問題提出1.在平面中，什么叫向量？即有大小又有方向的量叫做向量.2.兩個(gè)平面向量相加、相減的運(yùn)算法則分別是什么？平行四邊形法則，三角形法則.

問題提出1.在平面中，什么叫向量？即有大小又有方向的量叫做13.如圖，一塊質(zhì)量為500kg的均勻正三角形鋼板，在它的頂點(diǎn)處分別受力F1、F2、F3，每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|.若分析這三個(gè)力至少為多大時(shí)，才能提起這塊鋼板，以及這塊鋼板在這些力的作用下如何運(yùn)動(dòng)，需要有空間向量的知識(shí)才能解決.F2F1F33.如圖，一塊質(zhì)量為500kg的均勻正三角形鋼板，在它的頂點(diǎn)2空間向量空間向量3探究（一）：空間向量的有關(guān)概念

思考1：平面內(nèi)既有大小又有方向的量與空間中既有大小又有方向的量有本質(zhì)差別嗎？如何定義空間向量？空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量.探究（一）：空間向量的有關(guān)概念思考1：平面內(nèi)既有大小又有方4思考2：向量的大小叫做向量的長度或模，在空間中，若向量a的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B，則向量a可以怎樣表示？其模怎樣表示？向量的表示：模的表示：|a|或BAa思考2：向量的大小叫做向量的長度或模，在空間中，若向量a的起5思考3：在空間向量中，怎樣定義零向量，單位向量，相反向量和相等向量？

零向量：模為0的向量；

單位向量：模為1的向量；

相反向量：模相等且方向相反的向量；

相等向量：模相等且方向相同的向量.思考3：在空間向量中，怎樣定義零向量，單位向量，相反向量和相6思考4：在平面向量中，若兩個(gè)向量可以平移到同一條直線上，則稱這兩個(gè)向量為共線向量.在空間向量中，若兩個(gè)向量可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，則稱這兩個(gè)向量為共面向量.那么空間任意兩個(gè)向量共面嗎？任意三個(gè)向量共面嗎？思考4：在平面向量中，若兩個(gè)向量可以平移到同一條直線上，則稱7空間向量及其運(yùn)算共課件8探究（二）：空間向量的加減運(yùn)算

思考1：對(duì)于兩個(gè)平面向量，可以利用平行四邊形法則或三角形法則求作其和向量與差向量，如果空間向量a與b所在直線異面，如何求作它們的和向量與差向量？aba＋baba－b探究（二）：空間向量的加減運(yùn)算思考1：對(duì)于兩個(gè)平面向量，可9思考2：如果空間三個(gè)向量a，b，c不共面，如何求作它們的和向量？abca+b+c思考2：如果空間三個(gè)向量a，b，c不共面，如何求作它們的和向10思考3：如圖，在平行六面體(底面是平行四邊形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，向量表示哪個(gè)向量？BACDB1A1C1D1思考3：如圖，在平行六面體(底面是平行四邊形的四棱柱)ABC11思考4：對(duì)于空間向量a，b，向量a＋b與b＋a相等嗎？aba+bb+a交換律：a＋b＝b＋a思考4：對(duì)于空間向量a，b，向量a＋b與b＋a相等嗎？ab12思考5：如圖，設(shè)，，，則(a＋b)＋c與a＋(b＋c)分別等于哪個(gè)向量？由此得到什么結(jié)論？OABCabc結(jié)合律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考6：若a＋b＝0或a－b＝0，則向量a與b的關(guān)系分別是什么？相反向量相等向量思考5：如圖，設(shè)，，，則(a＋b)13理論遷移例在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，化簡下列各式：BACDB1A1C1D1理論遷移例在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，141.空間向量是平面向量的拓展，其相關(guān)概念、表示方法、和差運(yùn)算法則和運(yùn)算律等，與平面向量具有一致性.小結(jié)作業(yè)2.空間向量與平面向量的區(qū)別在于表示空間向量的有向線段不一定共面，而表示平面向量的有向線段一定共面.1.空間向量是平面向量的拓展，其相關(guān)概念、表示方法、和差運(yùn)算153.任意兩個(gè)空間向量可以通過平移使其共面，因此，兩個(gè)空間向量的和差運(yùn)算實(shí)質(zhì)是平面向量的和差運(yùn)算，多個(gè)空間向量的和差運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)平面向量的和差運(yùn)算來解決.作業(yè)：P86練習(xí)：1，2，3.3.任意兩個(gè)空間向量可以通過平移使其共面，因此，兩個(gè)空間向量163.1空間向量及其運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算17問題提出1.空間向量與平面向量的概念是一樣的，都是指具有大小和方向的量，對(duì)于兩個(gè)向量a、b，如何體現(xiàn)它們是空間向量還是平面向量？表示向量的有向線段所在直線異面與共面.問題提出1.空間向量與平面向量的概念是一樣的，都是指具有大小182.如何求作兩個(gè)空間向量的和向量與差向量？先平移到同一個(gè)平面內(nèi)，再利用平行四邊形法則或三角形法則求作其和向量與差向量.3.在空間中，求作三個(gè)不共面向量的和向量有何運(yùn)算法則？折線法則，平行六面體法則2.如何求作兩個(gè)空間向量的和向量與差向量？先平移到同一個(gè)平194.空間向量的基本概念和加減運(yùn)算，都是平面向量的推廣.在平面向量中有向量的數(shù)乘運(yùn)算，推廣到空間，就能建立空間向量的數(shù)乘運(yùn)算理論體系.4.空間向量的基本概念和加減運(yùn)算，都是平面向量的推廣.在平面20空間向量空間向量21探究（一）：數(shù)乘運(yùn)算的含義

