第一章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型11/22/20221第一章11/21/20221第一章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

對(duì)任何一位設(shè)計(jì)者來(lái)說，總愿意作出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，使所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品或工程設(shè)施有最好的使用性能和最低的材料消耗與制造成本，以便獲得最佳的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。為此，自古以來(lái)，慎重的工程設(shè)計(jì)人員常常提供幾種候選設(shè)計(jì)方案，再?gòu)闹袚衿洹白顑?yōu)”者。

11/22/20222第一章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型對(duì)任何一位設(shè)計(jì)者來(lái)說，常規(guī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的區(qū)別

常規(guī)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)

由于設(shè)計(jì)時(shí)間和經(jīng)費(fèi)的限制，使所設(shè)計(jì)的候選方案的數(shù)目受到很大限制。因此用常規(guī)的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行工程設(shè)計(jì)，特別是當(dāng)影響設(shè)計(jì)的因素很多時(shí)，只能得到有限候選方案中的最好方案、不可能得到一切可能方案的“最優(yōu)設(shè)計(jì)方案”。11/22/20223常規(guī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的區(qū)別常規(guī)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)11/21/202常規(guī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的區(qū)別

優(yōu)化設(shè)計(jì)的特點(diǎn)

“最優(yōu)化設(shè)計(jì)”是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一項(xiàng)新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法綜合各方面的因素，以人機(jī)配合方式或“自動(dòng)探索”方式，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的半自動(dòng)或自動(dòng)設(shè)計(jì),可以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計(jì)方案的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。其設(shè)計(jì)原則是最優(yōu)設(shè)計(jì)；設(shè)計(jì)手段是電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算程序；設(shè)計(jì)方法是采用最優(yōu)化數(shù)學(xué)方法。實(shí)踐證明，最優(yōu)化設(shè)計(jì)是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低工程造價(jià)的一種有效設(shè)計(jì)方法。同時(shí)也可使設(shè)計(jì)者從大量繁瑣和重復(fù)的計(jì)算工作中解脫出來(lái)，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，并大大提高設(shè)計(jì)效率。11/22/20224常規(guī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的區(qū)別優(yōu)化設(shè)計(jì)的特點(diǎn)11/21/2022優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展50年代以前，用于解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)方法僅限于古典的微分法和變分法。50年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。此外，還有動(dòng)態(tài)規(guī)劃、幾何規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃等。在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)，是60年代初電子計(jì)算機(jī)引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計(jì)方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計(jì)周期大大縮短，計(jì)算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。大型電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。

11/22/20225優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展11/21/20225優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域近十幾年來(lái)，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。11/22/20226優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域11/21/20226最優(yōu)化設(shè)計(jì)工作包括以下兩部分內(nèi)容：

(1)將設(shè)計(jì)問題的物理模型轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型時(shí)要選取設(shè)計(jì)變量，列出目標(biāo)函數(shù)，給出約束條件。目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)問題所要求的最優(yōu)指標(biāo)與設(shè)計(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系式。(2)采用適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)化方法，求解數(shù)學(xué)模型?？蓺w結(jié)為在給定的條件(例如約束條件)下求目標(biāo)函數(shù)的極值或最優(yōu)值問題。11/22/20227最優(yōu)化設(shè)計(jì)工作包括以下兩部分內(nèi)容：11/21/20227機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)就是在給定的載荷或環(huán)境條件下，在對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的性態(tài)、幾何尺寸關(guān)系或其它因素的限制(約束)范圍內(nèi)，選取設(shè)計(jì)變量，建立目標(biāo)函數(shù)并使其獲得最優(yōu)值的一種新的設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件這三者在設(shè)計(jì)空間(以設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)軸組成的實(shí)空間)的幾何表示中構(gòu)成設(shè)計(jì)問題。11/22/20228機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)11/21/202281-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-1一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角各裁去一個(gè)小的方塊，做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子。試確定裁去的四個(gè)小方塊的邊長(zhǎng)，以使做成的盒子具有最大的容積。設(shè)裁去的四個(gè)小方塊的邊長(zhǎng)為;則盒子的容積可表示成的函數(shù)：上述問題可描述為：

