3x13x1定積分及其應(yīng)用習(xí)題課1．求極限：

limn

n

n!n

；2．

f(x為[]

上的非負(fù)單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，又

x()

是它的反函數(shù)，試用定積分的幾何意義證明：

a

(x)dx

f)

g(y)dy()

。0

f(0)3設(shè)

f(x)

為

[

上的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，

f(0)0

，

limf(x)

又

xg()x是它的反函數(shù)，試用定積分的幾何意義說(shuō)明：對(duì)任意的

0

，總有

f(x)

gy)

，并進(jìn)一步說(shuō)明等號(hào)成立的條件。

4．設(shè)

f(x)

在

[]

恒正，

f

，

f

，將下列積分值按大小順序排列：I

a)

f(bf()b

()]，I

)dx，I

f(a)dx

。．計(jì)算

sin2xdx

。6．計(jì)算

x|

。．設(shè)

(x)

x

y

dy

，求

1

(x

2

x)dx

。0

0．設(shè)

(x)

2

2

(x)

1

x)dx，(x)

。0

0．設(shè)

f(x)

及其反函數(shù)

()

都可微且有關(guān)系式

1

f(x)

1g(tdt(x2求()3

。10求多項(xiàng)式f()使它滿足方程

1

(xt)t

x

t

3

x

。0

0．設(shè)

fx)

lnt1dt，中0，()f()1x

。廣義積分中值定理：設(shè)

f(x

在

連續(xù)，

()

在

，則在

至少存在一，得

fx)g(x)dxf()

。

12證明下面極限：（）

lim

sinx

dx；（）

limn0

xnex

x

。/

coscos13．

f(x)

在

[B]

上連續(xù)，且

AaB

，求證：lim0a

f(x)f(h

dx(b)f(a)14證明恒等式：

sinx

tttd

4

x

2

)

。15.設(shè)

f(x

在

[

上連續(xù)，且單調(diào)增加，試證明對(duì)任何

ba0

，皆有

1(x)[2

f(x)

f(xdx]

。16設(shè)

f

在

f()0

，證明

a0

f)

Ma

2

，其中

maxf

。．設(shè)

f(x在

(

可導(dǎo)，且

12

f(x)dxf

，證明：在(

內(nèi)至少存在3一點(diǎn)使

)

。．設(shè)

f(x)在

f(1)2

xf()

，證明：在

(0,1)

內(nèi)至少存在一點(diǎn)使

f

f

。19設(shè)

f(x)

在

f

e

1

f()

，證明：在

(

內(nèi)至少存在一點(diǎn)使f

。20

f(x)

在

[

連續(xù)

(0,1)

可微滿足

f

f(x)

明

內(nèi)至少存在一點(diǎn)，

f

)

)(

)

。．設(shè)

f(x),g()在

()0

，試證：至少存在一點(diǎn)

a,)

，使得

f)x()dx

f/

bbbb22設(shè)函數(shù)f()在[a]上連,在a內(nèi)導(dǎo),且

f

，若

limx

f(2x)x

存在，證明）(,b內(nèi)(x)>0；在()內(nèi)存在點(diǎn)使

2f)x

2f

；a（3在ab內(nèi)在與

相異的點(diǎn)

使f)f()dxa

。23．

f(x在(

上連續(xù)，證明：

f(x

是周期為的函數(shù)的充分必要條件為：積分值

f(xy)

與

無(wú)關(guān)。24試確定常數(shù)

的值，使反常積分

0

x

c2x

收斂，并求出積分值。25.在間

[]

上求一點(diǎn)使線ln與xy及y所圖面積最小。26

f(x)在加明

(a,b

內(nèi)存在一點(diǎn)線f(x)

與兩直線

yxa

所圍圖形的面積S是曲線

y(x)

與兩直線

yfx所圍圖形的面積

S

的三倍。27．平面圖形

由

xy2

與

y

所確定，求圖形

繞直線

x

旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。28證明曲邊扇形

繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為2r(329徑為R,密為的沉入深為(H>2)的池底,水密度

0

現(xiàn)其從水池中取需多少功?30為清除井底污,用纜將抓斗放入井,抓污后提出井口，已知井深30，抓斗自重400N，繩每米重50N抓斗抓起的污泥重，升速度為3