思考1：在平面向量中，實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積λa還是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算，其中向量λa與a的大小和方向有什么關(guān)系？概念：實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積λa.大?。簗λa|＝|λ|·|a|;方向：λ＞0時(shí)同向，λ＜0時(shí)反向，λ＝0時(shí)λa＝0.探究（一）：數(shù)乘運(yùn)算的含義思考1：在平面向量中，實(shí)數(shù)λ與向22思考2：平面向量的數(shù)乘運(yùn)算在空間向量中成立嗎？對(duì)于實(shí)數(shù)λ，μ，則λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a＋b)分別等于什么？λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2：平面向量的數(shù)乘運(yùn)算在空間向量中成立嗎？對(duì)于實(shí)數(shù)λ，μ23探究（二）：共線向量的概念與定理

思考1：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，如果空間向量a，b，c是一組平行向量，那么表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系有哪幾種可能？探究（二）：共線向量的概念與定理思考1：如果表示空間向量的24思考2：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b，若a＝λb，則a與b的有什么位置關(guān)系？反之成立嗎？若a＝λb，則a與b共線；反之，當(dāng)b＝0時(shí)不成立.思考3：對(duì)空間兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a//b的充要條件是什么？存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.思考2：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b，若a＝λb，則a與b的25思考4：如圖，已知點(diǎn)A和非零向量a，若直線l經(jīng)過點(diǎn)A且平行于向量a所在直線，則向量a叫做直線l的方向向量，那么點(diǎn)P在直線l上的充要條件是什么？alAP存在實(shí)數(shù)t，使＝ta思考5：對(duì)空間任意一點(diǎn)O，向量與、的關(guān)系如何？上述結(jié)論可作怎樣的變式？思考4：如圖，已知點(diǎn)A和非零向量a，若直線l經(jīng)過點(diǎn)A且平行于26思考6：在直線l上取＝a，則向量式 可作哪些變形？你能從中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？若，則點(diǎn)P、A、B共線的充要條件是x＋y＝1；點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)的充要條件是思考6：在直線l上?。絘，則向量式 27探究（三）：共面向量的概念與定理

OAOA思考1：已知平面α和向量a，作，如果直線OA平行于α或在α內(nèi)，則稱向量a平行于平面α，記作a//α.一組空間向量可以都與平面α平行嗎？αa探究（三）：共面向量的概念與定理OAOA思考1：已知平面α28思考2：平行于同一平面的向量，叫做共面向量，空間任意兩個(gè)向量一定共面嗎？任意三個(gè)向量一定共面嗎？思考2：平行于同一平面的向量，叫做共面向量，空間任意兩個(gè)向29思考3：如果兩個(gè)向量a，b不共線，若向量p與a，b共面，由平面向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.反之成立嗎？由此可得什么結(jié)論？若向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是：存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.思考3：如果兩個(gè)向量a，b不共線，若向量p與a，b共面，由平30思考4：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？APBC存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使思考4：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？APB31思考5：對(duì)空間任一點(diǎn)O，上述向量式可變形為，進(jìn)一步變形可得什么結(jié)論？對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，若，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是x＋y＋z＝1.思考5：對(duì)空間任一點(diǎn)O，上述向量式可變形為，對(duì)空間任一點(diǎn)O和32例1在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：向量與 、共面.理論遷移ABCDEF例1在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中33例2已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量，，，，求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）平面AC//平面EG．OABCDEFGH例2已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量34小結(jié)作業(yè)1.向量平行、共面與直線平行、共面是不同的概念，共線向量通過平移可以移到同一條直線上，共面向量通過平移可以移到同一個(gè)平面上.2.空間向量共線定理與平面向量共線定理是一致的，空間向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判斷空間向量是否共面的理論依據(jù).小結(jié)作業(yè)1.向量平行、共面與直線平行、共面是不同的概念，共線353.利用空間向量共線定理和共面定理，可以解決立體幾何中的共點(diǎn)、共線、共面和平行等問題，這是一種向量方法.作業(yè)：P89練習(xí)：1，2，3.3.利用空間向量共線定理和共面定理，可以解決立體幾何中的共點(diǎn)363.1空間向量及其運(yùn)算3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算37問題提出1.空間向量a，b(b≠0)共線的充要條件是什么？存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.2.如果向量a，b不共線，向量p與a，b共面的充要條件是什么？存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.問題提出1.空間向量a，b(b≠0)共線的充要條件是什么？383.若，則點(diǎn)P、A、B共線的充要條件是什么？若，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？x＋y＋z＝1x＋y＝14.空間任意兩個(gè)向量總是共面的，任何兩個(gè)平面向量都有數(shù)量積，因此，空間任意兩個(gè)向量也有數(shù)量積運(yùn)算.3.若，則點(diǎn)P、A、B共線的充要39空間向量的空間向量的40探究（一）：數(shù)量積的概念