求變量

使函數(shù)

極大化11/22/202291-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-1一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-2某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需的材料、工時(shí)、電力和可獲得的利潤(rùn)，以及能夠提供的材料、工時(shí)和電力見表1-1，試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天可能獲得的利潤(rùn)最大。產(chǎn)品材料/kg工時(shí)/h電力/（kW*h）利潤(rùn)/元甲93460乙4105120供應(yīng)量360300200

表1-1生產(chǎn)條件與供給數(shù)據(jù)11/22/2022101-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-2某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件

每天可獲得的利潤(rùn)可用函數(shù)表示

每天消耗的材料可用函數(shù)表示，

每天消耗的工時(shí)可用函數(shù)表示，

每天消耗的電力可用函數(shù)

表示，

1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例11/22/202211設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例111-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例上述生產(chǎn)計(jì)劃問題可歸結(jié)為：

求變量

使函數(shù)

滿足條件

這就是該問題的數(shù)學(xué)模型。最大化11/22/2022121-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例上述生產(chǎn)計(jì)劃問題可歸結(jié)為：最大化11/其中：

代表設(shè)計(jì)目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)

代表5個(gè)已知的生產(chǎn)指標(biāo)，稱為約束函數(shù)

5個(gè)不等式代表5個(gè)生產(chǎn)條件，稱為約束條件

1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例由于目標(biāo)函數(shù)和所有的約束函數(shù)均是設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，故此問題屬線性約束優(yōu)化問題，顯然這樣的問題無(wú)法直接使用極值條件求解。

11/22/202213其中：代表設(shè)計(jì)目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)1-11-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-3一種承受扭轉(zhuǎn)的空心傳動(dòng)軸，已知傳遞的扭矩為T，試確定此傳動(dòng)軸的內(nèi)、外徑，以使其用料最少?？招膫鲃?dòng)軸的截面積：扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件：扭轉(zhuǎn)剛度條件：

11/22/2022141-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-3一種承受扭轉(zhuǎn)的空心傳動(dòng)軸1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例分別用代表外徑和內(nèi)徑，則上述設(shè)計(jì)問題可以歸結(jié)為如下數(shù)學(xué)模型：求設(shè)計(jì)變量

使函數(shù)

極小化滿足條件

這是一個(gè)含有4個(gè)約束條件的二元非線性約束優(yōu)化問題，同樣無(wú)法直接用極值條件求解。11/22/2022151-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例分別用代表外徑和內(nèi)徑1-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間

在設(shè)計(jì)過程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立參數(shù)，稱為設(shè)計(jì)變量。在選擇過程中它們是變量，但這些變量一旦確定以后，則設(shè)計(jì)對(duì)象也就完全確定。最優(yōu)化設(shè)計(jì)是研究怎樣合理地優(yōu)選這些設(shè)計(jì)變量值的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。

