.PAGE.方程根的分布專題講義一．知識(shí)要點(diǎn)二次方程的根從幾何意義上來說就是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以研究方程的實(shí)根的情況,可從的圖象上進(jìn)行研究．若在內(nèi)研究方程的實(shí)根情況,只需考察函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào),根據(jù)判別式以及韋達(dá)定理,由的系數(shù)可判斷出的符號(hào),從而判斷出實(shí)根的情況．若在區(qū)間內(nèi)研究二次方程,則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來確定．1．二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于的充要條件若其中一個(gè)是方程的根,則由韋達(dá)定理可求出另一根．若不是二次方程的根,二次函數(shù)的圖象有以下幾種可能：〔1〔2〔3〔4由圖象可以看出,在處的值與在處的值符號(hào)總是相反,即；反之,若,的圖象的相對(duì)位置只能是圖中四種情況之一．所以得出結(jié)論：若都不是方程的根,記,則有且只有一個(gè)實(shí)根屬于的充要條件是．2．二次方程兩個(gè)根都屬于的充要條件方程的兩個(gè)實(shí)根都屬于,則二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)或相切于點(diǎn),且兩個(gè)交點(diǎn)或切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于小于,它的圖象有以下幾種情形：〔1〔2〔3〔4由此可得出結(jié)論：方程的兩個(gè)實(shí)根都屬于區(qū)間的充要條件是：這里．3．二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間的兩側(cè)〔一根小于,另一根大于的充要條件是：這里．4．二次方程的兩個(gè)實(shí)根都在的右側(cè)的充要條件是：二次方程的兩個(gè)實(shí)根都在的左側(cè)〔兩根都小于的充要條件是：這里．二．例題選講例１．設(shè)關(guān)于的方程R,〔1若方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；〔2當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí),討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù),并求出方程的解。例２．已知二次函數(shù)f<x>=ax2+bx+c<a≠0>.若方程f<x>=x無實(shí)根,求證：方程f[f<x>]=x也無實(shí)根．例３．設(shè),,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式：已知方程x2+<3m-1>x+<3m-2>=0的兩個(gè)根都屬于<-3,3>,且其中至少有一個(gè)根小于1,求m的取值范圍．例４．已知方程有兩個(gè)負(fù)根,求的取值范圍．例５．求實(shí)數(shù)的范圍,使關(guān)于的方程．〔１有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)比２大,一個(gè)比２?。玻灿袃蓚€(gè)實(shí)根,且滿足．〔３至少有一個(gè)正根．例６．已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.<1>若方程有兩根,其中一根在區(qū)間<－1,0>內(nèi),另一根在區(qū)間<1,2>內(nèi),求m的范圍.<2>若方程兩根均在區(qū)間<0,1>內(nèi),求m的范圍.變式：已知方程2x2–2<2a-1>x+a+2=0的兩個(gè)根在-3與3之間,求a的取值范圍．例７．已知二次方程的兩個(gè)根都小于1,求的取值范圍．變式：如果二次函數(shù)y=mx2+<m－3>x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè),試求m的取值范圍.例８．已知是實(shí)數(shù),函數(shù),如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),求的取值范圍．二次方程實(shí)根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況,在其它的一些場(chǎng)合下也可以適當(dāng)運(yùn)用．下面再舉兩個(gè)例子：例９．求函數(shù)y=EQ\F<x+1,x2-3x+2><1<x<2>的值域．例10．已知拋物線y=2x2-mx+m與直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)<0,0>,<1,1>為端點(diǎn)的線段〔除去兩個(gè)端點(diǎn)有公共點(diǎn),求m的取值范圍．