思考1：類比平面向量，對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，如何確定其夾角？在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，規(guī)定0≤〈a，b〉≤π.OABab探究（一）：數(shù)量積的概念思考1：類比平面向量，對(duì)于空間兩41思考2：對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，〈a，b〉與〈b，a〉，〈a，b〉與〈－a，b〉的大小關(guān)系如何？〈a，b〉＝〈b，a〉〈a，b〉＋〈－a，b〉＝π思考3：若〈a，b〉＝90°，則向量a與b的位置關(guān)系如何？a⊥b思考2：對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，〈a，b〉與〈b，a〉，42思考4：對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，那么a·b有什么幾何意義？數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘積，abab思考4：對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，|a||b|cos〈a，43探究（二）：數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

思考1：a·a等于什么？該等式有何應(yīng)用價(jià)值？a·a＝|a|2，求向量的模.思考2：對(duì)任意向量a，b，在什么條件下a·b＝0？a＝0或b＝0或a⊥b.思考3：a·b與b·a有什么關(guān)系？如何解釋？a·b＝b·a探究（二）：數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)思考1：a·a等于什么？該等44思考4：設(shè)λ為實(shí)數(shù)，(λa)·b與λ(a·b)，a·(λb)有什么關(guān)系？如何證明？(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)思考5：a·(b＋c)與a·b＋a·c相等嗎？如何證明？a·(b＋c)＝a·b＋a·c思考6：(a·b)·c與a·(b·c)相等嗎？為什么？(a·b)·c≠a·(b·c)思考7：若a·b＝a·c，能得出b＝c嗎？不能思考4：設(shè)λ為實(shí)數(shù)，(λa)·b與λ(a·b)，a·(λb)45理論遷移例1用向量方法證明三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.POAl理論遷移例1用向量方法證明三垂線定理：平面內(nèi)的一條46例2用向量方法證明直線和平面垂直的判定定理：已知m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線，直線l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α．αlmng例2用向量方法證明直線和平面垂直的判定定理：αlm47小結(jié)作業(yè)1.由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)量積運(yùn)算的理論體系完全一樣.2.對(duì)于空間線線垂直，線面垂直問題可以轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零來處理，同時(shí)，利用向量的數(shù)量積還可以計(jì)算夾角和距離.小結(jié)作業(yè)1.由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空48作業(yè)：P92練習(xí)：1，2，3.作業(yè)：49空間向量及其運(yùn)算習(xí)題課空間向量及其運(yùn)算習(xí)題課50D例1在三棱錐O－ABC中，點(diǎn)M是△ABC的重心，求證：.OABCMD例1在三棱錐O－ABC中，點(diǎn)M是△ABC的重心，求證51例2在空間四邊形ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC．DABC例2在空間四邊形ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD52例3如圖，正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，點(diǎn)M、N分別在AE、BD上，且AM＝DN，求證：MN//平面BCF.DABCMENF例3如圖，正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，點(diǎn)53例4在正四面體OABC中，E、F分別是AB、OC的中點(diǎn)，求異面直線OE與BF所成的角的余弦值.OABCFE例4在正四面體OABC中，E、F分別是AB、OC的中54例5如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA與BC的夾角的余弦值.OABC例5如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝55作業(yè)：P98習(xí)題3.1A組：3，4，5.作業(yè)：563.1空間向量及其運(yùn)算3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.4空間向量的正交分解第57問題提出1.平面向量基本定理是什么？如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.問題提出1.平面向量基本定理是什么？如果e1、e2是582.平面向量的坐標(biāo)表示的基本原理是什么？在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，若a＝xi＋yj，則把有序數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).若將向量a的起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo).2.平面向量的坐標(biāo)表示的基本原理是什么？在平面直角坐標(biāo)593.根據(jù)平面向量基本定理，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p都可以用兩個(gè)不共線的向量a，b來表示，我們?cè)O(shè)想將這個(gè)原理類推到空間，并建立空間向量基本定理及其坐標(biāo)表示.3.根據(jù)平面向量基本定理，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p都可以用兩個(gè)60空間向量正交分空間向量正交分61探究（一）：空間向量基本定理

思考1：設(shè)a，b是空間不共線的兩個(gè)向量，對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，能用向量a，b線性表示嗎？OabPNO!探究（一）：空間向量基本定理思考1：設(shè)a，b是空間不共線的62思考2:設(shè)a，b，c是空間不共面的三個(gè)向量，作a，b，c，p，過點(diǎn)P作PM//CO，交平面AOB于點(diǎn)M，那么向量 能用向量，線性表示嗎？OABCPM＝xa＋yb

