應(yīng)用科技學(xué)院公共基礎(chǔ)部

Probability概率論與數(shù)理統(tǒng)計初步應(yīng)用科技學(xué)院公共基礎(chǔ)部Probability概率論與數(shù)理統(tǒng)1課程簡介與要求教材195—215頁參考數(shù)目《線性代數(shù)與概率統(tǒng)計》

作者

吳贛昌中國人民大學(xué)出版社《新編線性代數(shù)與概率統(tǒng)計》作者劉書田北京大學(xué)出版社你一定行課程簡介與要求教材195—215頁你一定行2課程簡介與要求教材195—215頁參考數(shù)目提前復(fù)習(xí)需要的知識提前預(yù)習(xí)記筆記勤總結(jié)多練習(xí)你一定行課程簡介與要求教材195—215頁你一定行3一、隨機(jī)事件及其概率三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征二、隨機(jī)變量及其概率分布概率統(tǒng)計概述一、隨機(jī)事件及其概率三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征二、隨4起源起源于博弈問題，賭博的賭金分配，1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯《論賭博中的計算》，標(biāo)志著概率論的誕生。進(jìn)一步發(fā)展隨機(jī)積分，隨機(jī)微積分方程公理化伯努利大數(shù)定理概率統(tǒng)計發(fā)展史起源進(jìn)一步發(fā)展公理化概率統(tǒng)計發(fā)展史5排列組合知識定積分的直接積分法牛頓-萊布尼茨公式---88頁常用的（1）（2）（5）（6）（7）需要的前期知識排列組合知識需要的前期知識6需要的前期知識排列組合知識定積分的直接積分法較難的定積分

需要的前期知識排列組合知識7定積分的可加性所用這個函數(shù)的定積分是有表可查的！定積分的可加性所用這個函數(shù)的定積分是有表可查的！8排列組合知識定積分的直接積分法牛頓-萊布尼茨公式---88頁常用的（1）（2）（5）（6）（7）□定積分的可加性需要的前期知識排列組合知識需要的前期知識9隨機(jī)事件及其概率第一章

隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗隨機(jī)事件、樣本空間事件之間的關(guān)系與運算頻率與概率的關(guān)系古典概型及古典概率的計算概率運算法則之加法公式條件概率與概率運算公式之乘法公式事件的獨立性隨機(jī)事件及其概率第一章隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗10確定性現(xiàn)象

在標(biāo)準(zhǔn)的大氣壓下，將純凈水加熱到100℃時必然沸騰

垂直上拋一重物，該重物會垂直下落

隨機(jī)現(xiàn)象試驗或觀察出現(xiàn)的結(jié)果事先不能確定擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果什么是概率統(tǒng)計概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象并揭示其統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科概率統(tǒng)計就是研究隨機(jī)現(xiàn)象并揭示其統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象試驗或觀察出現(xiàn)的結(jié)果事先不能確定什么是11一、隨機(jī)試驗（可重復(fù)性）試驗在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行（統(tǒng)計必然性）每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗之前可以確定試驗的所有可能結(jié)果（隨機(jī)性）每次試驗前不能準(zhǔn)確預(yù)言試驗后會出現(xiàn)哪一種結(jié)果．定義在概率統(tǒng)計中，對隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀測稱為一次隨機(jī)試驗（簡稱試驗）。它具有如下三個特點：一、隨機(jī)試驗（可重復(fù)性）試驗在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行定義12實例上拋一枚硬幣在一條生產(chǎn)線上，檢測產(chǎn)品的等級情況

向一目標(biāo)射擊實例上拋一枚硬幣13定義1：在隨機(jī)試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機(jī)事件簡稱事件．隨機(jī)事件通常用大寫英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．例如：

在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，“正面向上”是一個隨機(jī)事件，可用Ａ＝｛正面向上｝表示．?dāng)S骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點”是一個隨機(jī)事件，試驗結(jié)果為2，4或6點，都導(dǎo)致“出現(xiàn)偶數(shù)點”發(fā)生。二、隨機(jī)事件定義1：在隨機(jī)試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗14三、基本事件與樣本空間僅含一個樣本點的事件或在一定范圍內(nèi)不可能再分的事件稱為基本事件．定義1：樣本點