在機(jī)械設(shè)計(jì)中常用的獨(dú)立參數(shù)有結(jié)構(gòu)的總體布置尺寸，元件的幾何尺寸和材料的力學(xué)和物理特性等等。在這些參數(shù)中，凡是可以根據(jù)設(shè)計(jì)要求事先給定的，則不是設(shè)計(jì)變量，而稱為設(shè)計(jì)常量。只有那些需要在設(shè)計(jì)過程中優(yōu)選的參數(shù)，才可看成是最優(yōu)化設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量。11/22/2022161-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在設(shè)計(jì)過程中進(jìn)行選擇并最1-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為最優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如有n(n＝1，2，…)個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問題。只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問題可用圖1-1(a)所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問題可用圖1-1(b)所表示的空間直角坐標(biāo)表示。11/22/2022171-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為最優(yōu)化設(shè)計(jì)的維1-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在一般情況下，若有n個(gè)設(shè)計(jì)變量，把第i個(gè)設(shè)計(jì)變量記為xi。則其全部設(shè)計(jì)變量可用n維向量的形式表示成：這種以n個(gè)獨(dú)立變量為坐標(biāo)軸組成的n維向量空間是一個(gè)n維實(shí)空間，用Rn表示，如果其中任意兩向量又有內(nèi)積運(yùn)算，則稱n維歐氏空間，用En表示。當(dāng)向量X中的各個(gè)分量xi，(i＝1，2，…，n)都是實(shí)變量時(shí)則稱X決定了n維歐氏空間En中的一個(gè)點(diǎn)，并用符號(hào)X∈En(X屬于En)表示。11/22/2022181-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在一般情況下，若有n個(gè)設(shè)計(jì)變1-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中由各設(shè)計(jì)變量的坐標(biāo)軸所描述的這種空間就是所謂“設(shè)計(jì)空間”，它是一個(gè)重要概念。11/22/2022191-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中由各設(shè)計(jì)變量的坐標(biāo)1-3目標(biāo)函數(shù)在設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者總是希望所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品或工程設(shè)施具有最好的使用性能(性能指標(biāo))、最小的質(zhì)量或最緊湊的體積(結(jié)構(gòu)指標(biāo))和最小的制造成本及最大的經(jīng)濟(jì)效益(經(jīng)濟(jì)指標(biāo))。在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可將所追求的設(shè)計(jì)目標(biāo)(最優(yōu)指標(biāo))用設(shè)計(jì)變量的函數(shù)形式表達(dá)出來(lái)，這一過程稱為建立目標(biāo)函數(shù)。即目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)中預(yù)期要達(dá)到的目標(biāo)，表達(dá)為各設(shè)計(jì)變量的函數(shù)表達(dá)式：目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的標(biāo)量函數(shù)。最優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程就是優(yōu)選設(shè)計(jì)變量使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值，或找出目標(biāo)函數(shù)的最小值(或最大值)的過程。11/22/2022201-3目標(biāo)函數(shù)在設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者總是希望所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品或工程1-3目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)，如式(1—3)所示。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。

11/22/2022211-3目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，1-3目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，可用曲線或曲面表示

圖1—4表示目標(biāo)函數(shù)f(X)與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量x1和x2所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線(亦稱等高線)，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。11/22/2022221-3目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，可用曲線或曲1-4約束條件在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)設(shè)計(jì)變量取值時(shí)的限制條件，稱為約束條件或設(shè)計(jì)約束，簡(jiǎn)稱約束。約束的形式，可能是對(duì)某個(gè)或某組設(shè)計(jì)變量的直接限制(例如，若應(yīng)力為設(shè)計(jì)變量，則應(yīng)力值應(yīng)不大于其許用值，構(gòu)成直接限制)，這時(shí)稱為顯約束；也可能是對(duì)某個(gè)或某組設(shè)計(jì)變量的間接限制(例如，若結(jié)構(gòu)應(yīng)力又是某些設(shè)計(jì)變量如力和截面積的函數(shù)時(shí)，則這些設(shè)計(jì)變量間接地受到許用應(yīng)力的限制)，這時(shí)稱為隱約束。

約束條件可以用數(shù)學(xué)等式或不等式來(lái)表示。

邊界約束和性能約束

11/22/2022231-4約束條件在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)設(shè)計(jì)變量取值時(shí)的限制條件1-4約束條件等式約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的約束嚴(yán)格，起著降低設(shè)計(jì)自由度的作用，其形式為在機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中不等式約束更為普遍，不等式約束的形式為

