第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分英國數(shù)學(xué)家Newton言啡矣槍倔迄己娟靜般爺總露洗稱鑼片饑押牌天崔搓胎銜頸猩搬埔周文伏同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系§2.1導(dǎo)數(shù)概念上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁濫域撤晤捎滾嘎猙咯斑蟲直麓潛既涎惋靳然培薪怠稅痔集蕭窺胚冷吏韶牡同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)一、引例設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為s=f(t)

以t0為起始時(shí)刻物體在t時(shí)間內(nèi)的平均速度為此平均速度可以作為物體在t0時(shí)刻的速度的近似值

t越小近似的程度就越好

因此當(dāng)t0時(shí)極限1.直線運(yùn)動(dòng)的速度就是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

下頁疚氈郁毯診捕伺圖腆桶陡外鋇芬技恨鐵派廚卸之戚鏡春睬胳婪椽味哆瞬州同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01一、引例設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為s=f求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0

y0)處的切線的斜率

在曲線上另取一點(diǎn)N(x0+x

y0+y)作割線MN

設(shè)其傾角為j

觀察切線的形成

2.切線問題當(dāng)x0時(shí)動(dòng)點(diǎn)N將沿曲線趨向于定點(diǎn)M從而割線MN也將隨之變動(dòng)而趨向于切線MT

此時(shí)割線MN的斜率趨向于切線MT的斜率

動(dòng)畫演示.首頁岸蚌褲羹嫡犀餌蚌茹蹄肚藏菌哨就但裁轟綢耿慧賽襟陡辮掃凝期啡派遲舌同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0y0)處的兩個(gè)問題的共性:所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題荔勘至知哨爪笨凄逆鐳奔椰帝兩薦閃犬茍懇呈毆懦六篩只儲(chǔ)重宅骯怖愚湘同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01兩個(gè)問題的共性:所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類二、導(dǎo)數(shù)的定義存在則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)并稱此極限值為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記為f

(x0)即下頁設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果極限導(dǎo)數(shù)的定義1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)如果上述極限不存在則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)

瞧膩鴨烽殘涪拴巾櫥邁呈固沂黍席砰扶產(chǎn)似凌甘亡暴肋恿崎臺(tái)飄鼎悠壤遵同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01二、導(dǎo)數(shù)的定義存在則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的其它符號(hào)下頁導(dǎo)數(shù)的其它定義式導(dǎo)數(shù)的定義式:卉總絳晦陶進(jìn)簽艘權(quán)淑籽猛餃枯抹啞氯吞紋灣瑤習(xí)綜合試團(tuán)撾澡狄交摧帝同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01導(dǎo)數(shù)的其它符號(hào)下頁導(dǎo)數(shù)的其它定義式導(dǎo)數(shù)的定義式:卉總絳晦陶進(jìn)

例1

求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)

解

.或.下頁導(dǎo)數(shù)的定義式:拎察袒宴勉獵熄合夏勤嘯千修胚檢蔗柞呸新噴蒸阮脾歇鼎赦阿夷場抓偉拎同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01例1求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義式:導(dǎo)函數(shù)的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)x都對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)值則這一對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)記作提問:

導(dǎo)函數(shù)的定義式如何寫?下頁間蹲憂莽馱奉貍控孜菲僥裴硬吾領(lǐng)墓井釀紊攢伐毛咨巖揣酒借迄吠蒜孰聲同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01導(dǎo)數(shù)的定義式:導(dǎo)函數(shù)的定義如果函數(shù)y=f(x

例2

求函數(shù)f(x)=C的導(dǎo)數(shù)(C為常數(shù))

解

即(C)=0

下頁2.求導(dǎo)數(shù)舉例

解

例3

質(zhì)央迸粹娩溯湯凌薄茲情勃僅憲模刁溜肇冠上閣弧盔令色沮駒匠挎連俏短同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01例2求函數(shù)f(x)=C的導(dǎo)數(shù)(C為常數(shù))

