矩陣位移法第11章1矩陣代數(shù)復(fù)習(xí)1、矩陣定義一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣的元素排列為m行和n列，稱為mn

階矩陣。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOMLé?êêêêêù?úúúúú2、方陣一個(gè)具有相同的行數(shù)和列數(shù)的矩陣，即m=n時(shí)，稱為n階方陣。3、行矩陣和列矩陣一個(gè)單獨(dú)的行組成的矩陣稱為行矩陣，如：A=[]aaaan1112131???由單列組成的矩陣稱為列矩陣，如：A=aaam11211┇é?êêêêêêù?úúúúúú24、純量?jī)H由一個(gè)單獨(dú)的元素所組成的11階矩陣稱為純量。5、矩陣乘法兩個(gè)規(guī)則：（1）兩個(gè)矩陣僅當(dāng)他們是共形時(shí)才能相乘，即ABCplmplnmn′′′==當(dāng)時(shí)才能相乘AB=aaaabb111221221121é?êù?úé?êù?ú共形2×22×1BA=bbaaaa112111122122é?êù?úé?êù?ú非共形

2×12×2（2）不具有交換律，即

AB1BA36、轉(zhuǎn)置矩陣將一個(gè)階矩陣的行和列依次互換，所得的階矩陣稱之為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：A=aaaaaa111221223132é?êêêù?úúú其轉(zhuǎn)置矩陣為AT=é?êù?úaaaaaa112131122232當(dāng)連乘矩陣的乘積被轉(zhuǎn)置時(shí)，等于倒轉(zhuǎn)了順序的各矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣之乘積。若A=BCD則AT=DTCTBT7、零矩陣元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用0表示。若AB=0，但不一定A=0或B=0。4任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即AI=AIA=A510、逆矩陣在矩陣運(yùn)算中，沒有矩陣的直接除法，

除法運(yùn)算由矩陣求逆來完成。例如，若AB=C則B=A-1C此處A-1稱為矩陣A的逆矩陣。一個(gè)矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義：AA-1=

A-1A=I矩陣求逆時(shí)必須滿足兩個(gè)條件：（1）矩陣是一個(gè)方陣。（2）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣（行列式為零的矩陣稱為奇異矩陣）。11、正交矩陣若一方陣A每一行（列）的各個(gè)元素平方之和等于1，而所有的兩個(gè)不同行（列）的對(duì)應(yīng)元素乘積之和均為零，則稱該矩陣為正交矩陣，則A=cossinsincosaaaa-é?êù?ú正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即A-1=AT6§11-1概述

矩陣位移法的理論基礎(chǔ)是傳統(tǒng)的位移法，只是它的表達(dá)形式采用矩陣代數(shù)，而這種數(shù)學(xué)算法便于編制計(jì)算機(jī)程序，實(shí)現(xiàn)計(jì)算過程的程序化。一、矩陣位移法的基本思路

矩陣位移法又可以稱為桿件結(jié)構(gòu)的有限元法；矩陣位移法的兩個(gè)基本步驟是（1）結(jié)構(gòu)的離散化；（2）單元分析；（3）整體分析，任務(wù)意義單元分析建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單元?jiǎng)偠染仃囉镁仃囆问奖硎緱U件的轉(zhuǎn)角位移方程整體分析由變形條件和平衡條件建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移間的剛度方程，形成整體剛度矩陣用矩陣形式表示位移法基本方程7指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，桿件兩端各有三個(gè)位移分量，這是平面結(jié)構(gòu)桿件單元的一般情況。

符號(hào)規(guī)則：圖(a)表示單元編號(hào)、桿端編號(hào)和局部座標(biāo)，局部座標(biāo)的座標(biāo)與桿軸重合；12eEAIl(a)圖(b)表示的桿端位移均為正方向。單元編號(hào)桿端編號(hào)局部座標(biāo)12(b)桿端位移編號(hào)12桿端力編號(hào)(c)二、桿端位移、桿端力的正負(fù)號(hào)規(guī)定一般單元：81212（1）單元桿端位移向量（2）單元桿端力向量凡是符號(hào)上面帶了一橫杠的就表示是基于局部座標(biāo)系而言的。9

