差分格式穩(wěn)定性及數(shù)值效應(yīng)比較實驗實驗?zāi)康模阂砸浑A線性雙曲線方程為例，使用Matlab工具分析4種差分格式的誤差。了解4種差分格式的穩(wěn)定性。二實驗問題：對于一階線性雙曲型方程：（ut+叫=0,取a=1,2,4,h=0.1,T=0.08,對不同的差分格式（迎風(fēng)格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，修正迎風(fēng)格式）及不同的a值進(jìn)行迭代計算。通過將計算結(jié)果與精確解來進(jìn)行比較，來討論分析差分格式的穩(wěn)定性。三實驗原理：1.迎風(fēng)格式：這種格式的基本思想是簡單的，就是在雙曲型方程中關(guān)于空間偏導(dǎo)數(shù)用在特征線方向一側(cè)的單邊差商來代替，格式如下：u"+1-uy-u11.'J+aJh=山以0un+1—uj1u"—un-一-一L+a―-=0,a<0運算格式：峙+i=（l-aX）1]^+aX哮Ma>0uf+1=(l+aX)u?1-aX靖ma<02.Lax-Friedrichs格式:運算格式:叱i弓（1_日A）哮1+汩+湫）唾1

3.Lax-Wendroff格式：這種格式構(gòu)造是采用Taylor級數(shù)展開和微分方程本身得到運算格式：峙+i=胃（日算一1）嘩1+（1+辦）（1—a&）u；+胃（辦+1）嘩14.修正迎風(fēng)格式（目標(biāo)點范圍跟蹤格式）:+(1-"})*其中應(yīng)&］是三算取整數(shù)部分，：三&其中應(yīng)&］是三算取整數(shù)部分，：三&.:蕓乳a算］。根據(jù)之后的理論分析可以四四種格式理論分析:通過求差分格式的增長因子G（t,k），來判定差分格式是否穩(wěn)定。1.迎風(fēng)格式:記頊.…則二…三燈—小『-七七一一】"，vn[l-aX(i-e"Lkh)]艮^G：.】K；=-一三乳；】一三-""：=一一^",-一二SKn；—三&sinKn。所以1=1-=X：3ir.?.:^o則在三乂立「，滿足vonNeumann條件，格式穩(wěn)定。以下格式用相同方法求解穩(wěn)定性條件。2.Lax-Friedrichs格式:A.—：二二sUn一提sinKn，在=%三】時穩(wěn)定。

3.Lax-Wendroff格式:G：.】K；=】一W：乳-si】「—-sink1】，在三&三】時穩(wěn)定。4.修正迎風(fēng)格式（目標(biāo)點范圍跟蹤格式）：二半;二『如工匚-*「「_-『"］,其中"［以］如|=【，|1—｛混｝（1—L妙）|苴1的成立條件為囪&<1而'G.三】恒成立，故格式無條件穩(wěn)定。五實驗結(jié)果:迎風(fēng)格式Lax-Friedrichs格式迎風(fēng)格式修正迎風(fēng)格式Lax-Wendroff格式修正迎風(fēng)格式Lax-Wendroff格式修正迎風(fēng)格式a=4（三上=3:）迎風(fēng)格式Lax-Friedrichs格式修正迎風(fēng)格式Lax-Wendroff格式六總結(jié)：修正迎風(fēng)格式本次實驗，通過4種差分格式求解T=4時的解并與解析解畫圖比較，可以看出：⑴a=1(a入=0.8V1)時，迎風(fēng)格式，Lax-Friedrichs格式，修正迎風(fēng)格式的計算結(jié)果與解析解近似情況較好，而Lax-Wendroff格式則在間斷點處出現(xiàn)了波前波，形成雙波現(xiàn)象，這符合Lax-Wendroff格式為二階迭代格式的性質(zhì)。⑵a=2(a入=1.6>1)時，迎風(fēng)格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式都出現(xiàn)了比較強烈的震蕩。這三種震蕩中，Lax-Friedrichs格式震蕩較小，迎風(fēng)格式與Lax-Wendroff格式的震蕩則較大。與之相對應(yīng)的是修正迎風(fēng)格式，保持著穩(wěn)定的性質(zhì)。⑶a=4(a入=3.2>1)時，迎風(fēng)格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式的震蕩更加強烈。修正迎風(fēng)格式則仍然保持著原有的穩(wěn)定性不變。由上得出，穩(wěn)定性對差分格式求解偏微分方程有重大意義。一個差分格式是否好，是否可用，首先要判定它是否穩(wěn)定并找到穩(wěn)定性條件。修正迎風(fēng)格式強大的穩(wěn)定性在解決一階線性雙曲線方程中有著很強的實用價值。七程序:迎風(fēng)格式:

j::13141516E]functionyingfeng(ajh3miriXjmaxKj::13141516T=4;p=t/h:n=I/t:ul=ones1m+n+lj1);ul(n+1:m+n+l)=0；u2=ul:for1=1:l:nforj=i+l:1:m+n+lu3(j)=a*p*ul(l-a*p)*u2(j);-endul=u2;-endyl=u2(n+1:m+n+l):Kl=miiTK：h:maxK;-plot(il,yl,J--'}Lax-Friedrichs格式:!::13141516E]functionFriedrichs(a3h3!::13141516m=「JiiaxK-minK)/h:T=4;p=t/h;n=T/t;ul=ones|m+2*n+lJ1);ul(n+l:m+2*n+l)=0;u2=ul;fori=l:l:nforj=i+l:1:m+2*n+l-iu2(j)=0.5*U+a*p)*ul(j-l)+0.5*!l-a*p)*u2(j+1):-endul二nN;-endyl=u2(n+1:m+n+l)；k1=miiTK:h:maxz:-plot(xl,yl3J―J)Lax-Wendroff格式:!:;13141516E]functionWendroff(a^tjminXjmaxz)m二fJiiaxK-jninx)/h:T=4;p=t/h:=I/t;ul=ones1Jn+S^n+l,1):ul(n+l:m+2*n+l)=0;u2=ul:fori=l:1:nforj=i+l:1:m+2*n+l-iu2(j)=0L5*a*p*(l+a*p)*ul(+(l-a*p)*(l+a*p)*u2(j)+0.5*a*p*(a*p-l)*ul(j+1)endul=u2:-endyl=u2(n+l:m+n+l):Kl=mitTK：h:maxK;-plot(ilfyl,J--')修正迎風(fēng)格式:!::13141516□functiongaiiinyingfeng(a^h,minx】maxz)m=fJiiaxK-minx)/h:T=4;p=t/h:n=T/t;ul=onesrm+n+lj1);ul(n+1:m+n+l)=0;u2=ul:□fori=l:l:nforj=i+floorr：a*p)+l:1:m+n+1u2(j)