第一章函數(shù)、極限、連續(xù) 第一章函數(shù)、極限、連續(xù) “未定式”求極限㈠0型未定式

01、求極限lim2x2,x■1x■1x2■x■2解:limS!吆叫?lim現(xiàn)■1；x.1(x■1)(x■2) x.1“未定式”求極限㈠0型未定式

01、求極限lim2x2,x■1x■1x2■x■2解:limS!吆叫?lim現(xiàn)■1；x.1(x■1)(x■2) x.1x■22、求極限lim，.一x■1<3■x■11■x解：原式■limx■11■xx2H1^3■x■V1■x■lim-I IIIx.1 3■x?x■%■<TlxTTlx■v1bIx■<1■x?改蜀。2■limx■1■1imxtx?-3x■5 4x2■x3、求下列極限(1)lim； (2)lim一x■■B6x■8 x■■B2x3■5⑶lim

x■■3x■5lim——x■■■6x■8■lim4x2■xlimx■■■2x3■5x■■■2■—x33x315xI1「

lim Ilimx■■x■■x2x34T~因為，limx■■,所以㈢■■■型未定式⑴limx■11■H1x2H1■解:⑴lim|x■11⑴limx■11■H1x2H1■解:⑴lim|x■11■?1x2■n■卜lim，”■falimEE■］」.1Ix■1?x2■1■x■1x2■】x■1x■1 2⑵原式■limx2■x■-v'x2■xx2■x■-vx2■Xx2■x■(x2■x)■lim =V；x2■x■%；x2■xx■■vx2■x■v■limxl■limx■■■=■1。11x4、求下列極限（求型未定式）方法：先通分，再約分。⑵lim\；'x2■x■、:x2■x■■■三、“兩個重要極限”求極限1、求下列極限sinkx八⑴11m (k為常數(shù));TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x■0 xsinkxsinkx.解：\o"CurrentDocument"⑴lim ■lim ■■k解：x■0 x x■0kxn■sinxsin"■x⑵lim■lim ■1。x■ ■x x■ ■x2、求下列極限⑴lim(1■2x)4x；x■0L

解：⑴lim(1■2x)4x■lim(1■2x)2x弓■<e。x■0 x■0⑵limx1B3I■lim*3x■■lim*(IBx)，町■e-x■0 x■0 x■02、求limit51HX■■■■1■分析：由于X■1.X■1■2.1.■2，故可應用第二重要極限公式的第⑵種形式2則x■■■—；當x■■時，t?0，于是t原式?lim.tW■lim(1■t)??1■t)彳■lim(1■t)?■12(1■t)t1■lim(1■1■lim(1■t)?■ 2lim(1■t)tt■0另解：limit!HXBl■■1■■lim1V另解：limit!HXBl■■1■X■■■X■1 ■X■1■X■1■xH 』8超■(IE)? l超■(IE) l超?l|「 ■limj|l |「 Him.l |le2X?1l X■■l X?1l X■■lX?1l四、“無窮小性質”求極限1、求極限lim包皿.X■■n解：當X■■四、“無窮小性質”求極限1、求極限lim包皿.X■■n解：當X■■時，3n-■0,即$是無窮小量，且sinn■1為有界函數(shù)，nHln?1lim^nsinn-0.（有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。■■n2、1求極限lintsf.X■0 X解：此題一定要注意不要錯用“第一重要極限公式”求解11sinlimxsinllim—X■0 X X■01X（錯誤原因：沒注意第一重要極限公式使用條件?。?,/limxsin—■limx■0 X1?■X1sin—十■1 )所以改用無窮小性質求此題如下:X■0X■0時，x為無窮小，而sin-x■1,故sin-為有界函數(shù)，

x1??limxsin■0 （有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮?。■0 X五、“無窮大與無窮小關系”求極限1、1、求下列極限limXlimX■0,limX■0⑵lim(2x2■x■1)。X■■X即為X■0時的無窮小;X■1則它的倒數(shù)出為X則它的倒數(shù)出為X■0時的無窮大，XX■1即lim■■X■0X,.TimX■■1即 為X■0時的無窮小;2X2■X■,.TimX■■1即 為X■0時的無窮小;2X2■X■1六、復合函數(shù)求極限定理2.3：設lim■■■a,X■X0上式顯然可以寫成:limf■■f,■則limf.■■(存在，且:u■alimf*fX■X0limf 1f,m■?,X■X X■Xc說明：求復合函數(shù)limf■?■極限的時候，極限符號“l(fā)im”與函數(shù)符號“f”X■X0就可以交換次序。即極限運算可以移到內(nèi)層函數(shù)上去實施。1、解：因為、2X喙2X/Snx■，所以lim■、2x電?lim5fc2x1Sl^lX Xx■0 x■0■ ■■sinx■e6.注：函數(shù)f??u■■?■!■■0■既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，稱其為冪指函數(shù)，1—■lim x2 ■0X■■2■1■十XX2則它的倒數(shù)2X2■xH1為x■0時的無窮大，即lim(2X2■X■1)■■X■■因為：u?"^■■eln因為：u?"^■■elnu, ■evHUn弓故冪指函數(shù)可化為復合函數(shù)。2、求lim(ln(1■x))x■0 x解：由對數(shù)性質可知：1n(1解：由對數(shù)性質可知：1n(1■x)■ln(1■x)；x1,又知：lim(1■x)x■e，故:x■0lim(x■0ln(1lim(x■0ln(1■x)1、1.)■limln(1■_)x■lnlim(1■x)x■lne■1(復合函數(shù)求極限)3、計算下列極限ln(1■ln(1■x)⑴lim( )；x■0xln 2x.⑵lim .x■0sin4x解：⑴由對數(shù)性質可知:l□](■x解：⑴由對數(shù)性質可知:l□](■x) 1■ln!(?x)x，又知:x1lim(1■x)x■e，故:x■0lim(x■0lim(x■0ln(1■x) 1、1 )■limln(1■)x1■lnlim(1■x)x■Ine■1ln■■2x1 2 2丫⑵lim ln■■2x1 2 2丫⑵lim ?lim二■.2xx■0 sin4xx■04 sin4x4x1lim■1■x■02lim4x■0lnIfe2x1 11limln2x嗔2x