思考2:設(shè)a，b，c是空間不共面的三個(gè)向量，作a，63思考3：向量與向量的位置關(guān)系如何？向量用向量如何表示？OABCPM思考3：向量與向量的位置關(guān)系如何？向量64思考4：向量與，有什么關(guān)系？向量與，，有什么關(guān)系？OABCPM思考5：上述分析表明什么結(jié)論？如何用適當(dāng)?shù)恼Z言闡述？思考4：向量與，有什么關(guān)系？向量與65若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.思考6：上述結(jié)論就是空間向量基本定理，其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量.那么空間任意三個(gè)向量都能構(gòu)成一個(gè)基底嗎？零向量能否作基向量？一個(gè)基底中的三個(gè)基向量是否要起點(diǎn)相同？若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，存在有66思考7：以{a，b，c}為基底，空間所有向量組成的集合如何表示？{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}.思考8：對(duì)于基底{a，b，c}，設(shè)p＝xa＋yb＋zc，當(dāng)x，y，z至少一個(gè)為0時(shí)，向量p的位置分別如何？思考7：以{a，b，c}為基底，空間所有向量組成的集合如何表67探究（二）：空間向量的坐標(biāo)表示思考1：若空間向量的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，若三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，則稱這個(gè)基底為單位正交基底，在哪些空間幾何圖形中能找到正交基底和單位正交基底？探究（二）：空間向量的坐標(biāo)表示思考1：若空間向量的一個(gè)基底中68思考2：設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)O的單位正交基底，分別以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，用基底{e1，e2，e3}可以怎樣表示？xyzOe2e1e3pp＝xe1＋ye2＋ze3

思考2：設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)O的單位正交基底，分別69思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，則把x，y，z稱為向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作p＝(x，y，z).對(duì)一個(gè)給定的向量p，其坐標(biāo)惟一嗎？相等向量的坐標(biāo)相等嗎？xyzOe2e1e3p思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，則把x，y，z稱為向量70思考4：若向量p＝(x，y，z)，作 p，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？(x，y，z)xyzOe2e1e3pp思考4：若向量p＝(x，y，z)，作 p，則點(diǎn)71理論遷移例1如圖，點(diǎn)M、N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)，用向量，，表示和.POABCMNQ理論遷移例1如圖，點(diǎn)M、N分別是四面體OABC的邊OA72例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是CD1，C1D1的中點(diǎn)，用基底 分別表示向量和.BACDB1A1C1D1MN例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分73小結(jié)作業(yè)1.空間向量基本定理表明，空間任意一個(gè)向量都可以用三個(gè)不共面的向量線性表示，并且基向量的系數(shù)是惟一的，它是平面向量基本定理的推廣，也是空間向量的合成與分解原理.2.把空間向量放到空間直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，向量可以用坐標(biāo)表示，從而使空間向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，其運(yùn)算原理下節(jié)課再學(xué)習(xí).小結(jié)作業(yè)1.空間向量基本定理表明，空間任意一個(gè)向量都可以用三74作業(yè)：P94練習(xí)：1，2，3.作業(yè)：753.1空間向量及其運(yùn)算3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表76問題提出1.空間向量基本定理是什么？若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.2.在空間直角坐標(biāo)系中，確定向量p的坐標(biāo)的基本原理是什么？若p＝xe1＋ye2＋ze3，則p＝(x，y，z).問題提出1.空間向量基本定理是什么？若三個(gè)向量a，b，773.空間向量可以用坐標(biāo)表示，從而空間向量的運(yùn)算和向量的關(guān)系也可以用坐標(biāo)表示，其相關(guān)結(jié)論，我們將逐一探究.3.空間向量可以用坐標(biāo)表示，從而空間向量的運(yùn)算和向量的關(guān)系也78空間向量運(yùn)算空間向量運(yùn)算79探究（一）：向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

思考1：向量a＋b用基底{i，j，k}如何表示？a＋b的坐標(biāo)是什么？設(shè){i，j，k}為單位正交基底，向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)思考2：根據(jù)上述原理，向量a－b的坐標(biāo)是什么？

a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)探究（一）：向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示思考1：向量a＋b用基底{80思考3：設(shè)λ為實(shí)數(shù)，向量λa用基底{i，j，k}如何表示？λa的坐標(biāo)是什么？λa＝(λx1，λy1，λz1)思考4：利用a＝x1i＋y1j＋z1k，b＝x2i＋y2j＋z2k，a·b等于什么？

a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2

思考3：設(shè)λ為實(shí)數(shù)，向量λa用基底{i，j，k}如何表示？81探究（二）：向量關(guān)系的坐標(biāo)表示

設(shè)向量a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2).思考1：若a//b，則向量a，b的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R).思考2：若a⊥b，則向量a，b的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？x1x2＋y1y2＋z1z2＝0探究（二）：向量關(guān)系的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1，z82思考3：利用向量a的坐標(biāo)如何求|a|？