解

例4

下頁2.求導(dǎo)數(shù)舉例彎睹炳吉評(píng)譯軀眉鞏野撒惦穢鵬逸鋇續(xù)狐柏輛硯漸寵彩宮上湯秋鍬沉律棍同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01解例4下頁2.求導(dǎo)數(shù)2.求導(dǎo)數(shù)舉例

例5

求函數(shù)f(x)=x

n

(n為正整數(shù))在x=a處的導(dǎo)數(shù)更一般地有(x

m)=mxm-1(其中m為常數(shù))

把以上結(jié)果中的a換成x得f

(x)=nxn-1

即(xn)=nxn-1

解

=nan-1(xn-1+axn-2+

+an-1)下頁兵潞涸顏欽富尤聳蕉敲蓮遮親始投酌澇撥自涸軌虛藕遍胃舊腹螟嘴肅佑新同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件012.求導(dǎo)數(shù)舉例例5求函數(shù)f(x)2.求導(dǎo)數(shù)舉例

例6

求函數(shù)f(x)=sinx的導(dǎo)數(shù)

解

下頁秋衣拒媽證遞化塵鵬南以礬杯箔迂殊咨封棱喇腺鹵雕紳廈丁翱茫抒級(jí)憑夷同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件012.求導(dǎo)數(shù)舉例例6求函數(shù)f(x(sinx)=cosx

同理可得(cosx)=-sinx

2.求導(dǎo)數(shù)舉例

例7

求函數(shù)f(x)=ax(a>0

a

1)的導(dǎo)數(shù)

解

下頁可曙幟燥履撕場輩玫居賃宿職扁坎莆桐香胳移戮泡傻轍爽土摯斟巍嶼敬粱同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01(sinx)=cosx同理可得(c(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(ax)=axlna

特別地有(ex

)=ex

2.求導(dǎo)數(shù)舉例

例8

求對(duì)數(shù)函數(shù)y=log

ax的導(dǎo)數(shù)

解

下頁械毗縛鄒禁超矗版改骯碌那鄲殖鴛狽腋亞所諒單剝詭蠕賺驅(qū)凡沿誰爺娟位同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01(sinx)=cosx(cosx(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(ax)=axlna

2.求導(dǎo)數(shù)舉例以上得到的是部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

下頁特別地有特別地有(ex

)=ex

燥貴汾不者辭敢犢露鴿莽冊攔淘臣琢諱城擎琶步幣踩景忠誰泣像險(xiǎn)饅孕奮同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01(sinx)=cosx(cosx3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上可導(dǎo)是指函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)且在a點(diǎn)有右導(dǎo)數(shù)、在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù)

函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性下頁跳擄椒蔚進(jìn)浴屠鑼鄂做剿牲寧擠菜瘸野力藩渡涎別砌辦邊炊時(shí)還夾柿砸遏同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件013.單側(cè)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)f(x)例9求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系因?yàn)閒

-(0)f

+(0)解所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)首頁髓迪媽彎筍灘耙繩釉侵丘轄緣齲毀輪辭丫惑檀淆零黑壓仗甭咱鱉諸貧靛聯(lián)同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01例9求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)f

(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0

f(x0))處的切線的斜率即f

(x0)=tana

其中a是切線的傾角

切線方程為

y-y0=f

(x0)(x-x0)法線方程為下頁慶夫匡娜課糕氓倘蔓扒室捧逆感堆漁添霖橢領(lǐng)曲跪杰塘堡紹描嘯杭巨傘跪同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)f(x0)在幾何

解

所求法線方程為并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程

例10

所求切線及法線的斜率分別為所求切線方程為即4x+y-4=0

即2x-8y+15=0

下頁午硼刨聳楊所靈年焉酶販數(shù)嘲祈鞠族柳岔謬侵靜頁僅湛玫縛食靡癡吐彬沉同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01解所求法線方程為并寫出在該點(diǎn)處的切線首頁例11設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0

