問題情境:情境1:前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的加法、減法和數(shù)乘三種運(yùn)算時(shí)，是以物理中的位移為模型，再抽象概括出來的。情境2:一個(gè)物體在力F的作用下發(fā)生了位移s，那么該力對此物體所做的功為多少？Fs┓問題：除了以上幾種運(yùn)算外，有沒有其它運(yùn)算呢？如向量與向量能否“相乘”呢？能否從物理中找到模型呢？2022/11/231問題情境:情境1:前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的加法、減法和數(shù)乘三位移SOA

一個(gè)物體在力

的作用下產(chǎn)生位移,

那么力

所做的功W=θ表示力的方向與位移的方向的夾角。θFFθS2022/11/232位移SOA一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)我們將功的運(yùn)算類比到兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，得到向量“數(shù)量積”的概念。這就是本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的平面向量的數(shù)量積2022/11/233我們將功的運(yùn)算類比到兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，得到向量“數(shù)2.4.1平面向量的數(shù)量積高一數(shù)學(xué)組王海軍2022/11/2342.4.1平面向量的數(shù)量積高一數(shù)學(xué)組王海軍2022/平面向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量

和

，它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做

與

的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0．注意：1、“·”不能省略不寫，也不能寫成“×”2022/11/235平面向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量和，它問題1、向量的夾角是如何定義的？

指出下列圖中兩向量的夾角AOABBBB.AAOOO.(2)(4)(3)(1)(1)中

的夾角為（2）中

的夾角為（3）中

的夾角為（4）中

的夾角為（當(dāng)時(shí)，

＿＿；當(dāng)時(shí)，

＿＿；當(dāng)時(shí)，

＿＿，記作）同向反向垂直小結(jié)：向量的夾角應(yīng)當(dāng)讓向量平移到同一起點(diǎn)時(shí)去觀察2022/11/236問題1、向量的夾角是如何定義的？指出下列圖中兩向量的夾角如圖,等邊三角形ABC中,求：（1）AB與AC的夾角＿＿＿＿；（2）AB與BC的夾角________．ABC通過平移變成共起點(diǎn)！練習(xí)D2022/11/237如圖,等邊三角形ABC中,求：ABC通過平移練習(xí)D2022問題2：在平面向量的數(shù)量積定義中，它與兩個(gè)向量的加減法有什么本質(zhì)區(qū)別？與數(shù)乘呢？怎么理解？向量的加減的結(jié)果還是向量，但向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)數(shù)量（實(shí)數(shù)）。數(shù)乘的結(jié)果仍然是向量。問題3：平面向量的數(shù)量積可以比較大小嗎？

數(shù)量可以比較大小2022/11/238問題2：在平面向量的數(shù)量積定義中，它與兩個(gè)向量的加減法有什么向量數(shù)量積的性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)兩向量共線時(shí)等號成立2022/11/239向量數(shù)量積的性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)兩向量共線時(shí)等號成立2022/11/進(jìn)行向量數(shù)量積計(jì)算時(shí),既要考慮向量的模,又要根據(jù)兩個(gè)向量方向確定其夾角。例1、2022/11/2310進(jìn)行向量數(shù)量積例1、2022/11/2210方法：(1)求平面向量數(shù)量積的步驟是：①求a與b的夾角θ，θ∈[0°,180°]；②分別求|a|和|b|；③求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ.溫馨提示：a∥b時(shí)，易漏掉θ＝0°和θ＝180°中的一種情況.2022/11/2311方法：(1)求平面向量數(shù)量積的步驟是：2022/11/221小結(jié)：知三求一，注意公式變形2022/11/2312小結(jié)：知三求一，注意公式變形2022/11/2212平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:(1)交換律：(2)數(shù)乘結(jié)合律：(3)分配律：2022/11/2313平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:(1)交換律：(2)數(shù)乘結(jié)合律：(3例2.已知求2022/11/2314例2.已知解：由題意可知2022/11/2315解：由題意可知2022/11/2215練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．【解析】(1)因?yàn)閨2a－b|2＝4a2－4a·b＋b22022/11/2316練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.練習(xí)．已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2=2022/11/2317練習(xí)．已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(3)因?yàn)閨a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2設(shè)a與a＋b的夾角為θ，2022/11/2318練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．2022/11/2319練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(4)因?yàn)?a－b)⊥(λa＋b)，所以(a－b)·(λa＋b)＝0，即λa2＋(1－λ)a·b－b2＝0，也就是16λ－4(1－λ)－4＝0，2022/11/2320練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.小結(jié)1．兩個(gè)非零向量夾角的概念2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義3．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)2022/11/2321小結(jié)1．兩個(gè)非零向量夾角的概念2．平面向量數(shù)量積B1OABbaA1OABba叫做向量在方向上(向量在方向上)的投影.2022/11/2322B1OABbaA1OABba向量在方向上的投影是數(shù)量,不是向量,什么時(shí)候?yàn)檎裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？探究：OABabOABabBOAabOABbaOABba2022/11/2323向量在方向上的投平面向量數(shù)量積的幾何意義:2022/11/2324平面向量數(shù)量積的幾何意義:2022/11/2224(B1)┐B1┐B1如圖，作出││cosθ，并說出它的幾何意義；│

