高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直高階高斯光束基模高斯光束第三章高斯光束及其特性3.1.1旁軸近似第一節(jié)基模高斯光束由兩個球面反射鏡平行放置構(gòu)成的橫向無邊界約束的穩(wěn)定光學(xué)諧振腔，其基模輸出光束橫向分布函數(shù)是一個高斯函數(shù)，該光束稱之為基模高斯光束。高階模輸出光束稱為高階高斯光束?；８咚构馐遣▌臃匠淘谂暂S近似下的解波動方程設(shè)得到赫姆霍茲方程為分析方便，略去矢量符號，并假設(shè)波沿z方向傳播設(shè)波沿z向的振幅變化很緩慢，物理意義是波的能量主要沿z方向傳播，且能量集中在z軸附近，稱為旁軸近似極坐標(biāo)下的旁軸近似方程3.1.2高斯光束解設(shè)的形式解代入旁軸近似方程r的各次冪的系數(shù)必須為零令代入上式解為P0為積分常數(shù)，只影響初始相位，取為零。取c2/c1為純虛數(shù)得到定義參數(shù)利用最后得到光斑半徑的平方為極坐標(biāo)的平方平均值的4倍等相位面的方程在z=f處，R(z)=f,此時R(z)的值最小，稱f為光束共焦參數(shù)在光軸附近，拋物面近似為球面，球面的曲率半徑為R(z)電場相對于z=0點(diǎn)定義q參數(shù)場可以簡單表示為q參數(shù)稱為高斯光束的復(fù)曲率半徑q參數(shù)物理意義：同時反映光斑尺寸及波面曲率半徑隨z的變化與幾何光學(xué)一致旁軸球面波表達(dá)式若已知高斯光束某一位置的q參數(shù)(z),R(z)

q參數(shù)表征高斯光束的優(yōu)點(diǎn):

將描述高斯光束的兩個參數(shù)(z)和R(z)統(tǒng)一在一個表達(dá)式中,便于研究高斯光束通過光學(xué)系統(tǒng)的傳輸規(guī)律光腰處（z＝0）＝0在空間傳輸距離z后到光腰的距離，光腰在左為正3.1.3高斯光束通過光學(xué)元件的變換－ABCD定律1.自由空間2.薄透鏡(透鏡焦距為F）球面波球面波發(fā)散(+)會聚(-)l1l2R1R2S1S2物距像距焦距近軸情況R1R2（薄透鏡）高斯光束q1q2兩式相減高斯光束高斯光束通過一個無相差的光學(xué)系統(tǒng)后仍是高斯光束3.光學(xué)系統(tǒng)－傳輸矩陣為的光學(xué)系統(tǒng)球面波高斯光束

q參數(shù)通過光學(xué)系統(tǒng)的變換與球面波R的變換相同

(證明見呂百達(dá)，激光光學(xué)，第三版）－ABCD定律R1R212近軸光,自由空間透鏡球面波高斯光束高斯光束的傳輸規(guī)律過渡到幾何光學(xué)中旁軸光線的傳輸規(guī)律4.ABCD矩陣應(yīng)用實(shí)例－高斯光束通過透鏡的變換已知：0,l,F求：通過透鏡后，高斯光束參數(shù)0,l,c,Rc方法:由ABCD定律

qBz=0q0=iff=02/A處qA=q0+lB處1/qB=1/qA-1/FC處qc=qB+lcqAqB關(guān)鍵①qAqB=-l’②③討論:高斯光束成象與幾何光學(xué)成象規(guī)律的比較1.

l>>F,f

即有

(l-F)2>>f2和幾何光學(xué)成象規(guī)律相同腰斑放大率2.l=F

時和幾何光學(xué)成象規(guī)律不同幾何光學(xué):

l=Fl’=

(平行光)無實(shí)象=D3.l<F

仍有實(shí)象,和幾何光學(xué)成象規(guī)律不同

幾何光學(xué):

l<F不能成實(shí)象3.1.4高斯光束與球面諧振腔自再現(xiàn)模式①②對于自再現(xiàn)模有（開腔的穩(wěn)定性條件）虛部為負(fù)其他任意平面上的R和值，腰斑的大小和位置為簡化計算，參考平面盡量取平面反射鏡或幾何對稱位置3.2.1厄密-高斯光束第二節(jié)高階高斯光束（了解）考慮x方向和y方向的場有不同的分布時，旁軸方程應(yīng)重寫為假設(shè)場的解具有與基模高斯光束同樣的高斯函數(shù)因子和等相位面分布，但振幅與坐標(biāo)有關(guān)，此外有不同的附加相移假設(shè)A(x,y,z)是可以分離變量的在高功率激光器中，由于增益系數(shù)很高，高階高斯光束滿足振蕩條件時形成振蕩。得到利用（3.2-4）式簡化為可以證明作變量變換設(shè)（3.2-6）進(jìn)一步簡化為作變量代換（3.2-11）式可寫為進(jìn)一步可得X方向幅值Y方向幅值相位其解為m,n階厄密多項式場的完整表達(dá)式相位因子解為TEM00TEM10TEM20TEM03TEM11TEM31TEM0nTEM1nTEM2nTEM3n場為零的線稱為節(jié)線，在節(jié)線兩側(cè)，場表達(dá)式的符號相反，表明位相差為，厄米多項式的零點(diǎn)決定場振幅的節(jié)線場的最終解為為拉蓋爾多項式旁軸方程應(yīng)重寫為設(shè)3.2.2拉蓋爾-高斯光束