11/22/2022241-4約束條件等式約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的約束嚴(yán)格，起著降低設(shè)計(jì)1-4約束條件對(duì)于等式約束來(lái)說，設(shè)計(jì)變量x所代表的設(shè)計(jì)點(diǎn)必須在式(1-9)所表示的面(或線)上．這種約束又稱為起作用約束或緊約束。對(duì)于不等式約束來(lái)說，其極限情況gu(x)＝o所表示的幾何面(線)將設(shè)計(jì)空間分為兩部分：一部分中的所有點(diǎn)均滿足約束條件式(1-10)或式(1-11)，這一部分的空間稱為設(shè)計(jì)點(diǎn)的可行域，并以D表示，可行域中的點(diǎn)是設(shè)計(jì)變量可以選取的，稱為可行設(shè)計(jì)點(diǎn)或簡(jiǎn)稱可行點(diǎn)，如果最優(yōu)點(diǎn)在可行域之內(nèi)．則其所有的約束條件都不是起作用約束。另一部分中的所有點(diǎn)均不滿足約束條件式(1-10)或式(1-11)．在這個(gè)區(qū)域如果選取設(shè)計(jì)點(diǎn)則違背了約束條件，它就是設(shè)計(jì)的非可行域．該域中的點(diǎn)稱為非可行點(diǎn)。如果設(shè)計(jì)點(diǎn)落到某個(gè)約束邊界面(或邊界線)上，則稱邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)是允許的極限設(shè)計(jì)方案。11/22/2022251-4約束條件對(duì)于等式約束來(lái)說，設(shè)計(jì)變量x所代表的設(shè)計(jì)點(diǎn)1-4約束條件11/22/2022261-4約束條件11/21/2022261-5優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的一般形式最優(yōu)化問題也稱為數(shù)學(xué)規(guī)劃問題:線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃11/22/2022271-5優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的一般形式最優(yōu)化問題也稱為數(shù)學(xué)規(guī)劃對(duì)簡(jiǎn)單的二維優(yōu)化問題，可以在設(shè)計(jì)平面內(nèi)直觀地作出約束可行域，畫出目標(biāo)函數(shù)的一簇等值線，以此確定最優(yōu)點(diǎn)的位置，這種方法稱為圖解法。1-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法例題用圖解法求解min

s.t.

最優(yōu)點(diǎn)必定位于可行域內(nèi)目標(biāo)函數(shù)在下降方向的等值線與可行域邊界的最后一個(gè)交點(diǎn)。11/22/202228對(duì)簡(jiǎn)單的二維優(yōu)化問題，可以在設(shè)計(jì)平面內(nèi)直觀地作出約束1-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法ezplot('-x+y-2')ezplot('x^2-y+1')ezcontour('x^2+y^2-4*x+4')ezplot('x^2+y^2-4*x+4-3.5')MATLAB繪圖命令：試探逼近：11/22/2022291-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法ezplot('-x+y-2')e1-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法幾何意義：無(wú)約束優(yōu)化問題等值面（線）的公共中心為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。約束優(yōu)化問題最優(yōu)點(diǎn)可能在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。11/22/2022301-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法幾何意義：約束優(yōu)化問題11/21/1-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法11/22/2022311-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法11/21/2022311-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法補(bǔ)充例題用圖解法求解min

11/22/2022321-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法補(bǔ)充例題用圖解法求解11/21k1=8.8;k2=1.1;L1=11;L2=11;F1=4.5;F2=4.5;[x1,x2]=meshgrid(linspace(-5,15,15),linspace(-5,15,15));PE1=0.5*k1*(sqrt(x1.^2+(L1-x2).^2)-L1).^2;PE2=0.5*k2*(sqrt(x1.^2+(L2+x2).^2)-L2).^2;PE=PE1+PE2-F1*x1-F2*x2;subplot(1,2,1);h=contour(x1,x2,PE,[-40:20:2070:70:490],'k');clabel(h);axis([-515-515])subplot(1,2,2);surfc(x1,x2,PE);axis([-1015-1015-100500])1-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法11/22/202233k1=8.8;k2=1.1;L1=11;L2=11;F1=41-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法11/22/2022341-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解法11/21/202234第一章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型11/22/202235第一章11/21/20221第一章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

對(duì)任何一位設(shè)計(jì)者來(lái)說，總愿意作出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，使所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品或工程設(shè)施有最好的使用性能和最低的材料消耗與制造成本，以便獲得最佳的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。為此，自古以來(lái)，慎重的工程設(shè)計(jì)人員常常提供幾種候選設(shè)計(jì)方案，再?gòu)闹袚衿洹白顑?yōu)”者。

11/22/202236第一章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型對(duì)任何一位設(shè)計(jì)者來(lái)說，常規(guī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的區(qū)別