三．鞏固練習(xí)1．已知二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于<-1,1>,求m的取值范圍．2．已知方程在上有兩個(gè)根,求的取值范圍．3．已知二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于〔1,2,且都不是方程的根,求的取值范圍．4．已知二次方程的兩個(gè)根都屬于〔–1,1,求的取值范圍．5．若關(guān)于x的方程x2+<a-1>x+1=0有兩相異實(shí)根,且兩根均在區(qū)間[0,2]上,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．6．二次函數(shù)f<x>=px2+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足=0,其中m>0,求證<1>pf<><0;<2>方程f<x>=0在<0,1>內(nèi)恒有解。參考答案例１．分析：可用換元法,設(shè),原方程化為二次方程,但要注意,故原方程有解并不等價(jià)于方程有解,而等價(jià)于方程在內(nèi)有解．另外,方程有解的問題也可以通過參變分離轉(zhuǎn)化為求值域的問題,它的原理是：若關(guān)于的方程有解,則的值域．解：〔1原方程為,,時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；〔2①當(dāng)時(shí),,∴方程有唯一解；②當(dāng)時(shí),.的解為；令的解為；綜合①、②,得1當(dāng)時(shí)原方程有兩解：；2當(dāng)時(shí),原方程有唯一解；3當(dāng)時(shí),原方程無解。例２．證明：方程f<x>=x即f<x>-x=ax2+<b-1>x+c=0無實(shí)根,f<x>-x仍是二次函數(shù),f<x>-x=0仍是二次方程,它無實(shí)根即Δ=<b-1>2-4ac＜0①若a＞0,則函數(shù)y=f<x>-x的圖象在x軸上方,∴y＞0,即f<x>-x＞0恒成立,即：f<x>＞x對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?！鄬?duì)f<x>,有f<f<x>>＞f<x>＞x恒成立∴f<f<x>>=x無實(shí)根②若a＜0,函數(shù)y=f<x>-x的圖象在x軸下方∴y＜0,即f<x>-x＜0恒成立∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f<x>＜0恒成立∴對(duì)實(shí)數(shù)f<x>,有：f<f<x>>＜f<x>＜x恒成立∴f<f<x>>=x無實(shí)根綜上可知,當(dāng)f<x>=x無實(shí)根時(shí),方程f<f<x>>=x也無實(shí)根．例３．分析：觀察到方程有兩個(gè)實(shí)根,故此題不妨用求根公式來解決．解：因有兩個(gè)實(shí)根,,故等價(jià)于且,即且,解之得．變式：解：原方程即為<x+1><x+3m-2>=0,所以方程兩根分別為-1,2-3m,而-1在<-3,1>上,則由題意,另一根滿足-3<2-3m<3-EQ\F<1,3><m<EQ\F<5,3>.例４．解：依題意有．例５．解：設(shè)．依題意有,即,得．依題意有解得：．〔３方程至少有一個(gè)正根,則有三種可能：①有兩個(gè)正根,此時(shí)可得,即．②有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根,此時(shí)可得,得．③有一個(gè)正根,另一根為０,此時(shí)可得．綜上所述,得．例６．解：<1>條件說明拋物線f<x>=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間<－1,0>和<1,2>內(nèi),則,∴實(shí)數(shù)m的范圍是.<2>據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間<0,1>內(nèi),列不等式組-EQ\F<1,2><m≤1-EQ\R<2>,∴ 實(shí)數(shù)m的范圍是.變式：解：設(shè)f<x>=2x2–2<2a-1>x+a+2,則原方程兩根都屬于<-3,3>的充要條件為EQ\B\LC\{<\A\AL<△≥0,f<-3>>0,f<3>>0,-3<EQ\F<2a-1,2><3>>EQ\B\LC\{<\A\AL<4<2a-1>2–8<a+2>≥0,18+6<2a-1>+a+2>0,18-6<2a-1>+a+2>0,-3<EQ\F<2a-1,2><3>>-EQ\F<14,13><m≤EQ\F<3-EQ\R<21>,4>或EQ\F<3+EQ\R<21>,4>≤m<EQ\F<26,11>.故a的取值范圍是<-EQ\F<14,13>,EQ\F<3-EQ\R<21>,4>]∪[EQ\F<3+EQ\R<21>,4>,EQ\F<26,11>>．例７．解一：二次方程兩個(gè)根都小于1,其充要條件為〔1即為,它的解集是．〔2即為,它的解集是．〔3的解集是．所以,的取值范圍是．