現(xiàn)在討論單元?jiǎng)偠确匠?。單元?jiǎng)偠确匠淌侵赣蓡卧獥U端位移求單元桿端力時(shí)的一組方程，可以用“”表示，由位移求力稱為正問題。在單元兩端加上人為控制的附加約束，使基本桿單元的兩端產(chǎn)生任意指定的六個(gè)位移，然后根據(jù)這六個(gè)桿端位移來推導(dǎo)相應(yīng)的六個(gè)桿端力。e12eeeeee我們忽略軸向受力狀態(tài)和彎曲受力狀態(tài)之間的相互影響，分別推導(dǎo)軸向變形和彎曲變形的剛度方程?！?1-2單元?jiǎng)偠染仃?局部座標(biāo)系)進(jìn)行單元分析，推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃?。一、一般單?0eeeeeee分別推導(dǎo)軸軸向變形和和彎曲變形形的剛度方方程。首先，由兩兩個(gè)桿端軸軸向位移可推算出相相應(yīng)的桿端端軸向力eeeee12其次，由桿端橫向位移可以用角變變位移方程程推導(dǎo)出相相應(yīng)的桿端端橫向力eeee11eee將上面六個(gè)個(gè)方程合并并，寫成矩矩陣形式：：12EAl6EIl26EIl2EAl12EIl312EIl34EIl2EIl上面的式子子可以用矩矩陣符號(hào)記記為eeee這就是局部部座標(biāo)系中中的單元?jiǎng)倓偠确匠?。。e可求單元桿桿端力ee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EIl206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2EAl-12EIl312EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl20只與桿件本身身性質(zhì)有關(guān)而而與外荷載無(wú)無(wú)關(guān)通過這個(gè)式子子由單元桿端端位移局部座標(biāo)系的的單元?jiǎng)偠染鼐仃?3二、單元?jiǎng)偠榷染仃嚨男再|(zhì)質(zhì)（1）單元?jiǎng)倓偠认禂?shù)的意意義e—代表單元桿端端第j個(gè)位移分量等等于1時(shí)所引引起的第i個(gè)桿端力分量量。例如代表單元桿端端第2個(gè)位移分量時(shí)時(shí)所引起的第第5個(gè)桿端端力分分量的的數(shù)數(shù)值。。（2））單元元?jiǎng)偠榷染仃囮囀鞘菍?duì)對(duì)稱矩矩陣，，e即。（3））一般般單元元的剛剛度矩矩陣是是奇異異矩陣陣；e從數(shù)學(xué)上可以證明一般單元的剛度矩陣e的行列式e=0因此它它的逆逆矩陣陣不存存在從力學(xué)學(xué)上的的理解解是，，根據(jù)據(jù)單元元?jiǎng)偠榷确匠坛蘣eeeeee由有一組組力的的解答答(唯唯一的的)，，即正正問題題。由如果e不是一一組平平衡力力系則則無(wú)解解；若若是一一組平平衡力力系，，則解解答不不是唯唯一的的，即即反問問題。。14三、特特殊單單元若單元元六個(gè)個(gè)桿端端位移移中有有某一一個(gè)或或幾個(gè)個(gè)已知知為零零，則則該單單元稱稱為特特殊單單元，，其剛剛度方方程是是一般般單元元?jiǎng)偠榷确匠坛痰奶靥乩?。。e以連續(xù)續(xù)梁為為例：：12eeee1512eeeeeeeee為了程程序的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化和和通用用性，，不采采用特特殊單單元，，只用用一般般單元元，如如果結(jié)結(jié)構(gòu)有有特殊殊單元元，可可以通通過程程序由由一般般單元元來形形成。。16§11-3單單元元?jiǎng)偠榷染仃囮?整整體座座標(biāo)系系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee座標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換矩矩陣單元桿桿端力力的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換式式、單單剛的的轉(zhuǎn)換換式一、單單元座座標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換矩矩陣17正交矩矩陣[T]-1=[T]T或[T][T]T=[T]T[T]=[I]于是可以以有同理可以有有eeeeee??18（解決與[k]的關(guān)系）ee在局部座標(biāo)標(biāo)系中桿端端力與桿端端位移的關(guān)關(guān)系式表達(dá)達(dá)為：eee在整體座標(biāo)標(biāo)系中桿端端力與桿端端位移的關(guān)關(guān)系式可以以表達(dá)為：：(a)eee{F}=[k]{}(b)e{F}