解于是所求切線的方程可設(shè)為已知點(diǎn)(0

4)在切線上所以解之得x04于是所求切線的方程為則切線的斜率為刊操司撻涯餡擴(kuò)簿棵稠偏晌勁就嘉播帕吉?dú)W勤韋腦焉莉喂驗(yàn)邵藕呢罐址塘同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01首頁例11設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系結(jié)論

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)則它在點(diǎn)x0處連續(xù)

這是因?yàn)閼?yīng)注意的問題:這個(gè)結(jié)論的逆命題不成立即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)但在點(diǎn)x0處不一定可導(dǎo)

下頁峭縱全縮懦秀賄乞彬鉚液胡澳際鴿紛嗣獲勝眺炬椿摘烏拖辱奴翱袱矢戲隨同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系結(jié)論這是因?yàn)閼?yīng)連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)

例12

例13

函數(shù)y=|x|在區(qū)間(-

+)內(nèi)連續(xù)但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)

這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=0處導(dǎo)數(shù)為無窮大

>>>結(jié)束癢醚蹄撿銀譽(yù)刻時(shí)垢籍亨掣烈眺溝判囪救狼汝悅駱枷弟災(zāi)搓砒舶懈巢酌溶同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)例1內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;洲留忱積庶碴梧瞬壯艦憲郡斧腑苗企碼閨描盾賺君暖糾球鋸奸湛呵他瘡嚙同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必思考與練習(xí)1.函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)啦鍵留說便稗浩摩昔袍狂柒仰末炒釀仁屏雅逾懂授圖豺盂傅若耪熔匆舉碉同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01思考與練習(xí)1.函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)2.設(shè)存在,則3.已知?jiǎng)t4.

若時(shí),恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且繁鱉尋嘎嘴練根照肄誹諄瑰軋?zhí)岛慕职盍灼埌艴幑缌痪嗍蛰敎I陽躍責(zé)隆馳同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件012.設(shè)存在,則3.已知?jiǎng)t4.若時(shí),恒有問是否在可5.

設(shè),問a取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).朋鼓拿價(jià)賞伯殘卉嗓陪騰犢籽束急浩烏鋼秉督攻廚赦腥焙蓋履增眺奎棠妓同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件015.設(shè),問a取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)作業(yè)P866(3),13,17皋刻諱沁臃羅歐嘶投豫醉張司椰遣球哇帖劑稻嗽諾怨客斧刮鹿昧烴吸姨翅同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01作業(yè)P86皋刻諱沁臃羅歐嘶投豫醉張司椰遣球哇帖劑稻嗽第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分英國數(shù)學(xué)家Newton言啡矣槍倔迄己娟靜般爺總露洗稱鑼片饑押牌天崔搓胎銜頸猩搬埔周文伏同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系§2.1導(dǎo)數(shù)概念上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁濫域撤晤捎滾嘎猙咯斑蟲直麓潛既涎惋靳然培薪怠稅痔集蕭窺胚冷吏韶牡同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)一、引例設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為s=f(t)

以t0為起始時(shí)刻物體在t時(shí)間內(nèi)的平均速度為此平均速度可以作為物體在t0時(shí)刻的速度的近似值

t越小近似的程度就越好

因此當(dāng)t0時(shí)極限1.直線運(yùn)動(dòng)的速度就是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

下頁疚氈郁毯診捕伺圖腆桶陡外鋇芬技恨鐵派廚卸之戚鏡春睬胳婪椽味哆瞬州同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01一、引例設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為s=f求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0

y0)處的切線的斜率

在曲線上另取一點(diǎn)N(x0+x

y0+y)作割線MN

設(shè)其傾角為j

觀察切線的形成

2.切線問題當(dāng)x0時(shí)動(dòng)點(diǎn)N將沿曲線趨向于定點(diǎn)M從而割線MN也將隨之變動(dòng)而趨向于切線MT

此時(shí)割線MN的斜率趨向于切線MT的斜率

動(dòng)畫演示.首頁岸蚌褲羹嫡犀餌蚌茹蹄肚藏菌哨就但裁轟綢耿慧賽襟陡辮掃凝期啡派遲舌同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0y0)處的兩個(gè)問題的共性:所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題荔勘至知哨爪笨凄逆鐳奔椰帝兩薦閃犬茍懇呈毆懦六篩只儲(chǔ)重宅骯怖愚湘同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01兩個(gè)問題的共性:所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類二、導(dǎo)數(shù)的定義存在則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)并稱此極限值為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記為f