定義2：樣本空間

定義3：基本事件（書上沒有）

隨機(jī)試驗中的每一個可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果稱為這個試驗的一個樣本點，記作．

全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作Ω．即含有多個樣本點的事件或由兩個或兩個以上的基本事件組成的事件稱為復(fù)合事件．定義4：復(fù)合事件（書上沒有）三、基本事件與樣本空間僅含一個樣本點的事件或在一15Ω={ｔ|0≤ｔ≤T}

E4:在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命E2:射手向一目標(biāo)射擊，直到擊中目標(biāo)為止E3:從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張。E1:擲一顆勻質(zhì)骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點數(shù)Ω={1,2,…}Ω={(J,Q),…(Q,A)}Ω={1，2，3，4，5，6}例如：寫出下列試驗的樣本空間點數(shù)：離散型隨機(jī)變量射擊次數(shù)：離散型隨機(jī)變量壽命：連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量所有可能的情況都能意義列舉出來。Ω={ｔ|0≤ｔ≤T}E4:在一批燈泡中任意抽取一16

在隨機(jī)試驗中，隨機(jī)事件一般是由若干個基本事件組成的．

A=｛出現(xiàn)奇數(shù)點｝是由三個基本事件“出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)3點”、“出現(xiàn)5點”組合而成的隨機(jī)事件．樣本空間Ω的任一子集A稱為隨機(jī)事件（書上定義）

定義5:隨機(jī)事件(用基本事件來定義)

例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，那么“出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)2點”、...、“出現(xiàn)6點”為該試驗的基本事件．隨機(jī)事件屬于事件A的樣本點出現(xiàn)，則稱事件A發(fā)生。在隨機(jī)試驗中，隨機(jī)事件一般是由若干17特例—必然事件必然事件樣本空間Ω也是其自身的一個子集Ω也是一個“隨機(jī)”事件每次試驗中必定有Ω中的一個樣本點出現(xiàn)必然發(fā)生

“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不超過6”為必然事件。例——記作Ω特例—必然事件必然事件樣本空間Ω也是其自身的一個子集“拋擲18特例—不可能事件空集Φ也是樣本空間的一個子集不包含任何樣本點

不可能事件Φ也是一個特殊的“隨機(jī)”事件不可能發(fā)生

“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)大于6”是不可能事件例——記作Φ特例—不可能事件空集Φ也是樣本空間的一個子集不包含任何樣本點19例1：隨機(jī)試驗：拋擲硬幣

擲一枚均勻的硬幣，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況試驗的樣本點和基本事件隨機(jī)試驗樣本空間

H：“正面向上”T：“反面向上”Ω={H，T}．例1：隨機(jī)試驗：拋擲硬幣擲一枚均勻的硬幣，觀察它出現(xiàn)正20

試驗：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況

隨機(jī)事件Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}A=“正面出現(xiàn)兩次”={HHT,HTH,THH}B=“反面出現(xiàn)三次”={TTT}C=“正反次數(shù)相等”=ΦD=“正反次數(shù)不等”=Ω試驗：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況隨21例2：隨機(jī)試驗：拋擲兩顆骰子拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)

隨機(jī)試驗

試驗的樣本點和基本事件

樣本空間

Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．例2：隨機(jī)試驗：拋擲兩顆骰子拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)隨22

隨機(jī)事件試驗：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A=“點數(shù)之和等于3”={（1，2），（2，1）}B=“點數(shù)之和大于11”={6，6}C=“點數(shù)之和不小于2”D=“點數(shù)之和大于12”

=Φ=Ω隨機(jī)事件試驗：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A=“點數(shù)之和等23四、事件的關(guān)系與運算

給定一個隨機(jī)試驗，設(shè)Ω為其樣本空間，事件Ａ，Ｂ，Ak(k=1,2,3,...)都是Ω的子集．事件事件之間的關(guān)系與事件的運算集合集合之間的關(guān)系與集合的運算規(guī)定：四、事件的關(guān)系與運算給定一個隨機(jī)試驗，設(shè)Ω為24（1）事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件Ｂ發(fā)生，稱事件B包含事件Ａ，記作或1、事件的包含與相等BA

