C．eq\f(4\r(5),3) D．3C[根據題意，圓O：x2＋y2＝5的圓心為(0,0)，半徑r＝eq\r(5)，若P(2，eq\r(5))，則|PO|＝eq\r(4＋5)＝3，圓O：x2＋y2＝5外一點P(2，eq\r(5))作圓O的切線，切點分別為A，B，則|PA|＝|PB|＝eq\r(9－5)＝2，故點A、B在以P為圓心，半徑為2的圓上，該圓的方程為(x－2)2＋(y－eq\r(5))2＝4，聯立兩個圓的方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x－22＋y－\r(5)2＝4，))變形可得2x＋eq\r(5)y－5＝0，則直線AB的方程為2x＋eq\r(5)y－5＝0，圓O的圓心O到AB的距離d＝eq\f(5,\r(4＋5))＝eq\f(5,3)，則|AB|＝2×eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(5－\f(25,9))＝eq\f(4\r(5),3)，故選C．]5．已知圓C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))2＋y2＝r2(r>0)，直線l：3x＋4y－2＝0.若圓C上恰有三個點到直線的距離為1，則r的值為()A．2 B．3C．4 D．6A[圓C的圓心為(－1,0)，則圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|3×－1－2|,\r(32＋42))＝1，又圓C上恰有三個點到直線l的距離為1，所以圓心(－1,0)到直線l的距離為d＝eq\f(r,2)，即d＝eq\f(r,2)＝1，所以r＝2，故選A．]6．已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法不正確的是()A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切C[對于A，∵點A在圓C上，∴a2＋b2＝r2，圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝r，∴直線l與圓C相切，A正確．對于B，∵點A在圓C內，∴a2＋b2＜r2，圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＞r，∴直線l與圓C相離，B正確．對于C，∵點A在圓C外，∴a2＋b2＞r2，圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＜r，∴直線l與圓C相交，C錯誤．對于D，∵點A在直線l上，∴a2＋b2＝r2，圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝r，∴直線l與圓C相切，D正確．綜上，故選C．]7．已知點A是直線l：x＋y－eq\r(2)＝0上一定點，點P，Q是圓x2＋y2＝1上的動點，若∠PAQ的最大值為90°，則點A的坐標是()A．(0，eq\r(2)) B．(1，eq\r(2)－1)C．(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0) D．(eq\r(2)－1,1)或(1，eq\r(2)－1)C[原點到直線l的距離d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，則直線l與圓x2＋y2＝1相切，當AP，AQ均為圓x2＋y2＝1的切線時，∠PAQ取得最大值，連接OP，OQ(圖略)，由于∠PAQ的最大值為90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，則四邊形APOQ為正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，設點A的坐標為(t，eq\r(2)－t)，由兩點間的距離公式得|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或t＝eq\r(2)，因此，點A的坐標為(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)．故選C．]8．(2021·青島一模)已知圓C：x2＋y2－kx＋2y＋eq\f(1,4)k2－k＋1＝0，下列說法不正確的是()A．k的取值范圍是k＞0B．若k＝4，過M(3,4)的直線與圓C相交所得弦長為2eq\r(3)，直線方程為12x－5y－16＝0C．若k＝4，圓C與圓x2＋y2＝1相交D．若k＝4，m＞0，n＞0，直線mx－ny－1＝0恒過圓C的圓心，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)≥8恒成立B[對于A，方程表示圓可得(－k)2＋4－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)k2－k＋1))＞0，解得k＞0，故A正確；對于B，若k＝4，可得圓方程：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，過M(3,4)的直線與圓C相交所得弦長為2eq\r(3)，則圓心(2，－1)到直線的距離為1，當直線的斜率不存在時，x＝3，滿足條件，故B錯誤；對于C，(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圓心(2，－1)，半徑r1＝2,圓x2＋y2＝1，圓心為(0,0)，半徑r2＝1，兩圓心的距離為r1－r2＝1＜eq\r(22＋－12)＝eq\r(5)＜r1＋r2＝3，兩圓相交，故C正確；對于D，直線mx－ny－1＝0恒過圓C的圓心，可得2m＋n－1＝0?2m＋eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，當且僅當m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)時取等號，故D正確．故選B．]9．已知直線l1：4x＋2y－7＝0和l2：2x＋y－1＝0，直線m分別與l1，l2交于A，B兩點，則線段AB長度的最小值為________．eq\f(\r(5),2)[由題知，l2：4x＋2y－2＝0，兩直線間的距離d＝eq\f(5,\r(42＋22))＝eq\f(\r(5),2).所以線段AB長度的最小值為eq\f(\r(5),2).]10．已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為eq\r(6)，則圓C的方程為________．(x－1)2＋(y＋1)2＝2[∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，∴設所求圓的圓心為(a，－a)．又∵所求圓與直線x－y＝0相切，∴半徑r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為eq\r(6)，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2，解得a＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]11．