|a|＝思考4：利用向量a，b的坐標(biāo)如何求它們的夾角？cos〈a，b〉＝思考3：利用向量a的坐標(biāo)如何求|a|？|a|＝思考4：利用83思考5：若點(diǎn)A(x1，y1，z1)，點(diǎn)B(x2，y2，z2)，則向量的坐標(biāo)是什么？A、B兩點(diǎn)間的距離如何計(jì)算？＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，思考6：已知點(diǎn)A(x1，y1，z1)，點(diǎn)B(x2，y2，z2)，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？思考5：若點(diǎn)A(x1，y1，z1)，點(diǎn)B(x2，y2，z2)84例1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是A1B1，C1D1的一個(gè)四等分點(diǎn)，求異面直線BE與DF所成角的余弦值.理論遷移xyzEABCA1FB1C1D1D例1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E85例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是BB1，B1D1的中點(diǎn)，求證：EF⊥A1D.xyzEABCA1FB1C1D1D例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)861.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算是在空間向量基本定理和空間向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上建立起來的理論，它與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的算法原理是一致的，其不同點(diǎn)體現(xiàn)在空間向量是三維坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量是二維坐標(biāo)運(yùn)算.小結(jié)作業(yè)1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算是在空間向量基本定理和空間向量的坐872.求空間向量的坐標(biāo)有幾何法、差向量法、待定系數(shù)法等，若向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，一般用幾何法；若向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)是一些特殊點(diǎn)，一般用差向量法，即終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)；若向量的具體位置不確定，一般用待定系數(shù)法.3.對(duì)立體幾何中的某些證明或計(jì)算問題，如果圖形中有三條互相垂直的直線，可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.2.求空間向量的坐標(biāo)有幾何法、差向量法、待定系數(shù)法等，88作業(yè)：P97練習(xí)：1，2，3.作業(yè)：89謝謝！供婁浪頹藍(lán)辣襖駒靴鋸瀾互慌仲寫繹衰斡染圾明將呆則孰盆瘸砒腥悉漠塹脊髓灰質(zhì)炎(講課2019)脊髓灰質(zhì)炎(講課2019)謝謝！供婁浪頹藍(lán)辣襖駒靴鋸瀾互慌仲寫繹衰斡染圾明將呆則孰盆瘸90供婁浪頹藍(lán)辣襖駒靴鋸瀾互慌仲寫繹衰斡染圾明將呆則孰盆瘸砒腥悉漠塹脊髓灰質(zhì)炎(講課2019)脊髓灰質(zhì)炎(講課2019)供婁浪頹藍(lán)辣襖駒靴鋸瀾互慌仲寫繹衰斡染圾明將呆則孰盆瘸砒腥悉91問題提出1.在平面中，什么叫向量？即有大小又有方向的量叫做向量.2.兩個(gè)平面向量相加、相減的運(yùn)算法則分別是什么？平行四邊形法則，三角形法則.

問題提出1.在平面中，什么叫向量？即有大小又有方向的量叫做923.如圖，一塊質(zhì)量為500kg的均勻正三角形鋼板，在它的頂點(diǎn)處分別受力F1、F2、F3，每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|.若分析這三個(gè)力至少為多大時(shí)，才能提起這塊鋼板，以及這塊鋼板在這些力的作用下如何運(yùn)動(dòng)，需要有空間向量的知識(shí)才能解決.F2F1F33.如圖，一塊質(zhì)量為500kg的均勻正三角形鋼板，在它的頂點(diǎn)93空間向量空間向量94探究（一）：空間向量的有關(guān)概念

思考1：平面內(nèi)既有大小又有方向的量與空間中既有大小又有方向的量有本質(zhì)差別嗎？如何定義空間向量？空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量.探究（一）：空間向量的有關(guān)概念思考1：平面內(nèi)既有大小又有方95思考2：向量的大小叫做向量的長度或模，在空間中，若向量a的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B，則向量a可以怎樣表示？其模怎樣表示？向量的表示：模的表示：|a|或BAa思考2：向量的大小叫做向量的長度或模，在空間中，若向量a的起96思考3：在空間向量中，怎樣定義零向量，單位向量，相反向量和相等向量？

零向量：模為0的向量；

單位向量：模為1的向量；

相反向量：模相等且方向相反的向量；

相等向量：模相等且方向相同的向量.思考3：在空間向量中，怎樣定義零向量，單位向量，相反向量和相97思考4：在平面向量中，若兩個(gè)向量可以平移到同一條直線上，則稱這兩個(gè)向量為共線向量.在空間向量中，若兩個(gè)向量可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，則稱這兩個(gè)向量為共面向量.那么空間任意兩個(gè)向量共面嗎？任意三個(gè)向量共面嗎？思考4：在平面向量中，若兩個(gè)向量可以平移到同一條直線上，則稱98空間向量及其運(yùn)算共課件99探究（二）：空間向量的加減運(yùn)算