事件Ａ的樣本點都是事件Ｂ的樣本點例如拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A={出現(xiàn)1點}B={出現(xiàn)奇數(shù)點}子事件（1）事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件Ｂ發(fā)生，稱事件B包含事件Ａ25A=BBA事件A與事件B含有相同的樣本點

例如：在投擲一顆骰子的試驗中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”與事件“出現(xiàn)2，4或6點”是相等事件。（2）若稱事件A與事件B相等，記為A=BBA事件A與事件B含有相同的樣本點例26事件A與事件B至少有一個發(fā)生的事件，稱事件A與事件B的并，記為2、事件的并（或和）

由事件A與事件B所有樣本點組成多個事件的和和事件A∪B發(fā)生A發(fā)生或B發(fā)生

事件A與事件B至少有一個發(fā)生的事件，稱事件A與事件273、事件的交（或積）ＡＢＡ∩Ｂ或

事件A與事件B同時發(fā)生的事件，記作

由事件Ａ和事件Ｂ的公共樣本點組成積事件AB發(fā)生事件Ａ和事件Ｂ同時發(fā)生3、事件的交（或積）ＡＢＡ∩Ｂ或事件A與事件B同時發(fā)284、互斥事件(互不相容事件)

事件A與事件B不能同時發(fā)生，即AB=Φ，則稱事件A與事件B是互不相容的或互斥的

事件A與事件B沒有公共的樣本點事件A與事件B互斥AB=Φ

4、互斥事件(互不相容事件)事件A與事件B不能同時295、對立事件

若事件A和事件B滿足則稱事件A與事件B是對立事件，記作

是由所有不屬于A的樣本點組成

性質(zhì)5、對立事件若事件A和事件B滿足30概率論集合論樣本空間（必然事件）Ω全集I不可能事件Φ空集Φ子事件A?B子集A?B事件并A∪B并集A∪B事件交A∩B交集A∩B

對立事件補集事件關(guān)系與集合比較概率論31某射手向目標(biāo)射擊三次，用表示第次擊中目標(biāo)試用及其運算符表示下列事件：（1）三次都擊中目標(biāo)：（2）至少有一次擊中目標(biāo)：

（3）恰好有兩次擊中目標(biāo)：（4）最多擊中一次：（5）至少有一次沒有擊中目標(biāo)：（6）三次都沒有擊中目標(biāo)：例：復(fù)合事件的表示某射手向目標(biāo)射擊三次，用表示第次擊中目標(biāo)試用32練一練A,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，試用A，B，C的運算表示下列事件1）A，B，C都不發(fā)生2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生3）A，B，C至少有一個發(fā)生4）A，B，C中恰有二個發(fā)生5）A，B，C中至少有二個發(fā)生6）事件3）的對立事件練一練A,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，1）A，B，C33五、頻率與概率定義1:

若事件A在N次試驗中發(fā)生了n次，則稱為事件A在N次試驗中發(fā)生的頻率。頻率具有以下性質(zhì)：（1）；（2），；（3）若事件A,B互不相容，則。五、頻率與概率定義1:若事件A在N次試驗中發(fā)生了n次，頻率34德.摩根試驗者拋擲次數(shù)n出現(xiàn)正面的次數(shù)m出現(xiàn)正面的頻率m/n204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼0.49981499430000拋擲硬幣的試驗歷史紀(jì)錄德.摩根試驗者拋擲次數(shù)n出現(xiàn)正面的次數(shù)m35

隨機(jī)事件A在相同條件下重復(fù)多次時，事件A發(fā)生的頻率在一個固定的數(shù)值p附近擺動，隨試驗次數(shù)的增加更加明顯頻率和概率

頻率的穩(wěn)定性

事件的概率事件A的頻率穩(wěn)定在數(shù)值p，說明了數(shù)值p可以用來刻劃事件Ａ發(fā)生可能性大小，可以規(guī)定為事件A的概率隨機(jī)事件A在相同條件下重復(fù)多次時，事件A發(fā)36