直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[由題意知圓心的坐標為(2,0)，半徑r＝eq\r(2)，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝eq\f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以圓上的點到直線的最大距離是d＋r＝3eq\r(2)，最小距離是d－r＝eq\r(2).易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以2≤S△ABP≤6.故選A．]12．已知點P為圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一點，A(0，－6)，B(4,0)，則|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|的最大值為()A．eq\r(26)＋2 B．eq\r(26)＋4C．2eq\r(26)＋4 D．2eq\r(26)＋2C[取AB的中點D(2，－3)(圖略)，則eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(PD,\s\up7(→))，|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|＝|2eq\o(PD,\s\up7(→))|，又由題意知，圓C的圓心C的坐標為(1,2)，半徑為2，|eq\o(PD,\s\up7(→))|的最大值為圓心C(1,2)到D(2，－3)的距離d再加半徑r，又d＝eq\r(1＋25)＝eq\r(26)，∴d＋r＝eq\r(26)＋2，∴|2eq\o(PD,\s\up7(→))|的最大值為2eq\r(26)＋4，即|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|的最大值為2eq\r(26)＋4.]13．(2021·深圳外國語學校模擬)已知A(－2,0)，B(2,0)，若圓(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在點M滿足eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，實數a不可能是()A．－1 B．－0.5C．0 D．1D[以AB為直徑的圓方程為x2＋y2＝4，eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，則MA⊥MB，∴M在以AB為直徑的圓上．由題意以AB為直徑的圓與已知圓有公共點，∴2－1≤eq\r(2a－12＋2a＋22)≤2＋1，解得－1≤a≤eq\f(1,2).ABC均滿足，D不滿足．故選D．]14．(2021·天津二模)已知直線l：mx＋y－2m－2＝0與圓C：x2＋y2－8y＝0交于A，B兩點，若∠ACB＝eq\f(π,2)，則直線l的方程為__________．x－y＝0[直線l：mx＋y－2m－2＝0與圓C：x2＋y2－8y＝0交于A，B圓C的圓心(0,4)，圓C的半徑為4，直線恒過P(2,2)，∠ACB＝eq\f(π,2)，|CP|＝2eq\r(2)，所以AB的斜率為1，所以直線l的方程為：y－2＝x－2.即x－y＝0.]15．已知直線l：(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0交⊙O：x2＋y2＝25于A，B兩點，C為l外一動點，且|AC|＝2|BC|，則|AB|的最小值為________；當|AB|最小時，△ABC面積的最大值為________.612[由(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0，得λ(x＋y－4)＋μ(2x－y－8)＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,2x－y－8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝0，))所以直線(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0經過定點M(4,0)，設O為坐標原點，若|AB|最小，則OM⊥AB，此時|AB|＝2eq\r(25－42)＝6.法一：設A(4,3)，B(4，－3)，C(x，y)，由|AC|＝2|BC|，可得eq\r(x－42＋y－32)＝2eq\r(x－42＋y＋32)，化簡得點C的軌跡方程為(x－4)2＋(y＋5)2＝16，則點C的軌跡是圓心為(4，－5)，半徑為4的圓，易知圓心(4，－5)在直線AB上，因而C點到AB的最大距離為4，故△ABC面積的最大值為eq\f(1,2)×6×4＝12.法二：設BC＝x，則AC＝2x，由余弦定理知36＝x2＋(2x)2－2·x·2x·cos∠ACB，得x2＝eq\f(36,5－4cos∠ACB)，從而S△ABC＝eq\f(1,2)x·2x·sin∠ACB＝eq\f(36sin∠ACB,5－4cos∠ACB)＝－9×eq\f(0－sin∠ACB,\f(5,4)－cos∠ACB)，其中eq\f(0－sin∠ACB,\f(5,4)－cos∠ACB)可以看成單位圓上的點(cos∠ACB，sin∠ACB)與點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))連線的斜率，可求得其最小值為－eq\f(4,3)，所以△ABC面積的最大值為12.]16．已知圓C1：x2＋y2＝r2與圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列結論不正確的是()A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2bD[圓C2的方程為x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，兩圓的方程相減，可得直線AB的方程為2ax＋2by－a2－b2＝0，即得2ax＋2by＝a2＋b2，分別把A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點的坐標代入，可得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，兩式相減可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以選項A、B均正確；由圓的性質可得，線段AB與線段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝17．(2021·福州一模)已知圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，過點M(2,0)的直線與圓C交于P，Q兩點(點Q在第四象限)．若∠QMO＝2∠QPO(O為坐標原點)，則點P的縱坐標為________．eq\f(1,2)[圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，因為∠QMO＝2∠QPO，由三角形的補角可知，∠QMO＝∠QPO＋∠MOP，所以∠QPO＝∠MOP，故△OMP為等腰三角形，所以OM＝MP＝2，設P(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＋x－22＝4,x－22＋y－12