解二：二次方程有兩個(gè)根的充要條件是．設(shè)兩根為,由于都小于1,即,其充要條件為：即因此,方程兩個(gè)根都小于1的充要條件是：以下同解法一〔略．解三：令,原方程轉(zhuǎn)化為,即〔*因?yàn)樵匠虄筛夹∮?,所以方程〔*的兩個(gè)實(shí)根都小于0,其充要條件是：同樣可求出的取值范圍〔略．變式：解：∵f<0>=1>0<1>當(dāng)m＜0時(shí),二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè),符合題意.<2當(dāng)m>0時(shí),則解得0＜m≤1綜上所述,m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}.例８．解析1：函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),即方程=0在[-1,1]上有解,a=0時(shí),不符合題意,所以a≠0,方程f<x>=0在[-1,1]上有解<=>或或或或a≥1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是或a≥1.解析2：a=0時(shí),不符合題意,所以a≠0,又∴=0在[-1,1]上有解,在[-1,1]上有解在[-1,1]上有解,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[-1,1]上的值域；設(shè)t=3-2x,x∈[-1,1],則,t∈[1,5],,設(shè),時(shí),,此函數(shù)g<t>單調(diào)遞減,時(shí),>0,此函數(shù)g<t>單調(diào)遞增,∴y的取值范圍是,∴=0在[-1,1]上有解∈或。例９．解：原函數(shù)即為y<x2-3x+2>=x+1,yx2-<3y+1>x+2y-1=0,①由題意,關(guān)于的方程①在<1,2>上有實(shí)根．易知y<0,令f<x>=yx2-<3y+1>x+2y-1,則f<1>=-2<0,f<2>=-3<0,所以方程①在<1,2>上有實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng)EQ\B\LC\{<\A\AL<△≥0,1<EQ\F<3y+1,2y><2>>,解得y≤-5-2EQ\R<6>.∴原函數(shù)的值域?yàn)?lt;-,-5-2EQ\R<6>].例10．解：以<0,0>,<1,1>為端點(diǎn)的線段所在直線為y=x,代入拋物線方程得：x=2x2-mx+m即2x2-<m+1>x+m=0,①由題意,方程①在區(qū)間<0,1>上有實(shí)根,令f<x>=2x2-<m+1>x+m,則當(dāng)且僅當(dāng)f<0>·f<1><0或EQ\B\LC\{<\A\AL<△≥0,0<EQ\F<m+1,4><1,f<0>>0,f<1>>0>>m<0或EQ\B\LC\{<\A\AL<m2-6m+1≥0,-1<m<3,m>0>>m≤3-2EQ\R<2>且m≠0．故m的取值范圍為<-,0>∪<0,3-2EQ\R<2>].鞏固練習(xí)1．解：易知x1=-1是方程的一個(gè)根,則另一根為x2=EQ\F<m-4,3m-1>,所以原方程有且僅有一個(gè)實(shí)根屬于<-1,1>當(dāng)且僅當(dāng)-1<EQ\F<m-4,3m-1><1,即EQ\B\LC\{<\A\AL<EQ\F<m-4,3m-1>+1>0,EQ\F<m-4,3m-1>-1<0>>EQ\B\LC\{<\A\AL<EQ\F<4m-5,3m-1>>0,EQ\F<2m+3,3m-1>>0>>m<-EQ\F<3,2>或m>EQ\F<5,4>,∴m的取值范圍為<-,-EQ\F<3,2>>∪<EQ\F<5,4>,+>.2．解：令,當(dāng)時(shí),．由于是一一映射的函數(shù),所以在上有兩個(gè)值,則在上有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的值．因而方程在〔0,2上有兩個(gè)不等實(shí)根,其充要條件為由〔1得：,由〔2得：,由〔3得：或,由〔4得：．,即的取值范圍為．3．解：設(shè)f<x>=,由于f<x>是二次函數(shù),所以2m+1≠0,即m≠-EQ\F<1,2>.f<x>=0在〔1,2上有且僅有一個(gè)實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng)f<1>·f<2><0<5m+3><m-2><0-EQ\F<3,5><m<2.綜上得：m的取值范圍是<-EQ\F<3,5>,-EQ\F<1,2>>∪<-EQ\F<1,2>,2>．4．令二次函數(shù)f<x>=<m-1>x2+<3m+4>x+m+1,則m-1≠0,即m≠1．f<x>=0的兩個(gè)實(shí)根均在<-1,1>上,當(dāng)且僅當(dāng)∴ m的取值范圍為．5．解：令f<x>=x2+<a-1>x+1,則滿足題意當(dāng)且僅當(dāng)EQ\B\LC\{<\A\AL<△=<a-1>2-4>0,0<-EQ\F<a-1,2><2,f<0>≥0,f<2>≥0>>解得-