概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本公式第一部分概率論基本公式1、ABABAAB;ABA(BA)例：證明：2、對(duì)偶率：ABAB；ABAB.3、概任性率：(1)有限可加：A1、A2為不相容事件，則P(A1A2)P(A1)P(A2)(2)P(AB)P(A)P(AB),特別，BA時(shí)有：P(AB)P(A)P(B);P(A)P(B)3）對(duì)隨意兩個(gè)事件有：P(AB)P(A)P(B)P(AB)4、古典概型5、條件概率例：有三個(gè)罐子，1號(hào)裝有2紅1黑共3個(gè)球，2號(hào)裝有3紅1黑4個(gè)球，3號(hào)裝有2紅2黑4個(gè)球，某人隨機(jī)從此中一罐，再?gòu)脑摴拗腥稳∫粋€(gè)球，（1）求獲得紅球的概率；（2）假如獲得是紅球，那么是從第一個(gè)罐中拿出的概率為多少？解：設(shè)Bi{球取自號(hào)罐，i。A{獲得是紅球}，由題知、、B3是一個(gè)齊備事件(1)i}1,2,3B1B2由全概率公式P(B)P(Ai)P(B|Ai)，依題意，有：P(A|B1)2;P(A|B2)3;P(A|B3)1.i342P(B1)P(B2)P(B3)1，P(A)0.639.3(2)由貝葉斯公式：P(B1|A)P(A|B1)P(B1)P(A)0.348.6、獨(dú)立事件1）P(AB)=P(A)P(B),則稱A、B獨(dú)立。伯努利概型假如隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：事件A發(fā)生或事件A不發(fā)生，則稱為伯努利試驗(yàn)，即：P(A)=p,P(A)1pq(0<p<1,p+q=1)同樣條件獨(dú)立重復(fù)n次，稱之為n重伯努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱伯努利概型。伯努利定理：b(k;n,p)Cnkpk(1p)nk（k=0,1,2）事件A初次發(fā)生概率為：p(1p)k1例：設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生許多于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1）進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2）進(jìn)行了7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。第二章7、常用失散型散布（1）兩點(diǎn)散布：若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能的取值，且其散布為：P{Xx1}p;P{Xx2}1p（0<p<1）則稱X聽從x1、x2處參數(shù)為p的兩點(diǎn)散布。特別地，若X聽從x11，x20處參數(shù)為p的兩點(diǎn)散布，即：X01qp則稱X聽從參數(shù)為0—1散布。此中希望E（X）=p,D(X)=p(1-p)（2）二項(xiàng)散布：若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率散布由P{Xk}Cnkpk(1-p)nk（k=0,1,2）給出，則稱X聽從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)散布，記為：X~b(n,p)（或B(n，p)npk(1p)1k此中P{Xk}1，當(dāng)n=1時(shí)變成：P{Xk}（k=0,1）,此時(shí)為0—1k0散布。其希望E（X）=np，方差D(X)=n(1-p)k（3）泊松散布：若一個(gè)隨機(jī)變量X概率散布為：P{Xk}e,0，k0,1,2則k!稱X聽從參數(shù)為的泊松散布，記為：X~P()(或X~(),此中P{Xk}1，稱k0為泊松流強(qiáng)度。泊松定理：在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P時(shí)，n,假如nnPn(0的常數(shù)），則對(duì)隨意給定的k，有l(wèi)imb(k;n,p)limCnkpnk(1pn)nkke，這表示，當(dāng)n很大時(shí)，p靠近0或1nnk!時(shí)，有Cnkpnk(1pn)nkke（np）。k!其希望方差相等，即：E(X)=D(X)=。8、常用連續(xù)型散布X的概率密度為f(x)1/(ba),axb（1）平均散布：若連續(xù)隨機(jī)變量0,其余則稱X在區(qū)間（a，b）上聽從平均散布，記為X~U(a,b)。此中f(x)dx1，散布函數(shù)為：-其希望E（X）=ab，方差D(X)=(ba)2。212ex,x00，則稱X聽從參數(shù)為（2）指數(shù)散布：若隨機(jī)變量的概率為f(x)，0,其余的指數(shù)散布，簡(jiǎn)記為X~e().其散布函數(shù)：F(x)1ex,x0，00,其余，其希望E(X)=11,方差D(X)=2.1(x)2(3)正態(tài)散布：若隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)e22,x2

