線性方程組求解(qiújiě)第一頁，共31頁。向量(xiàngliàng)的線性運算與向量(xiàngliàng)組的線性相關性第二頁，共31頁?！裣蛄?xiàngliàng)與線性方程組引例一個方程(fāngchéng)對應一組數矩陣的一行(yīxíng)對應一組數線性方程組可對應一組數組；矩陣也可對應一組數組?！裣蛄康亩x由n個數組成的有序數組稱為一個n維行向量，記作，其中稱為向量的第i個分量（或坐標）。如果將有序數組寫成一列的形式，則稱向量為列向量。實際上，行向量即為一個行矩陣，列向量即為一個列矩陣。第三頁，共31頁?！駧讉€(jǐɡè)概念1、同維向量：分量(fènliàng)個數相等的向量稱為同維向量。2、相等向量：如果向量與是同維向量，而且對應的分量相等，則稱向量與相等。3、零向量(xiàngliàng)：分量都是0的向量(xiàngliàng)稱為零向量(xiàngliàng)，記作O。4、負向量：稱向量為向量的負向量，記作。5、向量組：如果n個向量是同維向量，則稱為向量組第四頁，共31頁?！裣蛄?xiàngliàng)的線性運算1、向量(xiàngliàng)的加減法，稱向量設，則稱向量為向量與向量的和向量，記作為向量與向量的差向量，記作。2、數乘向量(xiàngliàng)向量的加、減、數乘運算稱為向量的線性運算。設向量則稱向量為數與向量的數稱向量，記作第五頁，共31頁?！裣蛄?xiàngliàng)線性運算的運算律交換律結合律分配律第六頁，共31頁?！窭?解

練習：已知，求解

第七頁，共31頁?！裣蛄?xiàngliàng)的線性關系解設則所以(suǒyǐ)線性組合的概念：設有同維向量，如果存在一組數，使得成立，則稱向量可由向量組線性表示，或稱向量是向量組的線性組合。例2設判斷向量能否由向量組線性表示？如果可以，求出表達式。小結：可由向量組線性表示線性方程組有解第八頁，共31頁?！窬€性相關、線性無關(wúguān)的概念●顯然：含有(hányǒu)零向量的向量組是線性相關的。因為(yīnwèi)設有向量組，如果存在一組不全為零的數，使得成立，則稱向量組線性相關，否則，稱向量組線性無關。即當且僅當