常規(guī)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)

由于設(shè)計(jì)時(shí)間和經(jīng)費(fèi)的限制，使所設(shè)計(jì)的候選方案的數(shù)目受到很大限制。因此用常規(guī)的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行工程設(shè)計(jì)，特別是當(dāng)影響設(shè)計(jì)的因素很多時(shí)，只能得到有限候選方案中的最好方案、不可能得到一切可能方案的“最優(yōu)設(shè)計(jì)方案”。11/22/202237常規(guī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的區(qū)別常規(guī)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)11/21/202常規(guī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的區(qū)別

優(yōu)化設(shè)計(jì)的特點(diǎn)

“最優(yōu)化設(shè)計(jì)”是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一項(xiàng)新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法綜合各方面的因素，以人機(jī)配合方式或“自動(dòng)探索”方式，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的半自動(dòng)或自動(dòng)設(shè)計(jì),可以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計(jì)方案的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。其設(shè)計(jì)原則是最優(yōu)設(shè)計(jì)；設(shè)計(jì)手段是電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算程序；設(shè)計(jì)方法是采用最優(yōu)化數(shù)學(xué)方法。實(shí)踐證明，最優(yōu)化設(shè)計(jì)是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低工程造價(jià)的一種有效設(shè)計(jì)方法。同時(shí)也可使設(shè)計(jì)者從大量繁瑣和重復(fù)的計(jì)算工作中解脫出來(lái)，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，并大大提高設(shè)計(jì)效率。11/22/202238常規(guī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的區(qū)別優(yōu)化設(shè)計(jì)的特點(diǎn)11/21/2022優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展50年代以前，用于解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)方法僅限于古典的微分法和變分法。50年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。此外，還有動(dòng)態(tài)規(guī)劃、幾何規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃等。在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)，是60年代初電子計(jì)算機(jī)引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計(jì)方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計(jì)周期大大縮短，計(jì)算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。大型電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。

11/22/202239優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展11/21/20225優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域近十幾年來(lái)，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。11/22/202240優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域11/21/20226最優(yōu)化設(shè)計(jì)工作包括以下兩部分內(nèi)容：

(1)將設(shè)計(jì)問題的物理模型轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型時(shí)要選取設(shè)計(jì)變量，列出目標(biāo)函數(shù)，給出約束條件。目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)問題所要求的最優(yōu)指標(biāo)與設(shè)計(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系式。(2)采用適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)化方法，求解數(shù)學(xué)模型?？蓺w結(jié)為在給定的條件(例如約束條件)下求目標(biāo)函數(shù)的極值或最優(yōu)值問題。11/22/202241最優(yōu)化設(shè)計(jì)工作包括以下兩部分內(nèi)容：11/21/20227機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)就是在給定的載荷或環(huán)境條件下，在對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的性態(tài)、幾何尺寸關(guān)系或其它因素的限制(約束)范圍內(nèi)，選取設(shè)計(jì)變量，建立目標(biāo)函數(shù)并使其獲得最優(yōu)值的一種新的設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件這三者在設(shè)計(jì)空間(以設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)軸組成的實(shí)空間)的幾何表示中構(gòu)成設(shè)計(jì)問題。11/22/202242機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)11/21/202281-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-1一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角各裁去一個(gè)小的方塊，做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子。試確定裁去的四個(gè)小方塊的邊長(zhǎng)，以使做成的盒子具有最大的容積。設(shè)裁去的四個(gè)小方塊的邊長(zhǎng)為;則盒子的容積可表示成的函數(shù)：上述問題可描述為：

求變量

使函數(shù)

極大化11/22/2022431-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-1一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-2某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需的材料、工時(shí)、電力和可獲得的利潤(rùn)，以及能夠提供的材料、工時(shí)和電力見表1-1，試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天可能獲得的利潤(rùn)最大。產(chǎn)品材料/kg工時(shí)/h電力/（kW*h）利潤(rùn)/元甲93460乙4105120供應(yīng)量360300200

表1-1生產(chǎn)條件與供給數(shù)據(jù)11/22/2022441-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-2某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件