對任意事件Ａ，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗，事件Ａ發(fā)生的頻率m/n，隨著試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)附近擺動,那么稱p為事件Ａ的概率,記作

定義2：概率的統(tǒng)計定義

概率與頻率的關(guān)系：當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，可以用事件A發(fā)生的頻率近似的代替事件A的概率對任意事件Ａ，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次37再分析一個例子，為檢查某種小麥的發(fā)芽情況，從一大批種子中抽取10批種子做發(fā)芽試驗，其結(jié)果如表1-2：發(fā)芽率發(fā)芽粒數(shù)種子粒數(shù)2510701303107001500200030002496011628263913391806271510.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905

從表1-2可看出，發(fā)芽率在0.9附近擺動，隨著n的增大，將逐漸穩(wěn)定在0.9這個數(shù)值上.再分析一個例子，為檢查某種小麥的發(fā)芽情況，從38

頻率穩(wěn)定于概率概率具有的性質(zhì)：

（1）（2）（3）若A，B互斥，則因為：?頻率穩(wěn)定于概率39

有限性每一基本事件（樣本點）發(fā)生的可能性相同其中,.六、古典概率模型試驗中基本事件數(shù)是有限的，可以設(shè)為n

等可能性定義1：具有如下兩個特點的隨機(jī)試驗為“等可能隨機(jī)試驗”或“古典概型”：有限性每一基本事件（樣本點）發(fā)生的可能性相同其中40定義2：古典概型的概率計算在古典概型中，如果樣本空間中的基本事件總數(shù)為n，事件A中包含的基本事件個數(shù)為m，則事件發(fā)生的概率為這種概率稱為古典概率。定義2：古典概型的概率計算在古典概型中，如果樣本41

拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),求“出現(xiàn)的點數(shù)是不小于3的偶數(shù)”的概率．Ａ=“出現(xiàn)的點數(shù)是不小于3的偶數(shù)”例1：拋擲骰子事件A試驗拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)樣本空間={4，6}Ω

={1，2，3，4，5，6}n=6m=2事件A的概率拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),求“出42

設(shè)在100件產(chǎn)品中，有4件次品，其余均為正品．例2：正品率和次品率n＝100這批產(chǎn)品的次品率任取3件，全是正品的概率任取3件，剛好兩件正品的概率mA＝4設(shè)在100件產(chǎn)品中，有4件次品，其余均43例4：有放回抽樣和無放回抽樣

設(shè)在10件產(chǎn)品中，有2件次品，8件正品．A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”第一次抽取后，產(chǎn)品放回去第一次抽取后，產(chǎn)品不放回去例4：有放回抽樣和無放回抽樣設(shè)在10件產(chǎn)品44＝0.192例5：數(shù)字排列用1，2，3，4，5這五個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)沒有相同數(shù)字的三位數(shù)的概率沒有相同數(shù)字的三位偶數(shù)的概率個位百位十位＝0.192例5：數(shù)字排列用1，2，3，4，5這五個45生活中的數(shù)字排列彩票買一注7位數(shù)中彩票的概率是？？？小概率事件的存在小概率事件的意義：飛機(jī)、火車、汽車的故障率都是小概率事件，小概率事件在一次試驗中一般認(rèn)為不會發(fā)生，但是試驗次數(shù)多就會必然發(fā)生。生活中的數(shù)字排列彩票46

概率的古典概型性質(zhì)（1）（2）（3）若A，B互斥，則概率的古典概型性質(zhì)（1）（2）（3）若A，47應(yīng)用科技學(xué)院公共基礎(chǔ)部

Probability概率論與數(shù)理統(tǒng)計初步應(yīng)用科技學(xué)院公共基礎(chǔ)部Probability概率論與數(shù)理統(tǒng)48課程簡介與要求教材195—215頁參考數(shù)目《線性代數(shù)與概率統(tǒng)計》