模的振幅分布TEM00TEM01TEM02TEM10TEM20TEM30第三節(jié)高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直實(shí)際應(yīng)用中常需要將基模高斯光束聚焦到很小的面積上，如光盤的讀寫、微細(xì)加工、受控核聚變。或者要求高斯光束在大氣或太空中傳播較遠(yuǎn)的距離，如遠(yuǎn)程探測、空間通訊、制導(dǎo)與定向能武器，需要通過變換使激光束的發(fā)散角盡可能小，這種情況稱為高斯光束的準(zhǔn)直。聚焦和準(zhǔn)直都是用透鏡組對高斯光束進(jìn)行變換。F3.3.1高斯光束的聚焦1.F<f

透鏡焦距足夠小無論

l

為何值,

均可使2.若F>f

要使要求即或才能聚焦如果不能聚焦（分母>分子）(1)(2)(3)F一定要獲得良好的聚焦效果：

使用短焦距透鏡

光腰遠(yuǎn)離透鏡；(l>>F)

取l=0,并設(shè)法滿足f>>F

采用雙透鏡聚焦才有聚焦作用0Fl

一定,關(guān)系

思考：為什么雙透鏡有更好的聚焦作用？虛像實(shí)像3.3.2高斯光束的準(zhǔn)直－改善方向性，壓縮發(fā)散角高斯光波平面光波單透鏡準(zhǔn)直效果高斯光束通過薄透鏡當(dāng)l=F