sin4x4xlim4x■0sin4x

4xln■limln■lim■1■1■__IlxB_02二/.e/“1.22七、連續(xù)函數(shù)求極限1、求1、求lim咖(11ex)■arctan；\'1■sinx.解：原式■lnHe0■arctan解：原式■lnHe0■arctan;1■sin0V1■sin0■ln2■arctanl■ln2■一.4則終值x1與初值x0之差xi-x0，就ln x22、求lim x■0axcosx解：由于一且初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，又由limf■■f?■可得：0x■x0in■Hx2■in■H02,0lim ■ ■——■1.x.0axcosx aocos01H§1.3函數(shù)的連續(xù)性㈠函數(shù)連續(xù)性現(xiàn)實世界中很多變量的變化是連續(xù)不斷的。如：氣溫的變化、物體運動的路程變化、金屬絲加熱時程度的改變等等，都是連續(xù)變化的。這種現(xiàn)象反映在數(shù)學上就是函數(shù)的連續(xù)性，它是微積分的又一重要概念。下面我們先引入函數(shù)改變量的概念。一、函數(shù)改變量的概念自變量的改變量設函數(shù)y■f(x)的自變量x由初值x變到終值x01小■x■x叫做自變量x的改變量，記作： 1 0注意：喊可以是正的，也可以是負的。函數(shù)的改變量設函數(shù)y■f(x)，當自變量x由x時變到xBlx時，00函數(shù)y相應的改變量為1y，記作：,■f(x—)■f(x)00

例1設j■f(x)■3x2?1,求符合下列條件的Hr與,⑶x由1■1■■X⑴x由1■1.5； ⑵ ⑶x由1■1■■X解：ix■x■x■1.5HlI0.5.解：0■J■f(x)■f(x)■f(1.5)■f(1)■31.5)2?IB(1)2Bl.3.751 0⑵Hr■x■xI0.5n■051 0IJ■f(x)■f(x)■f(0.5)■f(1).30.5)2■1I|R1)2nI||E.2510⑶IxIxIxI(1IIx)I1IIx10,■八)■f(x0)?f(19)■f(1)■31nr)2ni31)2nI3(?)2■6小二、連續(xù)函數(shù)的概念氣溫是時間的函數(shù)，當時間變化不大時，氣溫的變化也不大；物體運動的路程是時間的函數(shù)，當時間變化不大時，路程的變化也不大;金屬絲的長度是溫度的函數(shù)，當溫度變化不大時，長度的變化也不會大?對于函數(shù)J■f?1定義域內(nèi)的一點x，如果自變量x在點x處取得極其微小的改變量小0 0時，函數(shù)j相應的改變量By也極其微小，且當小■0時，有■■0，則稱函數(shù)j■f.1在點x0處是連續(xù)的。再觀察下面的四個函數(shù)曲線，可以看到，這四條函數(shù)曲線在x■C處都斷開了。分別考察這些②函數(shù)在x■c時極限不存在，如圖中(b)和(c)所示;③limf(x)■f(c)，如圖中(d)所示。x■c若當自變量x若當自變量x在點x處取得0的改變量小■0時，函數(shù)y相應的增量,也■0，即:lim』lim』■lim■r■0 』■0■Br)■f(x)■00 0則稱函數(shù)y■f(x)在點x處連續(xù)，稱x為該函數(shù)的連續(xù)點。

