.WORD完美格式..9/11立體幾何存在性問題未命名一、解答題1．在多面體中,底面是梯形,四邊形是正方形,,,面面,..〔1求證：平面平面；〔2設(shè)為線段上一點,,試問在線段上是否存在一點,使得平面,若存在,試指出點的位置；若不存在,說明理由?〔3在〔2的條件下,求點到平面的距離.2．如圖,四棱錐中,底面是直角梯形,,,,側(cè)面是等腰直角三角形,,平面平面,點分別是棱上的點,平面平面〔Ⅰ確定點的位置,并說明理由；〔Ⅱ求三棱錐的體積.3．如圖,在長方體中,,點在棱上,,點為棱的中點,過的平面與棱交于,與棱交于,且四邊形為菱形.<1>證明：平面平面；<2>確定點的具體位置〔不需說明理由,并求四棱錐的體積.4．如圖2,已知在四棱錐中,平面平面,底面為矩形.〔1求證：平面平面；〔2若,試求點到平面的距離.5．如圖,三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,,,分別是棱,的中點．〔1證明：平面平面；〔2若四面體的體積為,求線段的長．6．如圖,在四棱錐中,,,,.〔1求證：；〔2若,,為的中點．〔i過點作一直線與平行,在圖中畫出直線并說明理由；〔ii求平面將三棱錐分成的兩部分體積的比．7．如圖1所示,在梯形中,//,且,,分別延長兩腰交于點,點為線段上的一點,將沿折起到的位置,使,如圖2所示．〔1求證：；〔2若,,四棱錐的體積為,求四棱錐的表面積.8．如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,．〔1證明：平面平面；〔2若,為棱的中點,,,求四面體的體積．9．如圖,在梯形中,,,,四邊形是矩形,且平面平面,點在線段上.〔1求證：平面；〔2當為何值時,平面？證明你的結(jié)論.10．10．如圖,已知菱形的對角線交于點,點為的中點.將三角形沿線段折起到的位置,如圖2所示.圖1圖2〔Ⅰ求證：平面；〔Ⅱ證明：平面平面；〔Ⅲ在線段上是否分別存在點,使得平面平面？若存在,請指出點的位置,并證明；若不存在,請說明理由..WORD完美格式..參考答案1．〔1見解析.〔2見解析.〔3.[解析]分析：〔1在梯形中,過點作作于,可得,所以,由面面,可得出,利用線面垂直的判定定理得平面,進而可得平面平面；〔2在線段上取點,使得,連接,先證明與相似,于是得,由線面平行的判定定理可得結(jié)果；〔3點到平面的距離就是點到平面的距離,設(shè)到平面的距離為,利用體積相等可得,,解得.詳解：〔1因為面面,面面,,所以面,.故四邊形是正方形,所以.在中,,∴.,∴,∴∴.因為,平面,平面.∴平面,平面,∴平面平面.〔2在線段上存在點,使得平面在線段上取點,使得,連接.在中,因為,所以與相似,所以又平面,平面,所以平面.〔3點到平面的距離就是點到平面的距離,設(shè)到平面的距離為,利用同角相等可得,,可得.點睛：證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.2．〔Ⅰ見解析〔Ⅱ[解析]試題分析：〔1根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到,,根據(jù)平行關(guān)系和長度關(guān)系得到點是的中點,點是的中點；〔2,因為,所以,進而求得體積.詳解：〔1因為平面平面,平面平面,平面平面,所以,又因為,所以四邊形是平行四邊形,所以,即點是的中點．因為平面平面,平面平面,平面平面,所以,又因為點是的中點,所以點是的中點,綜上：分別是的中點；〔Ⅱ因為,所以,又因為平面平面,所以平面；又因為,所以．點睛:這個題目考查了面面平行的性質(zhì)應(yīng)用,空間幾何體的體積的求法,求椎體的體積,一般直接應(yīng)用公式底乘以高乘以三分之一,會涉及到點面距離的求法,點面距可以通過建立空間直角坐標系來求得點面距離,或者尋找面面垂直,再直接過點做交線的垂線即可;當點面距離不好求時,還可以等體積轉(zhuǎn)化.3．〔1見解析〔2為棱上靠近的三等分點,為棱中點,[解析]分析：<1>要證平面平面,即證平面,即證,；<2>為棱上靠近的三等分點,為棱中點,利用等體積法即可求得結(jié)果.詳解：<1>在矩形中,,.又平面,.,平面.又平面,平面平面.<2>為棱上靠近的三等分點,為棱中點,,所以的面積.于是四棱錐的體積.點睛：求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解,注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法.①割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時,常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進行解決．②等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形<或幾何體>的面積<或體積>通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三棱錐的高時,這一方法回避了通過具體作圖得到三角形<或三棱錐>的高,而通過直接計算得到高的數(shù)值．4．〔1見解析；〔2[解析]分析：〔1由平面平面,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面,由面面垂直的判定定理可得結(jié)論；〔2取AD的中點O,則平面,由,從而利用棱錐的體積公式可得結(jié)果.詳解：〔1證明：．〔2解：取AD的中點O,則,,則．又易知,所以,解出．點睛：解答空間幾何體中垂直關(guān)系時,一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理,找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：〔1利用判定定理；〔2利用判定定理的推論；〔3利用面面平行的性質(zhì)；〔4利用面面垂直的性質(zhì),當兩個平面垂直時,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.5．<1>證明見解析；<2>.[解析]分析：〔1推導出BE⊥CD,AB⊥CD,從而CD⊥平面ABE,由此能證明平面ABE⊥平面ACD；〔2取BD的中點G,連接EG,則EG∥BC．推導出BC⊥平面ABD,從而EG⊥平面ABD,由此能求出線段AE的長．詳解：〔1證明：因為,是棱的中點,所以．又三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且,所以平面,則．因為,所以平面,又平面,所以平面平面．