根式的運(yùn)算技巧根式的運(yùn)算技巧根式的運(yùn)算技巧xxx公司根式的運(yùn)算技巧文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計，管理制度根式的運(yùn)算平方根與立方根一、知識要點(diǎn)1、平方根：⑴、定義：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“”（a稱為被開方數(shù)）。⑵、性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。⑶、算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。2、立方根：⑴、定義：如果x3=a，則x叫做a的立方根，記作“”（a稱為被開方數(shù)）。⑵、性質(zhì)：正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根。3、開平方（開立方）：求一個數(shù)的平方根（立方根）的運(yùn)算叫開平方（開立方）。二、規(guī)律總結(jié)：1、平方根是其本身的數(shù)是0；算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是0和1；立方根是其本身的數(shù)是0和±1。2、每一個正數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個是算術(shù)平方根；任何一個數(shù)都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數(shù)相同。3、本身為非負(fù)數(shù)，即≥0；有意義的條件是a≥0。4、公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何數(shù)）。5、非負(fù)數(shù)的重要性質(zhì)：若幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，則每一個非負(fù)數(shù)都為0（此性質(zhì)應(yīng)用很廣，務(wù)必掌握）。例1求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根；（2）；（3）；⑷例2求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）.（5），（6），（7）（8）例3、求下列各數(shù)的立方根：⑴343；⑵；⑶二、巧用被開方數(shù)的非負(fù)性求值.大家知道，當(dāng)a≥0時，a的平方根是±，即a是非負(fù)數(shù).例4、若求yx的立方根.練習(xí)：已知求的值.三、巧用正數(shù)的兩平方根是互為相反數(shù)求值.我們知道，當(dāng)a≥0時，a的平方根是±，而例5、已知：一個正數(shù)的平方根是2a-1與2-a，求a的平方的相反數(shù)的立方根.練習(xí)：若和是數(shù)的平方根，求的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36（2）27(x+1)3=64五、巧用算術(shù)平方根的最小值求值.我們已經(jīng)知道,即a=0時其值最小,換句話說的最小值是零.例4、已知：y=,當(dāng)a、b取不同的值時，y也有不同的值.當(dāng)y最小時,求ba的非算術(shù)平方根.練習(xí)：1、若一個數(shù)的平方根是，則這個數(shù)的立方根是（）．A．2B．2C．4D．42、144的算術(shù)平方根是，的平方根是；3、若的平方根是和，則=．4、=，的立方根是；5、7的平方根為，=；6、一個數(shù)的平方是9，則這個數(shù)是，一個數(shù)的立方根是1，則這個數(shù)是；7、平方數(shù)是它本身的數(shù)是；平方數(shù)是它的相反數(shù)的數(shù)是；8、當(dāng)x=時，有意義；當(dāng)x=時，有意義；9、若，則x=；若，則n=；10、若，則x=；若，則x；11、的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,則a=____,b=____12、解方程：（2）（3）（4）13、已知，求xyz的值。14、若，求的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．16、若，求xy的值。二次根式一、知識點(diǎn)1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。2.最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；⑵被開方數(shù)中不含分母；⑶分母中不含根式。3.同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。4.二次根式的性質(zhì)：（＞0）（＜0）0（=0）；（1）（）2=（（＞0）（＜0）0（=0）；5.二次根式的運(yùn)算：⑴二次根式的加減運(yùn)算：先把二次根式化成最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可。⑵二次根式的乘除運(yùn)算：①=（≥0,b≥0）；②【例題講解】一、利用二次根式的雙重非負(fù)性來解題（（a≥0），即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負(fù)數(shù)。）例1：x取何值時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。（1）（2）（3）(4).例2：若，則=_____________；若，則【基礎(chǔ)訓(xùn)練】下列各式中一定是二次根式的是（）。A、；B、；C、；D、若，則x的取值范圍是若，則x的取值范圍是。若是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是________．5、設(shè)m、n滿足，則=。6、若三角形的三邊a、b、c滿足=0，則第三邊c的取值范圍是7、若，且時，則（）A、B、 C、 D、二、利用二次根式的性質(zhì)=|a|=(即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值)來解題【例題講解】例1：已知＝－x，則（）≤0≤－3Ｃ.x≥－3D.－3≤x≤0例2：化簡的結(jié)果為（）A、；B、；C、D、【基礎(chǔ)訓(xùn)練】已知a<b，化簡二次根式的正確結(jié)果是（）A．B．C．D．若化簡|1-x|-的結(jié)果為2x-5則（）A、x為任意實(shí)數(shù)B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤43、已知a，b，c為三角形的三邊，則=4、化簡的結(jié)果是（）A．