每天可獲得的利潤(rùn)可用函數(shù)表示

每天消耗的材料可用函數(shù)表示，

每天消耗的工時(shí)可用函數(shù)表示，

每天消耗的電力可用函數(shù)

表示，

1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例11/22/202245設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例111-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例上述生產(chǎn)計(jì)劃問題可歸結(jié)為：

求變量

使函數(shù)

滿足條件

這就是該問題的數(shù)學(xué)模型。最大化11/22/2022461-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例上述生產(chǎn)計(jì)劃問題可歸結(jié)為：最大化11/其中：

代表設(shè)計(jì)目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)

代表5個(gè)已知的生產(chǎn)指標(biāo)，稱為約束函數(shù)

5個(gè)不等式代表5個(gè)生產(chǎn)條件，稱為約束條件

1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例由于目標(biāo)函數(shù)和所有的約束函數(shù)均是設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，故此問題屬線性約束優(yōu)化問題，顯然這樣的問題無(wú)法直接使用極值條件求解。

11/22/202247其中：代表設(shè)計(jì)目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)1-11-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-3一種承受扭轉(zhuǎn)的空心傳動(dòng)軸，已知傳遞的扭矩為T，試確定此傳動(dòng)軸的內(nèi)、外徑，以使其用料最少?？招膫鲃?dòng)軸的截面積：扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件：扭轉(zhuǎn)剛度條件：

11/22/2022481-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例例1-3一種承受扭轉(zhuǎn)的空心傳動(dòng)軸1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例分別用代表外徑和內(nèi)徑，則上述設(shè)計(jì)問題可以歸結(jié)為如下數(shù)學(xué)模型：求設(shè)計(jì)變量

使函數(shù)

極小化滿足條件

這是一個(gè)含有4個(gè)約束條件的二元非線性約束優(yōu)化問題，同樣無(wú)法直接用極值條件求解。11/22/2022491-1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例分別用代表外徑和內(nèi)徑1-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間

在設(shè)計(jì)過程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立參數(shù)，稱為設(shè)計(jì)變量。在選擇過程中它們是變量，但這些變量一旦確定以后，則設(shè)計(jì)對(duì)象也就完全確定。最優(yōu)化設(shè)計(jì)是研究怎樣合理地優(yōu)選這些設(shè)計(jì)變量值的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。

在機(jī)械設(shè)計(jì)中常用的獨(dú)立參數(shù)有結(jié)構(gòu)的總體布置尺寸，元件的幾何尺寸和材料的力學(xué)和物理特性等等。在這些參數(shù)中，凡是可以根據(jù)設(shè)計(jì)要求事先給定的，則不是設(shè)計(jì)變量，而稱為設(shè)計(jì)常量。只有那些需要在設(shè)計(jì)過程中優(yōu)選的參數(shù)，才可看成是最優(yōu)化設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量。11/22/2022501-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在設(shè)計(jì)過程中進(jìn)行選擇并最1-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為最優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如有n(n＝1，2，…)個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問題。只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問題可用圖1-1(a)所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問題可用圖1-1(b)所表示的空間直角坐標(biāo)表示。11/22/2022511-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為最優(yōu)化設(shè)計(jì)的維1-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在一般情況下，若有n個(gè)設(shè)計(jì)變量，把第i個(gè)設(shè)計(jì)變量記為xi。則其全部設(shè)計(jì)變量可用n維向量的形式表示成：這種以n個(gè)獨(dú)立變量為坐標(biāo)軸組成的n維向量空間是一個(gè)n維實(shí)空間，用Rn表示，如果其中任意兩向量又有內(nèi)積運(yùn)算，則稱n維歐氏空間，用En表示。當(dāng)向量X中的各個(gè)分量xi，(i＝1，2，…，n)都是實(shí)變量時(shí)則稱X決定了n維歐氏空間En中的一個(gè)點(diǎn)，并用符號(hào)X∈En(X屬于En)表示。11/22/2022521-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在一般情況下，若有n個(gè)設(shè)計(jì)變1-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中由各設(shè)計(jì)變量的坐標(biāo)軸所描述的這種空間就是所謂“設(shè)計(jì)空間”，它是一個(gè)重要概念。11/22/2022531-2設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中由各設(shè)計(jì)變量的坐標(biāo)1-3目標(biāo)函數(shù)在設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者總是希望所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品或工程設(shè)施具有最好的使用性能(性能指標(biāo))、最小的質(zhì)量或最緊湊的體積(結(jié)構(gòu)指標(biāo))和最小的制造成本及最大的經(jīng)濟(jì)效益(經(jīng)濟(jì)指標(biāo))。在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可將所追求的設(shè)計(jì)目標(biāo)(最優(yōu)指標(biāo))用設(shè)計(jì)變量的函數(shù)形式表達(dá)出來(lái)，這一過程稱為建立目標(biāo)函數(shù)。即目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)中預(yù)期要達(dá)到的目標(biāo)，表達(dá)為各設(shè)計(jì)變量的函數(shù)表達(dá)式：目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的標(biāo)量函數(shù)。最優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程就是優(yōu)選設(shè)計(jì)變量使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值，或找出目標(biāo)函數(shù)的最小值(或最大值)的過程。11/22/2022541-3目標(biāo)函數(shù)在設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者總是希望所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品或工程1-3目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)，如式(1—3)所示。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。

