PAGE公眾號“品數(shù)學(xué)”，一個(gè)提供數(shù)學(xué)解題研究，并且提供資料下載的公眾號！黃岡市2017年秋季高一年級期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A.8B.7C.4D.3【答案】D【解析】，所以真子集有3個(gè)。故選D。2.已知冪函數(shù)，若在其定義域上為增函數(shù)，則等于（）A.1，B.1C.D.【答案】C【解析】，解得。故選C。3.如圖，設(shè)全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】陰影部分為，，所以，故選D。4.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長為2，則這個(gè)圓心角所對的弧長是（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】如圖所示,設(shè)扇形OAB中,圓心角∠AOB=2,過0點(diǎn)作OC⊥AB于點(diǎn)C,延長OC，交弧AB于D點(diǎn)，則∠AOD=∠BOD=1,AC=AB=1，∴弧AB長.故選：C.5.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.在定義域內(nèi)是增函數(shù)B.的對稱中心是C.是奇函數(shù)D.的對稱軸是【答案】B【解析】定義域內(nèi)不單調(diào)，且不具有奇偶性，對稱性，所以A、C、D錯(cuò)誤；對稱中心：，得，所以B正確；故選B。6.向一杯子中勻速注水時(shí)，杯中水面高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的大致圖像如圖所示，則杯子的形狀可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由圖可知，高度的增長速率是先慢后快，且都是運(yùn)算增長，所以只有A滿足。故選A。7.已知非零向量與滿足，且，則為（）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形【答案】D【解析】依題意，由得BC垂直于BC邊上中學(xué)為等腰三角形，AB，AB為腰，再由得.所以為等邊三角形，選D.8.若，，，定義在上的奇函數(shù)滿足:對任意的且都有，則的大小順序?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.【答案】B【解析】由題意，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，故選B。9.要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位【答案】A【解析】左移個(gè)單位，得到，再右移個(gè)單位，得到，所以總的是左移個(gè)單位，故選A。10.已知是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比為（）A.B.1C.D.2【答案】A【解析】由題意，是的重心，，所以的面積與的面積之比為。故選A。點(diǎn)睛：本題考查平面向量的應(yīng)用。由重心的結(jié)論：若，則是的重心，本題中構(gòu)造，是的重心，根據(jù)重心的一些幾何性質(zhì)，求出面積比值。11.已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】是奇函數(shù)，單調(diào)遞增，所以，得，所以，所以，故選D。點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性應(yīng)用。本題中，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化得到，分參，結(jié)合恒成立的特點(diǎn)，得到，求出參數(shù)范圍。12.函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足:①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間，使在區(qū)間上的值域?yàn)?，那么就稱函數(shù)為“減半函數(shù)”，若函數(shù)是“減半函數(shù)”，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意，是單調(diào)遞增的，所以，即有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，令，則在有兩個(gè)實(shí)根，則。故選D。點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)題型。首先考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)具有“同增異減”的性質(zhì)，所以本題函數(shù)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化得到有兩個(gè)不同的實(shí)根，通過換元、分參，求出參數(shù)范圍。第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】14.已知函數(shù)，則__________．【答案】4【解析】15.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的值為__________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，故得到：兩者取交集得到的值為。故答案為：。點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)；這種題目一般應(yīng)用圖像的對稱性，軸對稱性和點(diǎn)對稱性，再就是單調(diào)性，由單調(diào)性就可以得到周期的大概范圍，解決這類題目還要注意結(jié)合函數(shù)的圖像的整體性質(zhì)。16.若定義在上的函數(shù)，其圖像是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對任意實(shí)數(shù)都成立，則稱是一個(gè)“特征函數(shù)”．則下列結(jié)論中正確命題序號為__________．①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”；②不是“特征函數(shù)”；③“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；④是一個(gè)“特征函數(shù)”．