│cosθ的幾何意義有是什么？OBBABAOOAθθ┓θ(1)(2)（3）平面向量數(shù)量積幾何意義當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值;

當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)為直角時(shí)投影為0;││cosθ叫做向量在向量方向上的投影，││cosθ叫做向量在向量方向上的投影.2022/11/2325(B1)┐B1┐B1如圖，作出││cosθ，并說出它的幾何問題情境:情境1:前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的加法、減法和數(shù)乘三種運(yùn)算時(shí)，是以物理中的位移為模型，再抽象概括出來的。情境2:一個(gè)物體在力F的作用下發(fā)生了位移s，那么該力對此物體所做的功為多少？Fs┓問題：除了以上幾種運(yùn)算外，有沒有其它運(yùn)算呢？如向量與向量能否“相乘”呢？能否從物理中找到模型呢？2022/11/2326問題情境:情境1:前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的加法、減法和數(shù)乘三位移SOA

一個(gè)物體在力

的作用下產(chǎn)生位移,

那么力

所做的功W=θ表示力的方向與位移的方向的夾角。θFFθS2022/11/2327位移SOA一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)我們將功的運(yùn)算類比到兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，得到向量“數(shù)量積”的概念。這就是本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的平面向量的數(shù)量積2022/11/2328我們將功的運(yùn)算類比到兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，得到向量“數(shù)2.4.1平面向量的數(shù)量積高一數(shù)學(xué)組王海軍2022/11/23292.4.1平面向量的數(shù)量積高一數(shù)學(xué)組王海軍2022/平面向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量

和

，它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做

與

的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0．注意：1、“·”不能省略不寫，也不能寫成“×”2022/11/2330平面向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量和，它問題1、向量的夾角是如何定義的？

指出下列圖中兩向量的夾角AOABBBB.AAOOO.(2)(4)(3)(1)(1)中

的夾角為（2）中

的夾角為（3）中

的夾角為（4）中

的夾角為（當(dāng)時(shí)，

＿＿；當(dāng)時(shí)，

＿＿；當(dāng)時(shí)，

＿＿，記作）同向反向垂直小結(jié)：向量的夾角應(yīng)當(dāng)讓向量平移到同一起點(diǎn)時(shí)去觀察2022/11/2331問題1、向量的夾角是如何定義的？指出下列圖中兩向量的夾角如圖,等邊三角形ABC中,求：（1）AB與AC的夾角＿＿＿＿；（2）AB與BC的夾角________．ABC通過平移變成共起點(diǎn)！練習(xí)D2022/11/2332如圖,等邊三角形ABC中,求：ABC通過平移練習(xí)D2022問題2：在平面向量的數(shù)量積定義中，它與兩個(gè)向量的加減法有什么本質(zhì)區(qū)別？與數(shù)乘呢？怎么理解？向量的加減的結(jié)果還是向量，但向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)數(shù)量（實(shí)數(shù)）。數(shù)乘的結(jié)果仍然是向量。問題3：平面向量的數(shù)量積可以比較大小嗎？

數(shù)量可以比較大小2022/11/2333問題2：在平面向量的數(shù)量積定義中，它與兩個(gè)向量的加減法有什么向量數(shù)量積的性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)兩向量共線時(shí)等號成立2022/11/2334向量數(shù)量積的性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)兩向量共線時(shí)等號成立2022/11/進(jìn)行向量數(shù)量積計(jì)算時(shí),既要考慮向量的模,又要根據(jù)兩個(gè)向量方向確定其夾角。例1、2022/11/2335進(jìn)行向量數(shù)量積例1、2022/11/2210方法：(1)求平面向量數(shù)量積的步驟是：①求a與b的夾角θ，θ∈[0°,180°]；②分別求|a|和|b|；③求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ.溫馨提示：a∥b時(shí)，易漏掉θ＝0°和θ＝180°中的一種情況.2022/11/2336方法：(1)求平面向量數(shù)量積的步驟是：2022/11/221小結(jié)：知三求一，注意公式變形2022/11/2337小結(jié)：知三求一，注意公式變形2022/11/2212平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:(1)交換律：(2)數(shù)乘結(jié)合律：(3)分配律：2022/11/2338平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:(1)交換律：(2)數(shù)乘結(jié)合律：(3例2.已知求2022/11/2339例2.已知解：由題意可知2022/11/2340解：由題意可知2022/11/2215練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．【解析】(1)因?yàn)閨2a－b|2＝4a2－4a·b＋b22022/11/2341練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.練習(xí)．已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2=2022/11/2342練習(xí)．已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(3)因?yàn)閨a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2設(shè)a與a＋b的夾角為θ，2022/11/2343練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．2022/11/2344練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.練習(xí)：已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°.求(1)|2a－b|；

(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a與a＋b的夾角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(4)因?yàn)?a－b)⊥(λa＋b)，所以(a－b)·(λa＋b)＝0，即λa2＋(1－λ)a·b－b2＝0，也就是16λ－4(