作者

吳贛昌中國人民大學(xué)出版社《新編線性代數(shù)與概率統(tǒng)計》作者劉書田北京大學(xué)出版社你一定行課程簡介與要求教材195—215頁你一定行49課程簡介與要求教材195—215頁參考數(shù)目提前復(fù)習(xí)需要的知識提前預(yù)習(xí)記筆記勤總結(jié)多練習(xí)你一定行課程簡介與要求教材195—215頁你一定行50一、隨機(jī)事件及其概率三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征二、隨機(jī)變量及其概率分布概率統(tǒng)計概述一、隨機(jī)事件及其概率三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征二、隨51起源起源于博弈問題，賭博的賭金分配，1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯《論賭博中的計算》，標(biāo)志著概率論的誕生。進(jìn)一步發(fā)展隨機(jī)積分，隨機(jī)微積分方程公理化伯努利大數(shù)定理概率統(tǒng)計發(fā)展史起源進(jìn)一步發(fā)展公理化概率統(tǒng)計發(fā)展史52排列組合知識定積分的直接積分法牛頓-萊布尼茨公式---88頁常用的（1）（2）（5）（6）（7）需要的前期知識排列組合知識需要的前期知識53需要的前期知識排列組合知識定積分的直接積分法較難的定積分

需要的前期知識排列組合知識54定積分的可加性所用這個函數(shù)的定積分是有表可查的！定積分的可加性所用這個函數(shù)的定積分是有表可查的！55排列組合知識定積分的直接積分法牛頓-萊布尼茨公式---88頁常用的（1）（2）（5）（6）（7）□定積分的可加性需要的前期知識排列組合知識需要的前期知識56隨機(jī)事件及其概率第一章

隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗隨機(jī)事件、樣本空間事件之間的關(guān)系與運算頻率與概率的關(guān)系古典概型及古典概率的計算概率運算法則之加法公式條件概率與概率運算公式之乘法公式事件的獨立性隨機(jī)事件及其概率第一章隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗57確定性現(xiàn)象

在標(biāo)準(zhǔn)的大氣壓下，將純凈水加熱到100℃時必然沸騰

垂直上拋一重物，該重物會垂直下落

隨機(jī)現(xiàn)象試驗或觀察出現(xiàn)的結(jié)果事先不能確定擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果什么是概率統(tǒng)計概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象并揭示其統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科概率統(tǒng)計就是研究隨機(jī)現(xiàn)象并揭示其統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象試驗或觀察出現(xiàn)的結(jié)果事先不能確定什么是58一、隨機(jī)試驗（可重復(fù)性）試驗在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行（統(tǒng)計必然性）每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗之前可以確定試驗的所有可能結(jié)果（隨機(jī)性）每次試驗前不能準(zhǔn)確預(yù)言試驗后會出現(xiàn)哪一種結(jié)果．定義在概率統(tǒng)計中，對隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀測稱為一次隨機(jī)試驗（簡稱試驗）。它具有如下三個特點：一、隨機(jī)試驗（可重復(fù)性）試驗在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行定義59實例上拋一枚硬幣在一條生產(chǎn)線上，檢測產(chǎn)品的等級情況

向一目標(biāo)射擊實例上拋一枚硬幣60定義1：在隨機(jī)試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機(jī)事件簡稱事件．隨機(jī)事件通常用大寫英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．例如：

在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，“正面向上”是一個隨機(jī)事件，可用Ａ＝｛正面向上｝表示．?dāng)S骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點”是一個隨機(jī)事件，試驗結(jié)果為2，4或6點，都導(dǎo)致“出現(xiàn)偶數(shù)點”發(fā)生。二、隨機(jī)事件定義1：在隨機(jī)試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗61三、基本事件與樣本空間僅含一個樣本點的事件或在一定范圍內(nèi)不可能再分的事件稱為基本事件．定義1：樣本點

定義2：樣本空間

定義3：基本事件（書上沒有）

隨機(jī)試驗中的每一個可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果稱為這個試驗的一個樣本點，記作．

全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作Ω．即含有多個樣本點的事件或由兩個或兩個以上的基本事件組成的事件稱為復(fù)合事件．定義4：復(fù)合事件（書上沒有）三、基本事件與樣本空間僅含一個樣本點的事件或在一62Ω={ｔ|0≤ｔ≤T}

