《初等數(shù)論》期末練習(xí)二一、單項(xiàng)選擇題1、(0,b)（）.A b B b C bD 02、如果(a,b)1，則(ab,ab)=（ A a B b C 1 D ab330的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（）.A 10 B 9 C 8 D 74、如果ab(modm),c是任意整數(shù),則A acbc(modm) B ab C acbc(modm) D ab5、不定方程525x231y210（）.A 有解 B 無解 C 有正數(shù)解 D有負(fù)數(shù)解6、整數(shù)5874192能( 整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或97、如果ba，ab，則( ).A ab B ab C ab D ab8、公因數(shù)是最大公因數(shù)的（ ）.A 因數(shù) B 倍數(shù) C 相等 D不確定9、大于20且小于40的素?cái)?shù)有（）.A 4個(gè) B 5個(gè) C 2個(gè) D 3個(gè)10、模7的最小非負(fù)完全剩余系( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6、因( ),所以不定方程12x15y7沒有.A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除C 7不整除（12，15） D 7不整[12，15]12、同余式x2438(mod593)（ ）.A 有解 B無解 C 無法確定 D 有無限個(gè)解二、填空題1、有理數(shù)a，0ab,(a,b)1，能寫成循環(huán)小數(shù)的條件是（ ）.b2、同余式12x150(mod有解，而且解的個(gè)數(shù)( ).3、不大于545而為13的倍數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)( ).4、設(shè)n是一正整數(shù)，Euler函數(shù)(n)表示所( )n，而且與n（）的正整數(shù)的個(gè).5、設(shè)a,b整數(shù)，則(a,b)（ ）=ab.6、一個(gè)整數(shù)能被3整除的充分必要條件是它的（ ）數(shù)碼的和能被3整.7、x[x]（ ）.8、同余式111x75(mod有解而且解的個(gè)( ).9、在176與545之間( )是17的倍.10、如果ab0,則[a,b](a,b)=( ).、a,b的最小公倍數(shù)是它們公倍數(shù)( ).12、如果(a,b)1,那么(ab,ab)=( ).三、計(jì)算題1、求24871與3468的最小公倍數(shù)?2、求解不定方程107x37y25.（8分）4293、求563,其中563是素?cái)?shù).（8分） 4、解同余式111x75(mod321).（8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程6x11y18.7、判斷同余式x2365(mod1847)是否有解？8、求11的平方剩余與平方非剩余.四、證明題1、任意一個(gè)n位數(shù)an倍數(shù).（11分）

an1

a2

與其按逆字碼排列得到的數(shù)aa1 2

a an1

的差必是9的2、證明當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，有(2n.（10分）3、一個(gè)能表成兩個(gè)平方數(shù)和的數(shù)與一個(gè)平方數(shù)的乘積,仍然是兩個(gè)平方數(shù)的和;兩個(gè)能表成兩個(gè)平方數(shù)和的數(shù)的乘積,也是一個(gè)兩個(gè)平方數(shù)和的數(shù).（11分）4、如果整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).5、如果a,b是兩個(gè)整數(shù),b0,則存在唯一的整數(shù)對(duì)q,r,使得abqr,其中0rb.《初等數(shù)論》期末練習(xí)二答案一、單項(xiàng)選擇題1、C 、C 3A 4A 5A 6B 7D 、A 9A 10D B 12B二、填空題1、有理數(shù)a，0ab,(a,b)1，能寫成循環(huán)小數(shù)的條件是（1 ）.b2、同余式12x150(mod有解，而且解的個(gè)數(shù)( 3 ).3、不大于545而為13的倍數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)( 41 ).4、設(shè)n是一正整數(shù)，Euler函數(shù)(n)表示所有(不大于)n，而且與n（互素）的正整數(shù)的個(gè)數(shù).5、設(shè)a,b整數(shù)，則(a,b)（[a,b] ）=ab.6、一個(gè)整數(shù)能被3整除的充分必要條件是它的（十進(jìn)位）數(shù)碼的和能被3整除.7、x[x]（）.8、同余式111x75(mod有解而且解的個(gè)(3 ).9、在176與545之間(12 )是17的倍.10、如果ab0,則[a,b](a,b)=( ab ).、ab(因數(shù)).12、如果(a,b)1,那么(ab,ab)=( 1 ).三、計(jì)算題1、求24871與3468的最小公倍數(shù)?解：因?yàn)椋?4871,3468）=17248713468所以[24871,3468]= 17 =507368424871346850736842、求解不定方程107x37y25.（8分）25，所以有解；考慮107x37y1xy26x925=225y2625x22537ty650107t429 3、求563,其中563是素?cái)?shù).（8 429解把563看成Jacobi 67(1)671.4291429429 429

2 2 67 6727271.6716767 2 2 67 27 2713(1)2711312711..27 2 2 13 13

, 429563 4、解同余式111x75(mod321).（8分）解因?yàn)?111,321)=3|75,所以同余式有3個(gè)解.將同余式化簡(jiǎn)為等價(jià)的同余方程37x25(mod107我們?cè)俳獠欢ǚ匠?7x107y25(-8,3).于是定理4.1中的x 8.0因此同余式的3個(gè)解為x8(mod,321x8

(mod99(mod,3321x82 (mod206(mod.35、求[525,231]=?解：解：因?yàn)椋?25,231）=21525231所以[525,231]= 17 =57756、求解不定方程6x11y18.解：因?yàn)?8，所以有解考慮6x11y1xy1。xy18，x3611ty187、判斷同余式x2365(mod1847)是否有解？（8分）3651847解3651847如果其值是1因?yàn)?65573,所以365 5 73 1847

.再51(mod4),731(mod4),所以 5 184721

184718471847

5

5 , 73184722211 1847 73 73 737317371141.11 11 7 7所以,

3651847于是所給的同余式有解.8、求11的平方剩余與平方非剩余.解因?yàn)?11552又因?yàn)?/p>

121,22

4,32

9,42

5,523,115811四、證明題1、任意一個(gè)n位數(shù)an倍數(shù).（11分）證明因?yàn)?/p>

an1

a2

與其按逆字碼排列得到的數(shù)aa1 2

a an1

的差必是9的aan

a2

a 10n1n

n1

10n2a2

10a,1aa1 2

a=an1 n 1

10n1a2

10n2

n1

10a,nan

an1

a2

-aa1

a a=n1 na(10n11)n

n1

10(10n31)a10n3)a2

10n1).而上面等式右邊的每一項(xiàng)均是9的倍數(shù),于是所證明的結(jié)論成立.2、證明當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，有(2n1).（10分）證明因?yàn)?1(mod3),所以2n1n3).于是,當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),我們可以令n2k1.從而有2n

12k1,即32n.3.（11）證明（1）設(shè)ma2

b2,則顯然r2m(ra)2

(rb)2.（2）如果nc2d2,那么mn(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2=(a2c

b2d

2abcd)(a2d

b2c

2abcd)=(acbd)2(adbc)2.4、如果整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).(11分)證明設(shè)a是一正整數(shù),并將a寫成10進(jìn)位數(shù)的形式:10所以我們得到

a=an

10na

10n1 aa,0a,0010.aa0(mod5)所以整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).5、如果a,b是兩個(gè)整數(shù),b0,則存在唯一的整數(shù)對(duì)q,r,使得abqr,其中0rb.證明首先證明唯一性.設(shè)qrabqr,0rb.所以bqrbqr,即q