思考1：對(duì)于兩個(gè)平面向量，可以利用平行四邊形法則或三角形法則求作其和向量與差向量，如果空間向量a與b所在直線異面，如何求作它們的和向量與差向量？aba＋baba－b探究（二）：空間向量的加減運(yùn)算思考1：對(duì)于兩個(gè)平面向量，可100思考2：如果空間三個(gè)向量a，b，c不共面，如何求作它們的和向量？abca+b+c思考2：如果空間三個(gè)向量a，b，c不共面，如何求作它們的和向101思考3：如圖，在平行六面體(底面是平行四邊形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，向量表示哪個(gè)向量？BACDB1A1C1D1思考3：如圖，在平行六面體(底面是平行四邊形的四棱柱)ABC102思考4：對(duì)于空間向量a，b，向量a＋b與b＋a相等嗎？aba+bb+a交換律：a＋b＝b＋a思考4：對(duì)于空間向量a，b，向量a＋b與b＋a相等嗎？ab103思考5：如圖，設(shè)，，，則(a＋b)＋c與a＋(b＋c)分別等于哪個(gè)向量？由此得到什么結(jié)論？OABCabc結(jié)合律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考6：若a＋b＝0或a－b＝0，則向量a與b的關(guān)系分別是什么？相反向量相等向量思考5：如圖，設(shè)，，，則(a＋b)104理論遷移例在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，化簡下列各式：BACDB1A1C1D1理論遷移例在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，1051.空間向量是平面向量的拓展，其相關(guān)概念、表示方法、和差運(yùn)算法則和運(yùn)算律等，與平面向量具有一致性.小結(jié)作業(yè)2.空間向量與平面向量的區(qū)別在于表示空間向量的有向線段不一定共面，而表示平面向量的有向線段一定共面.1.空間向量是平面向量的拓展，其相關(guān)概念、表示方法、和差運(yùn)算1063.任意兩個(gè)空間向量可以通過平移使其共面，因此，兩個(gè)空間向量的和差運(yùn)算實(shí)質(zhì)是平面向量的和差運(yùn)算，多個(gè)空間向量的和差運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)平面向量的和差運(yùn)算來解決.作業(yè)：P86練習(xí)：1，2，3.3.任意兩個(gè)空間向量可以通過平移使其共面，因此，兩個(gè)空間向量1073.1空間向量及其運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算108問題提出1.空間向量與平面向量的概念是一樣的，都是指具有大小和方向的量，對(duì)于兩個(gè)向量a、b，如何體現(xiàn)它們是空間向量還是平面向量？表示向量的有向線段所在直線異面與共面.問題提出1.空間向量與平面向量的概念是一樣的，都是指具有大小1092.如何求作兩個(gè)空間向量的和向量與差向量？先平移到同一個(gè)平面內(nèi)，再利用平行四邊形法則或三角形法則求作其和向量與差向量.3.在空間中，求作三個(gè)不共面向量的和向量有何運(yùn)算法則？折線法則，平行六面體法則2.如何求作兩個(gè)空間向量的和向量與差向量？先平移到同一個(gè)平1104.空間向量的基本概念和加減運(yùn)算，都是平面向量的推廣.在平面向量中有向量的數(shù)乘運(yùn)算，推廣到空間，就能建立空間向量的數(shù)乘運(yùn)算理論體系.4.空間向量的基本概念和加減運(yùn)算，都是平面向量的推廣.在平面111空間向量空間向量112探究（一）：數(shù)乘運(yùn)算的含義

思考1：在平面向量中，實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積λa還是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算，其中向量λa與a的大小和方向有什么關(guān)系？概念：實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積λa.大?。簗λa|＝|λ|·|a|;方向：λ＞0時(shí)同向，λ＜0時(shí)反向，λ＝0時(shí)λa＝0.探究（一）：數(shù)乘運(yùn)算的含義思考1：在平面向量中，實(shí)數(shù)λ與向113思考2：平面向量的數(shù)乘運(yùn)算在空間向量中成立嗎？對(duì)于實(shí)數(shù)λ，μ，則λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a＋b)分別等于什么？λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2：平面向量的數(shù)乘運(yùn)算在空間向量中成立嗎？對(duì)于實(shí)數(shù)λ，μ114探究（二）：共線向量的概念與定理

思考1：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，如果空間向量a，b，c是一組平行向量，那么表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系有哪幾種可能？探究（二）：共線向量的概念與定理思考1：如果表示空間向量的115思考2：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b，若a＝λb，則a與b的有什么位置關(guān)系？反之成立嗎？若a＝λb，則a與b共線；反之，當(dāng)b＝0時(shí)不成立.思考3：對(duì)空間兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a//b的充要條件是什么？存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.思考2：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b，若a＝λb，則a與b的116思考4：如圖，已知點(diǎn)A和非零向量a，若直線l經(jīng)過點(diǎn)A且平行于向量a所在直線，則向量a叫做直線l的方向向量，那么點(diǎn)P在直線l上的充要條件是什么？alAP存在實(shí)數(shù)t，使＝ta思考5：對(duì)空間任意一點(diǎn)O，向量與、的關(guān)系如何？上述結(jié)論可作怎樣的變式？思考4：如圖，已知點(diǎn)A和非零向量a，若直線l經(jīng)過點(diǎn)A且平行于117思考6：在直線l上?。絘，則向量式 可作哪些變形？你能從中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？若，則點(diǎn)P、A、B共線的充要條件是x＋y＝1；點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)的充要條件是思考6：在直線l上?。絘，則向量式 118探究（三）：共面向量的概念與定理