時,0'=F/0最大

?F,

長焦距透鏡利于準(zhǔn)直

?0盡可能小

要使大發(fā)散角一定，取l=F，通過增加l來改善準(zhǔn)直效果F一定逼近()2222020flFF+-=￠

短焦距透鏡聚焦,使0'，并聚在長焦距透鏡焦點(diǎn)上長焦距透鏡準(zhǔn)直，使0''利用倒裝望遠(yuǎn)鏡準(zhǔn)直L1L2物距準(zhǔn)直倍率望遠(yuǎn)鏡放大倍率M準(zhǔn)直倍率(發(fā)散角壓縮比)L1L2光腰幾乎落在焦平面上,組成一倒裝望遠(yuǎn)鏡望遠(yuǎn)鏡放大倍率M準(zhǔn)直倍率(發(fā)散角壓縮比)光腰幾乎落在焦平面上,望遠(yuǎn)鏡放大倍率M補(bǔ)充1光束衍射倍率因子(光束質(zhì)量因子)M2評價激光器的激光光束質(zhì)量是一個重要問題。人們曾經(jīng)使用聚焦光斑尺寸、遠(yuǎn)場發(fā)散角作為衡量光束質(zhì)量的參數(shù)。經(jīng)過無相差光學(xué)系統(tǒng)后，光腰尺寸和發(fā)散角均可改變，但兩者的乘積不變，對于基模高斯光束對于高階厄密-高斯光束，在x方向和y方向的光腰半徑和發(fā)散角的乘積為對于高階拉蓋爾-高斯光束，可得激光束腰斑尺寸和發(fā)散角的乘積具有確定值，并可同時描述光束的近場和遠(yuǎn)場特性，目前普遍采用光束衍射倍率因子M2作為衡量光束質(zhì)量的參量。其定義為對于基模高斯光束對于高階厄密-高斯光束和拉蓋爾-高斯光束對于多模厄密-高斯光束，x方向和y方向的光束衍射倍率因子是各模式相對強(qiáng)度的加權(quán)平均對于多模拉蓋爾-高斯光束基模高斯光束具有最小的M2值（M2=1），其光斑半徑和發(fā)散角也最小，達(dá)到衍射極限。高階、多模高斯光束或其他非理想光束的M2值大于1。M2值可以表征實(shí)際光束偏離衍射極限的程度，因此稱為衍射倍率因子。M2值越大，光束衍射發(fā)散越快。M2≥1具有深刻的物理含義，可以用量子力學(xué)測不準(zhǔn)關(guān)系來解釋。---曾冰斌，徐德衍，王潤文，激光光束質(zhì)量因子M2的物理概念與測試方法，應(yīng)用激光，1994年，14卷，3期，104頁光源的單色亮度B反比于發(fā)光面積S和發(fā)散立體角。M2因子越小，激光束的亮度越高。M2因子是表征激光束空間相干性好壞的本質(zhì)參量。M2因子的測量激光輸出入射CCD，記錄光強(qiáng)分布，計算光斑尺寸。前后移動CCD的位置，可得到不同位置上的光斑尺寸。數(shù)據(jù)擬合得到遠(yuǎn)場光束發(fā)散角，從而計算光束質(zhì)量因子。補(bǔ)充2高階高斯光束的q參數(shù)和ABCD定律基模高斯光束和高階高斯光束的束腰在相同的空間位置，對于高階厄密-高斯光束q參數(shù)ABCD定律嵌入高斯光束對于高階拉蓋爾-高斯光束q參數(shù)ABCD定律本章小結(jié)：高斯光束q參數(shù)的表達(dá)、高斯光束在線性光學(xué)系統(tǒng)中的變換、高斯光束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔模式的關(guān)系。高階高斯光束的特性。高斯光束的準(zhǔn)直的與聚焦特點(diǎn)。作業(yè)：由凸面鏡和凹面鏡組成的球面腔，如果凸面鏡曲率半徑為2m，凹面鏡曲率半徑為3m，腔長L為1m，腔內(nèi)介質(zhì)折射率為1，此球面鏡腔為何種腔（穩(wěn)定腔、臨界腔、非穩(wěn)腔）？當(dāng)腔內(nèi)插入一塊長為0.5m，折射率=2的其他透明介質(zhì)時（介質(zhì)兩端面為平面，且垂直于腔軸線），諧振腔為何種腔（穩(wěn)定腔、臨界腔、非穩(wěn)腔）？如圖所示，波長為=1.06m的Nd:YAG激光器，全反射鏡的曲率半徑R=0.5m，距離全反射鏡a=0.15m處放置長為b=0.18m的Nd:YAG棒，其折射率=1.8，棒的右端直接鍍上半反射膜作為腔的輸出端（膜厚度忽略不計）。1）判別腔的穩(wěn)定性；2）求Nd:YAG晶體棒輸出端的光斑半徑；3）在距輸出端c=0.2m處放置F=0.1m薄透鏡，求經(jīng)透鏡后的光腰半徑和位置。某圓形鏡平-凹諧振腔，R1=，腔長d=(3/4)R2，兩反射鏡的反射系數(shù)r1=0.99，r2=0.97。(1)寫出腔中TEM00模的諧振頻率表達(dá)式；(2)如果R2=2m，波長為500nm，求：(a)相鄰縱模的頻率間隔；(b)腔的Q值；(c)腔內(nèi)光子壽命；(d)無源腔本征模式帶寬。某球面腔，R1=1.5m，R2=-1m，L=80cm。證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價對稱共焦腔的共焦參數(shù)和位置。課程設(shè)計---諧振腔自再現(xiàn)模式特性分析課題背景介紹等效諧振腔光焦度2.課程設(shè)計任務(wù)與要求（1）編程計算圖示諧振腔的穩(wěn)定性與光焦度1/F的關(guān)系。可取R1=,R2=,l1=250mm,l2=200mm。（2）計算輸出鏡M2和透鏡上的模式半徑與光焦度1/F的關(guān)系。（3）取使諧振腔穩(wěn)定的F值，計算腔內(nèi)模式半徑與z的關(guān)系。（4）取不同的l1值和R1值，計算諧振腔的穩(wěn)定性，輸出鏡M2和透鏡上的模式半徑與光焦度1/F的關(guān)系。（5）進(jìn)行光線追跡，計算從M1出發(fā)，光線參數(shù)為(r0,0)的光線在腔內(nèi)往返傳播的軌跡。要求：圖形正確、清晰，文字描述準(zhǔn)確、凝練，篇幅在8頁以內(nèi)。3.參考文獻(xiàn)[1]周炳琨,高以智,陳倜嶸,陳家驊,激光原理,國防工業(yè)出版社,2004。[2]呂百達(dá)，激光光學(xué)-光束描述、傳輸變換與光腔技術(shù)物理，高等教育出版社，2003。[3]張光寅，郭曙光，光學(xué)諧振腔的圖解分析與設(shè)計方法，國防工業(yè)出版社，2003。[4]N.Hodgson,andH.Weber,LaserResonatorsandBeamPropagation,Springer,2005.[5]N.Hodgson,K.Griswold,W.Jordan,S.L.Knapp,A.A.Peirce,C.C.Pohalski,E.Cheng,J.Cole,D.R.