全為零時，才成立，則稱向量組

線性無關。第九頁，共31頁。證明(zhèngmíng)例3證明下列向量組線性無關。設則所以所以向量組線性無關。稱向量組為n維向量空間的單位坐標向量組。任何一個n維向量都可由向量組線性表示，第十頁，共31頁。例4討論向量組的線性相關性解設則利用(lìyòng)矩陣的初等變換，可求得注：有無窮(wúqióng)多組解可見，向量組線性相關齊次線性方程組有非零解第十一頁，共31頁。練習判斷向量組的線性相關性解設則有因為是方程組的一組非零解所以線性相關第十二頁，共31頁。證明(zhèngmíng)例5已知向量組線性無關，證明：向量組線性無關。設則因為線性無關所以有解得所以向量組線性無關。第十三頁，共31頁。例6設線性無關，又，試證明線性相關證明設則有因為線性無關所以有由于所以不全為零所以線性相關事實上，可取第十四頁，共31頁。證明因為向量組線性相關所以存在一組不全為零的數，使得則否則，若則由線性無關，可推得于是向量組線性無關這與已知矛盾，所以定理若向量組線性無關，而向量組線性相關，則向量可由向量組線性表示，而且表示方法惟一。第十五頁，共31頁。于是假設另有表達式則可得由于線性無關，所以且表示方法唯一所以可由向量組線性表示，所以可由向量組線性表示。第十六頁，共31頁。定理向量組線性相關的充分必要條件是該向量組中至少有一個向量可由其余的向量組線性表示。證明因為向量組線性相關所以存在不全為零的數使得不妨設于是(yúshì)有反過來，若有可由線性表示則有所以線性相關第十七頁，共31頁。例7設試問為何值時，可由線性表示，且表示方法唯一？解設則有（*）因為可由線性表示，且表示方法唯一所以(suǒyǐ)，方程組（*）只有唯一的一組解所以有解得第十八頁，共31頁。小結(xiǎojié)：齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組只有零解線性相關向量組（1）向量組線性無關（2）(3)向量可由向量組線性表示線性方程組有解第十九頁，共31頁。●向量(xiàngliàng)組的線性相關性的幾個性質定理1、單個非零向量(xiàngliàng)是線性無關的。2、兩個向量線性相關的充分(chōngfèn)必要條件是對應分量成比例。3、增加向量，不改變向量組的線性相關；減少向量，不改變向量組的線性無關。即部分相關，則整體相關；整體無關，則部分無關。4、增加分量，不改變向量組的線性無關；減少分量，不改變向量組的線性相關。即低維無關，則高維無關；高維相關，則低維相關。5、n+1個n維的向量構成的向量組是線性相關的。第二十頁，共31頁?！裣蛄拷M的極大(jídà)無關組如果向量組的部分組滿足（1）線性無關；（2）任意增加一個向量（如果存在的話），向量組線性相關。則稱向量組為向量組的一個極大線性無關組，簡稱為極大無關組。例如：向量組線性相關，線性無關。向量組是向量組的一個極大無關組。向量組也是向量組的一個極大無關組。可見，一個向量組的極大無關組不是(bùshi)惟一的。第二十一頁，共31頁。●向量(xiàngliàng)組的秩向量組的極大無關組中所含向量的個數，稱為向量組的秩。記作例如：向量組的秩為2。如果向量組的秩小于向量組所含向量的個數，即，則向量組線性相關。矩陣(jǔzhèn)A的秩=矩陣(jǔzhèn)A的行向量組的秩=矩陣(jǔzhèn)A的列向量組的秩可利用(lìyòng)矩陣的初等變換求向量組的秩及極大無關組。如果向量組的秩等于向量組所含向量的個數，即，則向量組線性無關。第二十二頁，共31頁?！裣蛄?xiàngliàng)組的等價關系如果向量組A：中的每一個向量可由向量組B：線性表示，同時，向量組B中的每一個向量可由向量組A線性表示，則稱向量組A與向量組B等價。定理(dìnglǐ)：等價向量組的秩相等。一個向量組和它的任意(rènyì)一個極大無關組是等價的。等價向量組的性質（1）反身性：向量組A與自身等價；（2）對稱性：如果向量組A與B等價，則向量組B與A等價；（3）傳遞性：如果A與B等價，B與C等價，則A與C等價。第二十三頁，共31頁。例1判別(pànbié)下列向量組的線性相關性解令因為所以線性相關。第二十四頁，共31頁。例2判別(pànbié)下列向量組的線性相關性解：令因為所以線性無關。第二十五頁，共31頁。例3求向量組的秩及一個極大無關組，并用該極大無關組表示(biǎoshì)余下的向量。解構成(gòuchéng)矩陣，令第二十六頁，共31頁。于是，是它的一個極大無關組。且第二十七頁，共31頁。例4求下列向量組的一個極大(jídà)無關組解法(jiěfǎ)1：作矩陣記作第二十八頁，共31頁。重要(zhòngyào)結論——定理(dìnglǐ)：等價向量組的秩相等。有解，使得成立，則稱為數與向量的數稱向量，記作，則向量組線性相關。注：有無窮(wúqióng)多組解是該向量組中至少有一個向量可由其余的向量組線性線性方程組有解例4求下列向量組的一個極大(jídà)無關組向量(xiàngliàng)的線性運算與向量(xiàngliàng)組的線性相關性為數與向量的數稱向量，記作矩陣(jǔzhèn)A的秩=矩陣(jǔzhèn)A的行向量組的秩=矩陣(jǔz