E4:在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命E2:射手向一目標(biāo)射擊，直到擊中目標(biāo)為止E3:從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張。E1:擲一顆勻質(zhì)骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點數(shù)Ω={1,2,…}Ω={(J,Q),…(Q,A)}Ω={1，2，3，4，5，6}例如：寫出下列試驗的樣本空間點數(shù)：離散型隨機(jī)變量射擊次數(shù)：離散型隨機(jī)變量壽命：連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量所有可能的情況都能意義列舉出來。Ω={ｔ|0≤ｔ≤T}E4:在一批燈泡中任意抽取一63

在隨機(jī)試驗中，隨機(jī)事件一般是由若干個基本事件組成的．

A=｛出現(xiàn)奇數(shù)點｝是由三個基本事件“出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)3點”、“出現(xiàn)5點”組合而成的隨機(jī)事件．樣本空間Ω的任一子集A稱為隨機(jī)事件（書上定義）

定義5:隨機(jī)事件(用基本事件來定義)

例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，那么“出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)2點”、...、“出現(xiàn)6點”為該試驗的基本事件．隨機(jī)事件屬于事件A的樣本點出現(xiàn)，則稱事件A發(fā)生。在隨機(jī)試驗中，隨機(jī)事件一般是由若干64特例—必然事件必然事件樣本空間Ω也是其自身的一個子集Ω也是一個“隨機(jī)”事件每次試驗中必定有Ω中的一個樣本點出現(xiàn)必然發(fā)生

“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不超過6”為必然事件。例——記作Ω特例—必然事件必然事件樣本空間Ω也是其自身的一個子集“拋擲65特例—不可能事件空集Φ也是樣本空間的一個子集不包含任何樣本點

不可能事件Φ也是一個特殊的“隨機(jī)”事件不可能發(fā)生

“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)大于6”是不可能事件例——記作Φ特例—不可能事件空集Φ也是樣本空間的一個子集不包含任何樣本點66例1：隨機(jī)試驗：拋擲硬幣

擲一枚均勻的硬幣，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況試驗的樣本點和基本事件隨機(jī)試驗樣本空間

H：“正面向上”T：“反面向上”Ω={H，T}．例1：隨機(jī)試驗：拋擲硬幣擲一枚均勻的硬幣，觀察它出現(xiàn)正67

試驗：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況

隨機(jī)事件Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}A=“正面出現(xiàn)兩次”={HHT,HTH,THH}B=“反面出現(xiàn)三次”={TTT}C=“正反次數(shù)相等”=ΦD=“正反次數(shù)不等”=Ω試驗：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況隨68例2：隨機(jī)試驗：拋擲兩顆骰子拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)

隨機(jī)試驗

試驗的樣本點和基本事件

樣本空間

Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．例2：隨機(jī)試驗：拋擲兩顆骰子拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)隨69

隨機(jī)事件試驗：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A=“點數(shù)之和等于3”={（1，2），（2，1）}B=“點數(shù)之和大于11”={6，6}C=“點數(shù)之和不小于2”D=“點數(shù)之和大于12”

=Φ=Ω隨機(jī)事件試驗：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A=“點數(shù)之和等70四、事件的關(guān)系與運算

給定一個隨機(jī)試驗，設(shè)Ω為其樣本空間，事件Ａ，Ｂ，Ak(k=1,2,3,...)都是Ω的子集．事件事件之間的關(guān)系與事件的運算集合集合之間的關(guān)系與集合的運算規(guī)定：四、事件的關(guān)系與運算給定一個隨機(jī)試驗，設(shè)Ω為71（1）事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件Ｂ發(fā)生，稱事件B包含事件Ａ，記作或1、事件的包含與相等BA

事件Ａ的樣本點都是事件Ｂ的樣本點例如拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A={出現(xiàn)1點}B={出現(xiàn)奇數(shù)點}子事件（1）事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件Ｂ發(fā)生，稱事件B包含事件Ａ72A=BBA事件A與事件B含有相同的樣本點

例如：在投擲一顆骰子的試驗中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”與事件“出現(xiàn)2，4或6點”是相等事件。（2）若稱事件A與事件B相等，記為A=BBA事件A與事件B含有相同的樣本點例73事件A與事件B至少有一個發(fā)生的事件，稱事件A與事件B的并，記為2、事件的并（或和）