〔2解：取的中點,連接,則．易證平面,從而平面,所以四面體的體積為,則,在中,,．點睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.<1>證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.<2>證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.<3>證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.6．〔1見解析；〔2見解析,[解析]分析:<1>取中點,連接,,先證明面,再證明.<2><i>取中點,連接,,則,即為所作直線,證明四邊形為平行四邊形即得證.〔ii先分別計算出兩部分的體積,再求它們的比.詳解：〔1證明：<1>取中點,連接,,為中點,又,為中點,又,面又面,<2><i>取中點,連接,,則,即為所作直線,理由如下:在中、分別為、中點,且又,且,四邊形為平行四邊形.<ii>,,,面又在中,,,又,面,.：〔1本題主要考查空間平行垂直位置關(guān)系的證明,考查空間幾何體體積的計算,意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和空間想象轉(zhuǎn)化能力.〔2對于空間平行垂直位置關(guān)系的證明有幾何法和向量法兩種方法,空間幾何體體積的計算有公式法、割補法和體積變換法三種方法.7．〔1見解析；〔2[解析]分析：〔1先利用直角三角形和線線平行的性質(zhì)得到線線垂直,再利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到線面垂直和線線垂直；〔2分析四棱錐的各面的形狀,利用相關(guān)面積公式進行求解．詳解：〔1因為∠C＝90°,即AC⊥BC,且DE∥BC,所以DE⊥AC,則DE⊥DC,DE⊥DA1,又因為DC∩DA1＝D,所以DE⊥平面A1DC.因為A1F?平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因為A1F⊥CD,CD∩DE＝D,所以A1F⊥平面BCDE,又因為BE?平面BCDE,所以A1F⊥BE．〔2由已知DE∥BC,且DE＝BC,得D,E分別為AC,AB的中點,在Rt△ABC中,,則A1E＝EB＝5,A1D＝DC＝4,則梯形BCDE的面積S1＝×<6＋3>×4＝18,四棱錐A1—BCDE的體積為V＝×18×A1F＝12,即A1F＝2,在Rt△A1DF中,,即F是CD的中點,所以A1C＝A1D＝4,因為DE∥BC,DE⊥平面A1DC,所以BC⊥平面A1DC,所以BC⊥A1C,所以,在等腰△A1BE中,底邊A1B上的高為,所以四棱錐A1—BCDE的表面積為S＝S1＋＋＋＋＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．點睛：本題考查空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化、空間幾何體的表面積等知識,意在考查學生的空間想象能力和數(shù)學轉(zhuǎn)化能力．8．〔1見解析；〔2[解析]分析：<1>由面面垂直的性質(zhì)定理得到⊥平面,即,進而得到平面平面,<2>由等體積法求解,。詳解：〔1證明：∵四邊形是矩形,∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,CD平面ABCD,∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥PB.∵PB⊥PD,CD∩PD=D,CD、PD平面PCD,∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.〔2取BC的中點O,連接OP、OE.∵平面,∴,∴,∵,∴．∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO平面PBC,∴PO⊥平面ABCD,∵AE平面ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O,∴PE⊥AE.∵PO∩PE=P,∴AE⊥平面POE,∴AE⊥OE.∵∠C=∠D=90O,∴∠OEC=∠EAD,∴,∴．∵,,,∴,．點睛：本題主要考查面面垂直,線面垂直,考查三棱錐體積的求法,考察學生分析解決問題的能力,考查學生的空間想象能力。9．<1>見解析;<2>.[解析]分析：〔1在梯形中,利用梯形的性質(zhì)得,再根據(jù)平面平面,利用面面垂直的性質(zhì)定,即可證得平面；〔2在梯形中,設(shè),連接,利用比例式得,進而得,利用線面平行的判定定理,即可得到平面.詳解：〔1在梯形中,∵,,,∴四邊形是等腰梯形,且,,∴,∴.又∵平面平面,又平面平面,∴平面.〔2當時,平面,在梯形中,設(shè),連接,則,∵,而,∴,∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,又∵平面,平面,∴平面.點睛：本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明,熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵,其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：<1>證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；<2>證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；<3>證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．10．〔Ⅰ證明見解析；〔Ⅱ證明見解析；〔Ⅲ和的中點,證明見解析.[解析]分析：〔Ⅰ由菱形的性質(zhì)可得,又平面,所以平面；〔Ⅱ先證明四邊形為平行四邊形,可得.又由〔Ⅰ得,平面,從而得平面,由平面可得結(jié)論；〔Ⅲ別取和的中點,由三角形中位線定理以及平行四邊形的性質(zhì)可得及,由面面平行的判定定理可得結(jié)論.詳解：<Ⅰ證明：折疊前,因為四邊形為菱形,所以；所以折疊后,,又平面,所以平面〔Ⅱ因為四邊形為菱形,所以.又點為的中點,所以.所以四邊形為平行四邊形.所以.又由〔Ⅰ得,平面,所以平面.因為平面,所以平面平面.〔Ⅲ存在滿足條件的點,且分別是和的中點.如圖,分別取和的中點.連接.因為四邊形為平行四邊形,所以.所以四邊形為平行四邊形.所以.