B．C．D．已知：=1，則的取值范圍是（）。A、；B、；C、或1；D、二次根式的化簡與計算（主要依據(jù)是二次根式的性質(zhì)：（）2=a（a≥0），即以及混合運(yùn)算法則）【例題講解】（一）化簡與求值例1：把下列各式化成最簡二次根式：（2）（3）（4）例二：計算：2【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、下列哪些是同類二次根式：（1），，，，，，；（2），，a2、計算下列各題：（1）6（2）；（3）（4）（5）－已知，則x等于（）A．4B．±2C．2D．±44、＋＋＋…＋（二）先化簡，后求值：1.直接代入法：已知求(1)(2)2.變形代入法：（1）變條件：①已知：，求的值。②.已知:x=，求3x2－5xy+3y2的值（2）變結(jié)論：1、設(shè)EQ\R(,3)=a，EQ\R(,30)=b，則EQ\R(,=。2、已知，求。3、已知，，（1）求的值（2）求的值四、關(guān)于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題1.估算eq\r(31)－2的值在哪兩個數(shù)之間（）A．1～2～3C.3～4～52．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則3.已知9+的小數(shù)部分分別是a和b，求ab－3a+4b+8的值4.若a，b為有理數(shù)，且++=a+b，則b=.五、二次根式的比較大?。?）（2）－5（3）設(shè)a=,,,則（）A.B.C.D.六、實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：9x2－5y24x4－4x2＋1x4+x2－6練習(xí)：1、若，則xy的值為（）A．B．C．D．2、若，則．3、計算：（1）（2（3）．（4）．4、先將÷化簡，然后自選一個合適的x值，代入化簡后的式子求值。5、如圖，實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置，化簡：6、若，則的取值范圍是A． B． C． D．7、如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)所表示的數(shù)是A． B． C． D．8、已知：，求的值。9、已知：為實(shí)數(shù)，且，化簡：。10、已知11、先閱讀下列的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數(shù)和，使且，則可變?yōu)?，即變成開方，從而使得化簡。例如：==，∴請仿照上例解下列問題：；（2）二次根式運(yùn)算的技巧二次根式的運(yùn)算通常是根據(jù)其運(yùn)算法則進(jìn)行計算的，但在計算過程中若能巧妙地運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想方法，可使問題化繁為簡，易于計算。下面舉例說明二次根式的運(yùn)算技巧：巧移因式法計算分析：將根號外的因式移到根號內(nèi)，然后用平方差公式計算比較簡便，或先把化簡，然后利用平方差公式計算解：原式===18-48=-30巧提公因數(shù)法例2、計算分析：∵2=∴中有公因數(shù)，提出公因數(shù)后，可用平方差公式計算解：原式====（25-6）=19公式法例3、計算分析：巧分組，出奇制勝，整式的乘法公式對二次根式的乘法也適用，本題用平方差公式來計算很簡便解：原式====因式分解法例4、計算分析：本題若直接按乘除法則計算，顯然很麻煩，若適當(dāng)分解因式約去公因式，則運(yùn)算很簡便解：原式===拆項(xiàng)法例5、化簡分析：本題若直接計算顯然很麻煩，若仔細(xì)觀察將分子拆項(xiàng)，則計算會很簡便解：原式====配方法例6、計算分析：此題是雙二次根式的加減，必須把復(fù)合二次根式化為一般二次根式，可將根號里的式子化成完全平方式，使問題便于計算解：原式===-5七、整體代入，別開生面例5.已知，求下列各式的值。（1）（2）分析：根據(jù)x、y值的特點(diǎn)，可以求得，如果能將所求的值的式子變形為關(guān)于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值簡單得多。解：因?yàn)樗裕?）（2）（也可以將變?yōu)閬砬螅┌恕⑶蓳Q元，干凈利索例6.計算分析：此算式中的兩個公式互為倒數(shù)，若設(shè)，則原式而原式解：設(shè)則所以原式例7.計算分析：有兩種方法，一種換元，一種配方。解法1：設(shè)兩邊平方因?yàn)樗约唇夥?：原式所以遇到二次根式運(yùn)算一定認(rèn)真審題、仔細(xì)琢磨，能否找到運(yùn)算技巧，達(dá)到事半功倍效果二次根式的運(yùn)算測試題姓名班級學(xué)號一．選擇題（本題30分，每小題3分）：1．化簡eq\r(3)－eq\r(3)(1－eq\r(3))的結(jié)果是 ()A．3 B．－3 \r(3) D．－eq\r(3)2．計算(eq\r(28)－2eq\r(3)＋eq\r(7))×eq\r(7)＋eq\r(84)的結(jié)果是 ()A．11eq\r(7) B．15eq\r(3) C．21 D．243．計算(3eq\r(2)＋5eq\r(3))×(3eq\r(2)－5eq\r(3))的結(jié)果是 ()A．－57 B．57 C．－53 D．534．計算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)－\f(1,\r(a))))eq\s\up12(2)的結(jié)果是 ()A．2 B．4 C．2eq\r(a) D．4eq\r(a)eq\r(2)×(eq\r(2)－eq\r(3))＋eq\r(6)的值是________；化簡：eq\r(3)×(eq\r(2)－eq\r(3))－eq\r(24)－|eq\r(6)－3|＝________．7．計算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(50)－\r(8)))÷eq\r(2)的結(jié)果是________．8、計算：eq\f(\r(40)＋\r(5),\r(5))＝________．9、有下列計算：①(m2)3＝m6；②eq\r(4a2－4a＋1)＝2a－1；③m6÷m2＝m3；④eq\r(27)×eq\r(50)÷eq\r(6)＝15；⑤2eq\r(12)－2eq\r(3)＋3eq\r(48)＝14eq\r(3).其中正確的運(yùn)算有________．10、計算：(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝________．二、計算題（