，則稱X聽從參數(shù)為μ和2的正態(tài)散布，記為X~N(μ,2),此中μ和（>0）都是常數(shù)。散布函數(shù)1(t)2為：F(x)x2dt,x.。當(dāng)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布，e20,21時(shí)，1x21t2(x)x概率密度函數(shù)為：（x)e2,散布函數(shù)為：2e2dt.2X定理：設(shè)X~N(,2),則Y~N(0,1)其希望E(X)=μ,D(X)=2。9、隨機(jī)變量函數(shù)的散布（1）失散型隨機(jī)變量函數(shù)散布一般方法：先依據(jù)自變量X的全部可能取值確立因變量Y的全部可能值，而后經(jīng)過Y的每一個(gè)可能的取值yi(i=1,2,)來確立Y的概率散布。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)散布方法：設(shè)已知X的散布函數(shù)FX(x)或許概率密度fX(x)，則隨機(jī)變量Y=g(X)的散布函數(shù)FY(y)P{Yy}P{g(X)y}P{XCY},此中Cy{x|g(x)y}，F(xiàn)Y(y)P{XCY}fX(x)dx，從而可經(jīng)過Y的散布Cy函數(shù)FY(y)，求出Y的密度函數(shù)。1|x|,1x1例：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)，求隨機(jī)變量0,其余X21的散布函數(shù)和密度函數(shù)。解：設(shè)FY(y)和fY(y)分別是隨機(jī)變量Y的散布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則由1x1得：1y2,那么當(dāng)y1時(shí)FY(y)P{Yy}P{X21y}P( )0,當(dāng)1y2時(shí)，得：Y(y)P{Yy}P{X21y}P{y1xy1y(1|x|)dx0(1x)dx1y1y1y12時(shí)，F(xiàn)Y(y)P{X21(1x)dx2y1(y1),當(dāng)yP{Yy}1y}0dx0-10,y1(1|x|)dx0dx1,所以，F(xiàn)Y(y)2y1(y1),1y2,111,y211,1y2fX(x)FY(y)'y10,其余10、設(shè)隨機(jī)變量X~N(,2),Y=aXb也聽從正態(tài)散布.即YaXb~N(ab,(a)2)。11、結(jié)合概率散布(1)失散型結(jié)合散布：Pij1ijXYyjP{X=xi}y1p11p1jP{Y=yj}

1連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的散布：1(xy),0x2,0y2例：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)f(x,y)80,其余求f(x),f(y),E(X),E(Y),cov(X,Y)，XY，D(X+Y).解：①當(dāng)0≤x≤2時(shí)由fX(x)xy）dy，得：fX(x）1/8x21/4x，當(dāng)x<0或[1/8(x0x>2時(shí)，由fX(x)00dy0，所以，0dy2同理可求得:fY(y)1/8y21/4y,0y20，其余；27/6,由對(duì)稱性同理可求得，②E(X)=xfX(x）dxE(Y)=7/6。02222y)dxdy4/3.③因?yàn)镋(XY)=0xyf(x,y)dxdy1/8xy(x000所以，cov（X,Y）=E(XY)-E(X)E(Y)=4/3-(7/6)2=-1/36。(7)2④D(X)E(X2)[E(X)]22x2f(x，y)dxdy11200636同理得D(Y)=11,所以，XY=cov(X,Y)136D(X)D(Y)11⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=59F(x|A)P{Xx|A}P{Xx,A},稱F(x|A)為在A發(fā)生條件下，12、條件散布：若P{A}X的條件散布函數(shù)13、隨機(jī)變量的獨(dú)立性：由條件散布設(shè)A={Y≤y},且P{Y≤y}>0,則：F(x|Yy}P{Xx,Yy}F(x,y)F（x,y），P{Yy}FY(y)，設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的結(jié)合散布概率為邊沿散布概率為FX(x)、FY(y)，若關(guān)于隨意x、y有：P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}，即：F(x,y)FX(x)FY(y)，則稱X和Y獨(dú)立。14、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f(x,y),邊沿概率密度函數(shù)為fX(x)、fY(y)，則關(guān)于全部使fX(x)>0的x,定義在X=x的條件下Y的條件密度函數(shù)為：fY|X(y|x)f(x,y)Y=y條件下X的條件概率密度函數(shù)為：fX(x)，同理獲得定義在fX|Y(x|y)f(x,y)X,Y互相獨(dú)立。，若f(x,y)=fX(x)fY(y)幾乎到處成立，則稱fY(y)ce(2xy),x0,y0例：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為：f(x,y)0,其余，求（1）確立常數(shù)c；（2）X,Y的邊沿概率密度函數(shù)；（3）結(jié)合散布函數(shù)F(x,y);(4)P{Y≤X};條件概率密度函數(shù)fX|Y(x|y)；（6）P{X<2|Y<1}解：由f(x,y)dxdyce(2xy)dxdyce2xdx1c1,c2000002由獲得：2e(2xy),x0,y0時(shí)，(2xy)2xf(x,y)，則：當(dāng)xfX(x)2edy2e0,其余0fX(x)2e2x,x00時(shí)，fY(y)2e(2xy)dxey,fY(y)ey,y0，當(dāng)y.0,其余00,其余當(dāng)時(shí)，xy(3)x0,yF(x,y)2e00當(dāng)時(shí)，xyxF(x,y)0dxdy00(4)P{YX}x2e(2xy)dxdy000