11/22/2022551-3目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，1-3目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，可用曲線或曲面表示

圖1—4表示目標(biāo)函數(shù)f(X)與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量x1和x2所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線(亦稱等高線)，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。11/22/2022561-3目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，可用曲線或曲1-4約束條件在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)設(shè)計(jì)變量取值時(shí)的限制條件，稱為約束條件或設(shè)計(jì)約束，簡(jiǎn)稱約束。約束的形式，可能是對(duì)某個(gè)或某組設(shè)計(jì)變量的直接限制(例如，若應(yīng)力為設(shè)計(jì)變量，則應(yīng)力值應(yīng)不大于其許用值，構(gòu)成直接限制)，這時(shí)稱為顯約束；也可能是對(duì)某個(gè)或某組設(shè)計(jì)變量的間接限制(例如，若結(jié)構(gòu)應(yīng)力又是某些設(shè)計(jì)變量如力和截面積的函數(shù)時(shí)，則這些設(shè)計(jì)變量間接地受到許用應(yīng)力的限制)，這時(shí)稱為隱約束。

約束條件可以用數(shù)學(xué)等式或不等式來(lái)表示。

邊界約束和性能約束

11/22/2022571-4約束條件在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)設(shè)計(jì)變量取值時(shí)的限制條件1-4約束條件等式約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的約束嚴(yán)格，起著降低設(shè)計(jì)自由度的作用，其形式為在機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中不等式約束更為普遍，不等式約束的形式為

11/22/2022581-4約束條件等式約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的約束嚴(yán)格，起著降低設(shè)計(jì)1-4約束條件對(duì)于等式約束來(lái)說，設(shè)計(jì)變量x所代表的設(shè)計(jì)點(diǎn)必須在式(1-9)所表示的面(或線)上．這種約束又稱為起作用約束或緊約束。對(duì)于不等式約束來(lái)說，其極限情況gu(x)＝o所表示的幾何面(線)將設(shè)計(jì)空間分為兩部分：一部分中的所有點(diǎn)均滿足約束條件式(1-10)或式(1-11)，這一部分的空間稱為設(shè)計(jì)點(diǎn)的可行域，并以D表示，可行域中的點(diǎn)是設(shè)計(jì)變量可以選取的，稱為可行設(shè)計(jì)點(diǎn)或簡(jiǎn)稱可行點(diǎn)，如果最優(yōu)點(diǎn)在可行域之內(nèi)．則其所有的約束條件都不是起作用約束。另一部分中的所有點(diǎn)均不滿足約束條件式(1-10)或式(1-11)．在這個(gè)區(qū)域如果選取設(shè)計(jì)點(diǎn)則違背了約束條件，它就是設(shè)計(jì)的非