=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]T

ke[T]e(e)[k]e的性質(zhì)與ek一樣。二、整體座座標(biāo)系中的的單元?jiǎng)偠榷染仃嚕╝）式可轉(zhuǎn)換為為：兩邊前乘[T]T比較式(b)和(d)可得：19例1.試試求圖示示剛架中各各單元在整整體座標(biāo)系系中的剛度度矩陣[k]。設(shè)和和桿桿的桿桿長(zhǎng)和截面面尺寸相同同。1l=5ml=5m2xyl=5m，bh=0.5m1m,A=0.5m2,I=m4,124解:(1)局局部座標(biāo)系系中的單元元?jiǎng)偠染仃囮?2)整體體座標(biāo)系中中的單元?jiǎng)倓偠染仃噀[k]ke單元1：：=0，[T]=[I]k1=1[k]單元2：：=90，單元元座座標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換矩陣為為12k=k201l=5ml=5m2xy單元2：=90，單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為[k]=[T]T

k[T]21§11-4連連續(xù)梁梁的整體剛剛度矩陣按傳統(tǒng)的位位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每個(gè)結(jié)點(diǎn)位位移對(duì){F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根據(jù)據(jù)每每個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)位位移移對(duì)對(duì)附附加加約約束束上上的的約約束束力力{F}的貢貢獻(xiàn)獻(xiàn)大大小小進(jìn)進(jìn)行行疊疊加加而而計(jì)計(jì)算算所所得得。。傳統(tǒng)統(tǒng)位位移移法法22一、、單單元元集集成成法法的的力力學(xué)學(xué)模模型型和和基基本本概概念念分別考慮每個(gè)個(gè)單元對(duì){F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)，，整體剛度矩矩陣由單元直直接集成i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令i2=0，則F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000單元1的的貢獻(xiàn)矩陣單元1對(duì)對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)略去其它單元元的貢獻(xiàn)。23i1i212123F12F22F32[k]=4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232[K]{}{F}=2設(shè)i1=0，，則F12=0[K]=24i12i14i12i100000單元的貢獻(xiàn)獻(xiàn)矩陣陣F3{F}2=[F12F222]T單元對(duì)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)獻(xiàn)略去單單元的貢獻(xiàn)獻(xiàn)。241[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i12i14i12i100000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整體剛剛度矩矩陣為為：?jiǎn)卧煞ǚㄇ笳w剛剛度矩矩陣步步驟：：根據(jù)單單元和單元元分別對(duì)對(duì)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)獻(xiàn)，可可得整整體剛剛度方方程：：25[k][K][K]ee12[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i226二、按按照單單元定定位向向量由由[k]求

e[K]e(1)在在整體體分析析中按按結(jié)構(gòu)構(gòu)的結(jié)結(jié)點(diǎn)位位移統(tǒng)統(tǒng)一編編碼，，稱為為總碼碼。(2)在單單元分分析中中按單單元兩兩端結(jié)結(jié)點(diǎn)位位移單單獨(dú)編編碼，，稱為為局部部碼。。以連續(xù)續(xù)梁為為例121231(1)(2)2(1)(2)位移統(tǒng)統(tǒng)一編編碼，，總碼單元12對(duì)應(yīng)關(guān)關(guān)系局部碼碼總碼碼單元定定位向向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=確定中的元素在中的位置。為此建立兩種編碼：[k]

e[K]e位移單單獨(dú)編編碼局部碼碼由單元元的結(jié)結(jié)點(diǎn)位移總總碼組組成的向量量27（3）單剛[k]

e[K]e和單元貢獻(xiàn)中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系單元單元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123單元定定位向向量描述了了單元元兩種種編碼碼（總總碼、、局部部碼））之間間的對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)關(guān)系。。單元定定位向向量定義了了整體體坐標(biāo)標(biāo)系下下的單單元?jiǎng)倓偠染鼐仃囍兄械脑卦谠谡w體剛度度矩陣陣中的的具體體位置置，故故也稱稱為““單元換換碼向向量”。單元貢貢獻(xiàn)矩矩陣是是單元元?jiǎng)偠榷染仃囮?，利利用““單元定定位向向量””進(jìn)行““換碼重重排位位”。28三、單單元元集成成法的的實(shí)施施（定位位累累加））[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）將將[K]置零，，得[K]=[0]；（2））將[k]的元素素在[K]中按{}定位并并進(jìn)行行累加加，得得[K]=[K]；（3））將[k]的元素素在[K]中按{}定位并并進(jìn)行行累加加，得得[K]=[K]+[K]；按此作作法對(duì)對(duì)所有有單元元循環(huán)環(huán)一遍遍，最最后即即得整整體剛