(2xy)dxdyx2x2e(2xy)dx(1e2x)(1ey)(2e0(1e2x)(1ey),x0,y00,F(x,y)0,其余.(2e2x2e3xdx1;3f(x,y)2e2x，2e2x，x0,(5)當(dāng)x0,y0時(shí)，fX|Y(x|y)fX|Y(x|y)，其余y0.fY(y)0(6)FY(y)yydy1eye0P{X2|Y1}P{X2,Y1}F(2,1)1e4.P{Y1}FY(1)15、數(shù)學(xué)希望：（1）失散型：E(X)xipii1（2）連續(xù)型：E(X)xf(x)dx，因?yàn)槠鋵?shí)不是每一個(gè)函數(shù)都能積分，所以并不是全部隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)希望。數(shù)學(xué)希望的性質(zhì)：①E(CX)=CE(X)①E(X1X2)E(X1)E(X2)③設(shè)X,Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y).例：10個(gè)人隨機(jī)進(jìn)入15個(gè)房間，每個(gè)房間容納的人數(shù)不限，設(shè)X表示有人的房間數(shù)，求E(X)(設(shè)每個(gè)人進(jìn)入房間是等可能的，且各人能否進(jìn)入房間互相獨(dú)立)附：二項(xiàng)散布b(n,p)和兩點(diǎn)散布b(1,p)的另一個(gè)關(guān)系，仍設(shè)一個(gè)實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：A和A,且P(A)=p,此刻將試驗(yàn)獨(dú)立進(jìn)行n次，記為n次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù)，則X~b(n,p)，若記Xi為第i次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù)，即：Xi

1，第i次試驗(yàn)A出現(xiàn)0，第i次試驗(yàn)A不出現(xiàn)此中：XX1X2Xi解：引入隨機(jī)變量xi1,第i號(hào)房間有人；1,2,3,15.i0，第i號(hào)房間沒人；易知XX1X2X15由題意，隨意房間沒有人的概率為14，則10個(gè)人都不在第i號(hào)房間的概率為：（14101515），那么在第i號(hào)房間有人的概率為（1410），即：1-15P{xi0}（1410,P{xi1}（1410，，））151-15,i1,2,315（1410,i1,2,3,，）E(xi)1-1515.E(X)E(X1X2X15)E(X1)E(X)（1410]7.48）E(X15)15[1-1516、方差：(1)D(X)E[XE(X)]2E(X2)[E(X)]2(2)方差性質(zhì)：①D(CX)=C2D(X);②若X.Y互相獨(dú)立，則：D(XY)D(X)D(Y)17、協(xié)方差：(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特別，X,Y獨(dú)即刻，有：cov(X,Y)=0.2）協(xié)方差性質(zhì)：①cov(X,X)=D(X);②cov(aX,bY)=abcov(X,Y);③cov(C,Y)=0;④cov(X1X2,Y)=cov(X1,Y)cov（X2，Y)⑤隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系D(XY)D(X)D(Y)2cov(X,Y).(3)有關(guān)系數(shù)cov(X,Y)|XY|1;②若X和Y互相獨(dú)立，則XY=0，即XY,性質(zhì)：①D(X)D(Y)X和Y不有關(guān)。③若D(X)>0，D(Y)>0，則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a，b（a0），使：XY0時(shí)，只好說明Y與X之間不是線性關(guān)系，但可能有其余函數(shù)關(guān)系，附注：從而不可以推注Y與X獨(dú)立。④設(shè)e=E[Y-(aXb)]2,稱為用aXb來近似Y的均方差，則：設(shè)D(X)>0，D(Y)>0,有：a0cov(X,Y),b0E(Y)a0E(X),使均方偏差達(dá)到最小。D(X)18、切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X的希望E(X)=μ,方差D(X)=2,則關(guān)于給定隨意正數(shù)，22有：P{|X|}2，或許為：P{|X|}12.19、大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn互相獨(dú)立，且擁有同樣的希望和方差：E(Xi),D(Xi)2，i=1,2,3，記1nXi，則關(guān)于隨意>0,有：nni1limP{|Yn|}1,推論limP{|nAp|}1(此中nA為n重伯努利中20、中nnn發(fā)生的次數(shù)，為概率。