由事件A與事件B所有樣本點組成多個事件的和和事件A∪B發(fā)生A發(fā)生或B發(fā)生

事件A與事件B至少有一個發(fā)生的事件，稱事件A與事件743、事件的交（或積）ＡＢＡ∩Ｂ或

事件A與事件B同時發(fā)生的事件，記作

由事件Ａ和事件Ｂ的公共樣本點組成積事件AB發(fā)生事件Ａ和事件Ｂ同時發(fā)生3、事件的交（或積）ＡＢＡ∩Ｂ或事件A與事件B同時發(fā)754、互斥事件(互不相容事件)

事件A與事件B不能同時發(fā)生，即AB=Φ，則稱事件A與事件B是互不相容的或互斥的

事件A與事件B沒有公共的樣本點事件A與事件B互斥AB=Φ

4、互斥事件(互不相容事件)事件A與事件B不能同時765、對立事件

若事件A和事件B滿足則稱事件A與事件B是對立事件，記作

是由所有不屬于A的樣本點組成

性質(zhì)5、對立事件若事件A和事件B滿足77概率論集合論樣本空間（必然事件）Ω全集I不可能事件Φ空集Φ子事件A?B子集A?B事件并A∪B并集A∪B事件交A∩B交集A∩B

對立事件補集事件關(guān)系與集合比較概率論78某射手向目標(biāo)射擊三次，用表示第次擊中目標(biāo)試用及其運算符表示下列事件：（1）三次都擊中目標(biāo)：（2）至少有一次擊中目標(biāo)：

（3）恰好有兩次擊中目標(biāo)：（4）最多擊中一次：（5）至少有一次沒有擊中目標(biāo)：（6）三次都沒有擊中目標(biāo)：例：復(fù)合事件的表示某射手向目標(biāo)射擊三次，用表示第次擊中目標(biāo)試用79練一練A,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，試用A，B，C的運算表示下列事件1）A，B，C都不發(fā)生2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生3）A，B，C至少有一個發(fā)生4）A，B，C中恰有二個發(fā)生5）A，B，C中至少有二個發(fā)生6）事件3）的對立事件練一練A,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，1）A，B，C80五、頻率與概率定義1:

若事件A在N次試驗中發(fā)生了n次，則稱為事件A在N次試驗中發(fā)生的頻率。頻率具有以下性質(zhì)：（1）；（2），；（3）若事件A,B互不相容，則。五、頻率與概率定義1:若事件A在N次試驗中發(fā)生了n次，頻率81德.摩根試驗者拋擲次數(shù)n出現(xiàn)正面的次數(shù)m出現(xiàn)正面的頻率m/n204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼0.49981499430000拋擲硬幣的試驗歷史紀(jì)錄德.摩根試驗者拋擲次數(shù)n出現(xiàn)正面的次數(shù)m82

隨機(jī)事件A在相同條件下重復(fù)多次時，事件A發(fā)生的頻率在一個固定的數(shù)值p附近擺動，隨試驗次數(shù)的增加更加明顯頻率和概率

頻率的穩(wěn)定性

事件的概率事件A的頻率穩(wěn)定在數(shù)值p，說明了數(shù)值p可以用來刻劃事件Ａ發(fā)生可能性大小，可以規(guī)定為事件A的概率隨機(jī)事件A在相同條件下重復(fù)多次時，事件A發(fā)83

對任意事件Ａ，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗，事件Ａ發(fā)生的頻率m/n，隨著試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)附近擺動,那么稱p為事件Ａ的概率,記作

定義2：概率的統(tǒng)計定義

概率與頻率的關(guān)系：當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，可以用事件A發(fā)生的頻率近似的代替事件A的概率對任意事件Ａ，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次84再分析一個例子，為檢查某種小麥的發(fā)芽情況，從一大批種子中抽取10批種子做發(fā)芽試驗，其結(jié)果如表1-2：發(fā)芽率發(fā)芽粒數(shù)種子粒數(shù)