【答案】②③④【解析】①當(dāng)時(shí)，任何常函數(shù)都是“特征函數(shù)”，所以錯(cuò)誤；②對任意的不能恒成立，不是“特征函數(shù)”，所以正確；③成立，則與異號，由又函數(shù)是連續(xù)的，所以在至少存在一個(gè)零點(diǎn)，所以正確；④，則滿足時(shí)，對任意恒成立滿足，所以正確。所以正確的是②③④。點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。本題中需要學(xué)生理解“特征函數(shù)”的定義，并能在選項(xiàng)的判斷中利用定義進(jìn)行判斷，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求極高，并在判斷過程中能夠聯(lián)系學(xué)過的函數(shù)性質(zhì)，加以應(yīng)用。三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知平面上三個(gè)向量，其中（1）若且，求的坐標(biāo)；（2）若，且，求與的夾角的余弦值．【答案】（1）c=(3，6)或（-3，-6）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)，設(shè)，利用列方程求出的值即可；（2）由可求出，結(jié)合，根據(jù)數(shù)量積為，求出的值,再求與夾角的余弦值.試題解析：（1）因?yàn)?，所以設(shè)，，，所以=(3,6)或（-3，-6）（2）因?yàn)?，所以，所以，所?18.（1）計(jì)算的值；（2）已知，求和的值．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）利用公式計(jì)算；（2）利用齊次的弦化切技巧計(jì)算。試題解析：(1)原式=2+===-（2），.19.若函數(shù)，的部分圖像如下圖所示．（1）求函數(shù)的解析式及其對稱中心；（2）若將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1），對稱中心為；（2）增區(qū)間：減區(qū)間：.【解析】試題分析：（1）觀察圖象，利用周期、最值、特殊點(diǎn)，求得，并求對稱中心；（2）將圖象進(jìn)行變換，得到，利用整體思想求值域。試題解析：（1）由圖得，．，解得，于是由T=，得．∵，即，∴，k∈Z，即，k∈Z，又，所以，即．(2)由已知條件得，20.“菊花”型煙花是最壯觀的煙花之一，制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂．通過研究，發(fā)現(xiàn)該型煙花爆裂時(shí)距地面的高度（單位：米）與時(shí)間（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系，并得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述該型煙花爆裂時(shí)距地面的高度與時(shí)間的變化關(guān)系：，，，先簡單說明選取的理由，再確定此函數(shù)解析式；（2）利用你選取的函數(shù)，判斷煙花爆裂的最佳時(shí)刻，并求此時(shí)煙花距地面的高度．【答案】（1）；（2）煙花沖出后是爆裂的最佳時(shí)刻，此時(shí)距地面高度為25米.【解析】試題分析：（1）由表中數(shù)據(jù)分析可知，煙花距地面的高度隨時(shí)間的變化呈先上升再下降的趨勢，則在給定的三類函數(shù)中，只有y2可能滿足，設(shè)h（t）=at2+bt+c，利用待定系數(shù)法將表格所提供的三組數(shù)據(jù)代入，列方程組求出函數(shù)解析式；

（2）由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出即可．試題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)分析可知，煙花距地面的高度隨時(shí)間的變化呈先上升再下降的趨勢，則在給定的三類函數(shù)中，只有可能滿足，故選取該函數(shù)．設(shè)，有解得所以（2），得煙花沖出后是爆裂的最佳時(shí)刻，此時(shí)距地面高度為25米．21.已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（1）用函數(shù)單調(diào)性定義來證明上的單調(diào)性；（2）已知，，求函數(shù)的值域；（3）對于（2）中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）利用單調(diào)性的定義證明單調(diào)遞減；（2）構(gòu)造函數(shù)得，換元求得值域?yàn)?；?）由（2）知的值域?yàn)?，的值域是的值域的子集，所?試題解析：（1）證明：設(shè)-=-=--，故函數(shù)（2），設(shè)則則，．由已知性質(zhì)得，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減；所以減區(qū)間為；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；所以增區(qū)間為；，得的值域?yàn)椋?）由（2）知的值域?yàn)?，又為減函數(shù)，故．由題意知，的值域是的值域的子集，點(diǎn)睛：本題考查對勾函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。函數(shù)任意型和存在型成立問題中，學(xué)會(huì)最值的處理。本題中任意和存在都有，則通過分析，得到的值域是的值域的子集，通過集合包含關(guān)系解題。22.已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且．（1）求及的解析式及定義域；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）如果函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1），；（2）－恒成立，則，利用換元，解得；（3）要使有兩個(gè)零點(diǎn)，即使得有一個(gè)零點(diǎn)，即，所以試題解析：（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，，①令取代入上式得，即，②聯(lián)立①