Ap心極限制理；（1）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn互相獨(dú)立，聽從同一散布，且E(Xi),D(Xi)2，i=1,2,3，則：nXinnx1t2XilimP{i1x}e/2dt.一個(gè)結(jié)論：i1~N(0,1)n2/nn(2)棣莫佛—拉普拉斯定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn互相獨(dú)立，而且都聽從參數(shù)為p的nXinpx1t2/2兩點(diǎn)散布，則對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，有：limP{i1xedtx）np(1p)}2(n第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)21、因?yàn)闃颖痉讲睿ɑ驑颖緲?biāo)準(zhǔn)差）很好的反響整體方差2（或標(biāo)準(zhǔn)差）的信息，所以，當(dāng)方差未知時(shí)，常用S2去預(yù)計(jì)，而整體標(biāo)準(zhǔn)差則常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S去預(yù)計(jì)。22、常用統(tǒng)計(jì)散布（1）分位數(shù)：設(shè)隨機(jī)變量X的散布函數(shù)F（x）,對(duì)給定的實(shí)數(shù)（1),若實(shí)數(shù)F知足P{XF},則稱F為隨機(jī)變量X散布的水平的上側(cè)分位數(shù)，0若實(shí)數(shù)、知足P{|X|T、,則稱T、為隨機(jī)變量散布的的兩側(cè)分位數(shù)。T22}2X（）2散布：設(shè)X1,X2,Xn是取自整體的樣本，稱統(tǒng)計(jì)量2N(0,1)2X12X22Xn2聽從自由度為n的2散布。E(2)n,D(2)2n，（4）F散布：設(shè)X~2(m),Y~2(n),且X與Y互相獨(dú)立，則稱FX/mnX22、Y/nmY聽從自由度為（m,n)的F散布，記：F~F(m,n)抽樣散布A、單正態(tài)整體抽樣散布（1）設(shè)整體X~N(，2),X1，X,2，Xn是取自X的一個(gè)樣本，X為該樣本的樣本均值，則有：X~N（，2/n);UX~N(0,1)/n(2)設(shè)整體X~N(，2),X1，X,2，Xn是取自X的一個(gè)樣本,X與S2分別是該樣本均值和樣本方差，則有：2n21S2~2(n1);X與S2互相獨(dú)立。（）設(shè)整體X~N(，2),X，，Xn是取自X的一個(gè)樣本,X與S2分別是該樣本31X,2均值和樣本方差，則有：21n(Xi)2~2X~t(n1).2(n);Tni1S/、雙正態(tài)整體抽樣散布：2(n11)S12(n21)S22則（）U(XY)(12)wn1n22,112/n1~N(0,1)22/n22(XY)(2)F2S12~F(n11,n21);當(dāng)2221S2212時(shí)，T~t(n1n22)1SW1/n12/n223、參數(shù)預(yù)計(jì)——點(diǎn)預(yù)計(jì)：設(shè)X1，X,2，Xn是取自X的一個(gè)樣本，x1,x2,xn是相應(yīng)的一組樣本值，是整體散布的未知參數(shù)，為預(yù)計(jì)未知參數(shù)，需要結(jié)構(gòu)一個(gè)適合的：(X1,X2,Xn)，而后察看值：(x1,x2,xn)來預(yù)計(jì)，(X1,X2,Xn)稱為的預(yù)計(jì)量，(x1,x2,xn)稱為的預(yù)計(jì)值，預(yù)計(jì)量和預(yù)計(jì)值統(tǒng)稱為點(diǎn)預(yù)計(jì)。設(shè)(X1,X2,Xn)是未知參數(shù)的預(yù)計(jì)量，若E(),則稱為的無偏預(yù)計(jì)量，設(shè)X1，X,2，Xn是取自X的樣本，整體X的均值為，方差為2，則：樣本均值X是的無偏預(yù)計(jì)量，樣本方差S2是2的無偏預(yù)計(jì)量，樣本二階中心矩n(XiX)2是2的無偏預(yù)計(jì)量。ni124、點(diǎn)預(yù)計(jì)常用方法（1）矩預(yù)計(jì)法：先求E（X）,獲得一個(gè)E(X)與未知參數(shù)的式子，用E(X)表示未知參數(shù)，再把E(X)用X取代即可。例：已知整體X的概率散布為{k}k(1)k2k,k0,1,2,求參數(shù)的矩預(yù)計(jì)。PXC2解：n2（）（2，E(X)E(X)xiP{Xk}0x）2-21-1x21-21-2i1用樣本均值X取代獲得的矩預(yù)計(jì)為：X。2（2）最大似然預(yù)計(jì)：一般方法：a、寫出最大似然函數(shù)L(x1,x2,xn;);b令dL( )dlnL()0,求出駐點(diǎn)；c、判斷并求出最大d0或d值點(diǎn)，在最大值點(diǎn)得表達(dá)式中，用樣本均值代入即獲得參數(shù)的最大豁然預(yù)計(jì)值。例：設(shè)整體X的概率密度為f(x)(1)x,0x1，此中（1)