OAOA思考1：已知平面α和向量a，作，如果直線OA平行于α或在α內(nèi)，則稱向量a平行于平面α，記作a//α.一組空間向量可以都與平面α平行嗎？αa探究（三）：共面向量的概念與定理OAOA思考1：已知平面α119思考2：平行于同一平面的向量，叫做共面向量，空間任意兩個(gè)向量一定共面嗎？任意三個(gè)向量一定共面嗎？思考2：平行于同一平面的向量，叫做共面向量，空間任意兩個(gè)向120思考3：如果兩個(gè)向量a，b不共線，若向量p與a，b共面，由平面向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.反之成立嗎？由此可得什么結(jié)論？若向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是：存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.思考3：如果兩個(gè)向量a，b不共線，若向量p與a，b共面，由平121思考4：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？APBC存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使思考4：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？APB122思考5：對(duì)空間任一點(diǎn)O，上述向量式可變形為，進(jìn)一步變形可得什么結(jié)論？對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，若，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是x＋y＋z＝1.思考5：對(duì)空間任一點(diǎn)O，上述向量式可變形為，對(duì)空間任一點(diǎn)O和123例1在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：向量與 、共面.理論遷移ABCDEF例1在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中124例2已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量，，，，求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）平面AC//平面EG．OABCDEFGH例2已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量125小結(jié)作業(yè)1.向量平行、共面與直線平行、共面是不同的概念，共線向量通過平移可以移到同一條直線上，共面向量通過平移可以移到同一個(gè)平面上.2.空間向量共線定理與平面向量共線定理是一致的，空間向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判斷空間向量是否共面的理論依據(jù).小結(jié)作業(yè)1.向量平行、共面與直線平行、共面是不同的概念，共線1263.利用空間向量共線定理和共面定理，可以解決立體幾何中的共點(diǎn)、共線、共面和平行等問題，這是一種向量方法.作業(yè)：P89練習(xí)：1，2，3.3.利用空間向量共線定理和共面定理，可以解決立體幾何中的共點(diǎn)1273.1空間向量及其運(yùn)算3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算128問題提出1.空間向量a，b(b≠0)共線的充要條件是什么？存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.2.如果向量a，b不共線，向量p與a，b共面的充要條件是什么？存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.問題提出1.空間向量a，b(b≠0)共線的充要條件是什么？1293.若，則點(diǎn)P、A、B共線的充要條件是什么？若，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？x＋y＋z＝1x＋y＝14.空間任意兩個(gè)向量總是共面的，任何兩個(gè)平面向量都有數(shù)量積，因此，空間任意兩個(gè)向量也有數(shù)量積運(yùn)算.3.若，則點(diǎn)P、A、B共線的充要130空間向量的空間向量的131探究（一）：數(shù)量積的概念

思考1：類比平面向量，對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，如何確定其夾角？在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，規(guī)定0≤〈a，b〉≤π.OABab探究（一）：數(shù)量積的概念思考1：類比平面向量，對(duì)于空間兩132思考2：對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，〈a，b〉與〈b，a〉，〈a，b〉與〈－a，b〉的大小關(guān)系如何？〈a，b〉＝〈b，a〉〈a，b〉＋〈－a，b〉＝π思考3：若〈a，b〉＝90°，則向量a與b的位置關(guān)系如何？a⊥b思考2：對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，〈a，b〉與〈b，a〉，133思考4：對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，那么a·b有什么幾何意義？數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘積，abab思考4：對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b，|a||b|cos〈a，134探究（二）：數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

思考1：a·a等于什么？該等式有何應(yīng)用價(jià)值？a·a＝|a|2，求向量的模.思考2：對(duì)任意向量a，b，在什么條件下a·b＝0？a＝0或b＝0或a⊥b.思考3：a·b與b·a有什么關(guān)系？如何解釋？a·b＝b·a探究（二）：數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)思考1：a·a等于什么？該等135思考4：設(shè)λ為實(shí)數(shù)，(λa)·b與λ(a·b)，a·(λb)有什么關(guān)系？如何證明？(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)思考5：a·(b＋c)與a·b＋a·c相等嗎？如何證明？a·(b＋c)＝a·b＋a·c思考6：(a·b)·c與a·(b·c)相等嗎？為什么？(a·b)·c≠a·(b·c)思考7：若a·b＝a·c，能得出b＝c嗎？不能思考4：設(shè)λ為實(shí)數(shù)，(λa)·b與λ(a·b)，a·(λb)136理論遷移例1用向量方法證明三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.POAl理論遷移例1用向量方法證明三垂線定理：平面內(nèi)的一條137例2用向量方法證明直線和平面垂直的判定定理：已知m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線，直線l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α．αlmng例2用向量方法證明直線和平面垂直的判定定理：αlm138小結(jié)作業(yè)1.由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)量積運(yùn)算的理論體系完全一樣.2.對(duì)于空間線線垂直，線面垂直問題可以轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零來處理，同時(shí)，利用向量的數(shù)量積還可以計(jì)算夾角和距離.小結(jié)作業(yè)1.由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空139作業(yè)：P92練習(xí)：1，2，3.作業(yè)：140空間向量及其運(yùn)算習(xí)題課空間向量及其運(yùn)算習(xí)題課141D例1在三棱錐O－ABC中，點(diǎn)M是△ABC的重心，求證：.OABCMD例1在三棱錐O－ABC中，點(diǎn)M是△ABC的重心，求證142例2在空間四邊形ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC．DABC例2在空間四邊形ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD143例3如圖，正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，點(diǎn)M、N分別在AE、BD上，且AM＝DN，求證：MN//平面BCF.DABCMENF例3如圖，正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，點(diǎn)144例4在正四面體OABC中，E、F分別是AB、OC的中點(diǎn)，求異面直線OE與BF所成的角的余弦值.OABCFE例4在正四面體OABC中，E、F分別是AB、OC的中145例5如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA與BC的夾角的余弦值.OABC例5如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝146作業(yè)：P98習(xí)題3.1A組：3，4，5.作業(yè)：1473.1空間向量及其運(yùn)算3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.4空間向量的正交分解第148問題提出1.平面向量基本定理是什么？如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.問題提出1.平面向量基本定理是什么？如果e1、e2是1492.平面向量的坐標(biāo)表示的基本原理是什么？在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，若a＝xi＋yj，則把有序數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).若將向量a的起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo).2.平面向量的坐標(biāo)表示的基本原理是什么？在平面直角坐標(biāo)1503.根據(jù)平面向量基本定理，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p都可以用兩個(gè)不共線的向量a，b來表示，我們?cè)O(shè)想將這個(gè)原理類推到空間，并建立空間向量基本定理及其坐標(biāo)表示.3.根據(jù)平面向量基本定理，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p都可以用兩個(gè)151空間向量正交分空間向量正交分152探究（一）：空間向量基本定理