00分析上述定義不難發(fā)現(xiàn)，當我們令x■x，即喙■x■x.則lx■0，即x■x；且■■f?Hx■f■■f■■f■■0 00 0即f(x)■f(x)，即limBy■0可以改寫為:■x■00極限存在且等于它在點x處的函數(shù)值f(x)，即00x■x0若當x■x時，函00極限存在且等于它在點x處的函數(shù)值f(x)，即00x■x0若當x■x時，函0limf(x)■f(x) ⑵x■X0 0則稱函數(shù)y■f(x)在點x處連續(xù)。0因此求連續(xù)函數(shù)在某點的極限，只須求出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可。注意：連續(xù)與極限的區(qū)別：注意：連續(xù)與極限的區(qū)別：例1試判斷函數(shù)f(x)■x3■5x■4在x■x0點的連續(xù)性。解：因為limf(x)■lim(x3■5x■4)■x3■5x■4■f(x)解：00 0所以函數(shù)f(x)在x■x0點連續(xù)?！?x■0■例2試判斷函數(shù)f(x)■■kinx 在x■0點的連續(xù)性 ,xI0x解因為⑴f(x)在x■0處有定義，且f(0)■1；

⑵limf(x)■limsin^■1；X■0 x■0x⑶limf(X)■f(0)■1,x■0所以函數(shù)f(X)在X■0點處連續(xù)。2、函數(shù)的左連續(xù)、右連續(xù)由左極限、右極限的定義我們很方便地得出函數(shù)左連續(xù)、右連續(xù)的定義如下：定義2.9設函數(shù) 在點x的某鄰域范圍內(nèi)有定義，若0limf(x)■f(x)，則稱f(x)在x■x處左連續(xù)；X.x■ 0 00limf(x)■f(x)，則稱f(x)在x■x處右連續(xù)。x.x■ 0 00limf(x)■f(x)■limf(x)■limf(x)■f(x)x■x0 0 x■ x■ 0■ex■i,x■0,,例3討論函數(shù)f(x)■品， x■0，在x■0處的連續(xù)性?！觥鰈n(1■x),x■0■解：⑴函數(shù)f(x)在x■0處有定義，且f(0)■0；⑵limf(x)■lim(ex■1)■0，X■0■ X■0?limf(x)■limln(1■x)■lnlim(1■x)■ln1■0, limf(x)■0X■0■ X■0■ X■0■ X■0⑶limf(x)■f(0)■0, 所以，函數(shù)f(x)在x■0點處是連續(xù)的。x■04、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性定義2.10⑴若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上每一點都連續(xù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，或稱f(x)為I區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間I叫做函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間。定義2.10⑵若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間出,b］上有定義，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間左端點x■a處右連續(xù)，在區(qū)間右端點x■b處左連續(xù)，即：limf(x)■f(a)， limf(x)■f(b)x■a■ x■b?則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)。注意：一切基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的！■■x,x■0,例4討論函數(shù)f(x)■x?基，x■0，在x■0處的連續(xù)性?！觥鰔,x■0■解⑴函數(shù)f(x)在x■0處有定義，且f(0)■0；⑵limf(x)■lim(Hx)■0■f(0)，(左連續(xù))x■0■ x■0■limf(x)■lim(x)■0■f(0)，(右連續(xù))x■0? x■0■??.limf(x)■limx■0 (由充要條件定理)x■0 x■0所以，函數(shù)f(x)在x■0點處是連續(xù)的。|ex■k,x■0例5若f(x)?| 2，確定常數(shù)k，使得函數(shù)f(x)在x■0處連續(xù)。?1?x)x,x■0解：limf■■klim■ex■k,■k;x|0| x|0|limf■X?lim(1-x)x11■e2;X■01 X■0?limf■■tlimf■■k■1；x■0? x■0?■f(0)■k■1,■k?1■e2■k■e2■!.㈡連續(xù)函數(shù)運算性質、四則運算法則定理23：如果函數(shù)f(x)和g(x)在點x0處連續(xù)，則函數(shù)⑴f(x)■g(x)；,(g(x0)■0)都在點x處連續(xù)。0說明：連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算以后仍然是連續(xù)函數(shù)復合函數(shù)的連續(xù)性定理2.4：設函數(shù)U■■(x)在點x處連續(xù)，且u■■(x)，而函數(shù)y■f(u)在點u處連續(xù)，0 0 0 0則復合函數(shù)y■f.x尾點x處也是連續(xù)的。0說明：連續(xù)函數(shù)經(jīng)過復合以后仍然是連續(xù)函數(shù)。初等函數(shù)的連續(xù)性由基本初等函數(shù)的圖像可知，一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。又知，初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算或復合以后形成的，再由前面兩個定理可得到一個重要結論如下：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的！利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限

函數(shù)的連續(xù)性提供了一種求極限的簡便方法：點的極限值，即：limf(x)If(點的極限值，即：limf(x)If(x)x■x0IIlgIxI8例5求lim■■sinx2■4x■2解：.n,■4.lg.■8鼬初等函數(shù)，在x■2處連續(xù)，limIIsinIx2I4IIlgIxI8IIIxI2IsinlimIx2I4IIlglimIxI8IIsin0Ilg10I1.xI2 xI2ln(eIx2)例6求極限limxI0axcosx解：???f(x)■1n('.x2)為初等函數(shù)，且曲■0處有定義，axcosxln(eIx2) ln(eI02)lnelim ■ ■