思考1：設(shè)a，b是空間不共線的兩個(gè)向量，對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，能用向量a，b線性表示嗎？OabPNO!探究（一）：空間向量基本定理思考1：設(shè)a，b是空間不共線的153思考2:設(shè)a，b，c是空間不共面的三個(gè)向量，作a，b，c，p，過點(diǎn)P作PM//CO，交平面AOB于點(diǎn)M，那么向量 能用向量，線性表示嗎？OABCPM＝xa＋yb

思考2:設(shè)a，b，c是空間不共面的三個(gè)向量，作a，154思考3：向量與向量的位置關(guān)系如何？向量用向量如何表示？OABCPM思考3：向量與向量的位置關(guān)系如何？向量155思考4：向量與，有什么關(guān)系？向量與，，有什么關(guān)系？OABCPM思考5：上述分析表明什么結(jié)論？如何用適當(dāng)?shù)恼Z言闡述？思考4：向量與，有什么關(guān)系？向量與156若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.思考6：上述結(jié)論就是空間向量基本定理，其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量.那么空間任意三個(gè)向量都能構(gòu)成一個(gè)基底嗎？零向量能否作基向量？一個(gè)基底中的三個(gè)基向量是否要起點(diǎn)相同？若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，存在有157思考7：以{a，b，c}為基底，空間所有向量組成的集合如何表示？{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}.思考8：對(duì)于基底{a，b，c}，設(shè)p＝xa＋yb＋zc，當(dāng)x，y，z至少一個(gè)為0時(shí)，向量p的位置分別如何？思考7：以{a，b，c}為基底，空間所有向量組成的集合如何表158探究（二）：空間向量的坐標(biāo)表示思考1：若空間向量的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，若三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，則稱這個(gè)基底為單位正交基底，在哪些空間幾何圖形中能找到正交基底和單位正交基底？探究（二）：空間向量的坐標(biāo)表示思考1：若空間向量的一個(gè)基底中159思考2：設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)O的單位正交基底，分別以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，用基底{e1，e2，e3}可以怎樣表示？xyzOe2e1e3pp＝xe1＋ye2＋ze3

思考2：設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)O的單位正交基底，分別160思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，則把x，y，z稱為向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作p＝(x，y，z).對(duì)一個(gè)給定的向量p，其坐標(biāo)惟一嗎？相等向量的坐標(biāo)相等嗎？xyzOe2e1e3p思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，則把x，y，z稱為向量161思考4：若向量p＝(x，y，z)，作 p，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？(x，y，z)xyzOe2e1e3pp思考4：若向量p＝(x，y，z)，作 p，則點(diǎn)162理論遷移例1如圖，點(diǎn)M、N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)，用向量，，表示和.POABCMNQ理論遷移例1如圖，點(diǎn)M、N分別是四面體OABC的邊OA163例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是CD1，C1D1的中點(diǎn)，用基底 分別表示向量和.BACDB1A1C1D1MN例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分164小結(jié)作業(yè)1.空間向量基本定理表明，空間任意一個(gè)向量都可以用三個(gè)不共面的向量線性表示，并且基向量的系數(shù)是惟一的，它是平面向量基本定理的推廣，也是空間向量的合成與分解原理.2.把空間向量放到空間直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，向量可以用坐標(biāo)表示，從而使空間向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，其運(yùn)算原理下節(jié)課再學(xué)習(xí).小結(jié)作業(yè)1.空間向量基本定理表明，空間任意一個(gè)向量都可以用三165作業(yè)：P94練習(xí)：1，2，3.作業(yè)：1663.1空間向