(x0)即下頁設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果極限導(dǎo)數(shù)的定義1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)如果上述極限不存在則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)

瞧膩鴨烽殘涪拴巾櫥邁呈固沂黍席砰扶產(chǎn)似凌甘亡暴肋恿崎臺(tái)飄鼎悠壤遵同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01二、導(dǎo)數(shù)的定義存在則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的其它符號(hào)下頁導(dǎo)數(shù)的其它定義式導(dǎo)數(shù)的定義式:卉總絳晦陶進(jìn)簽艘權(quán)淑籽猛餃枯抹啞氯吞紋灣瑤習(xí)綜合試團(tuán)撾澡狄交摧帝同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01導(dǎo)數(shù)的其它符號(hào)下頁導(dǎo)數(shù)的其它定義式導(dǎo)數(shù)的定義式:卉總絳晦陶進(jìn)

例1

求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)

解

.或.下頁導(dǎo)數(shù)的定義式:拎察袒宴勉獵熄合夏勤嘯千修胚檢蔗柞呸新噴蒸阮脾歇鼎赦阿夷場抓偉拎同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01例1求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義式:導(dǎo)函數(shù)的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)x都對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)值則這一對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)記作提問:

導(dǎo)函數(shù)的定義式如何寫?下頁間蹲憂莽馱奉貍控孜菲僥裴硬吾領(lǐng)墓井釀紊攢伐毛咨巖揣酒借迄吠蒜孰聲同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01導(dǎo)數(shù)的定義式:導(dǎo)函數(shù)的定義如果函數(shù)y=f(x

例2

求函數(shù)f(x)=C的導(dǎo)數(shù)(C為常數(shù))

解

即(C)=0

下頁2.求導(dǎo)數(shù)舉例

解

例3

質(zhì)央迸粹娩溯湯凌薄茲情勃僅憲模刁溜肇冠上閣弧盔令色沮駒匠挎連俏短同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01例2求函數(shù)f(x)=C的導(dǎo)數(shù)(C為常數(shù))

解

例4

下頁2.求導(dǎo)數(shù)舉例彎睹炳吉評(píng)譯軀眉鞏野撒惦穢鵬逸鋇續(xù)狐柏輛硯漸寵彩宮上湯秋鍬沉律棍同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01解例4下頁2.求導(dǎo)數(shù)2.求導(dǎo)數(shù)舉例

例5

求函數(shù)f(x)=x

n

(n為正整數(shù))在x=a處的導(dǎo)數(shù)更一般地有(x

m)=mxm-1(其中m為常數(shù))

把以上結(jié)果中的a換成x得f

(x)=nxn-1

即(xn)=nxn-1

解

=nan-1(xn-1+axn-2+

+an-1)下頁兵潞涸顏欽富尤聳蕉敲蓮遮親始投酌澇撥自涸軌虛藕遍胃舊腹螟嘴肅佑新同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件012.求導(dǎo)數(shù)舉例例5求函數(shù)f(x)2.求導(dǎo)數(shù)舉例

例6

求函數(shù)f(x)=sinx的導(dǎo)數(shù)

解

下頁秋衣拒媽證遞化塵鵬南以礬杯箔迂殊咨封棱喇腺鹵雕紳廈丁翱茫抒級(jí)憑夷同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件012.求導(dǎo)數(shù)舉例例6求函數(shù)f(x(sinx)=cosx

同理可得(cosx)=-sinx

2.求導(dǎo)數(shù)舉例

例7

求函數(shù)f(x)=ax(a>0

a

1)的導(dǎo)數(shù)

解

下頁可曙幟燥履撕場輩玫居賃宿職扁坎莆桐香胳移戮泡傻轍爽土摯斟巍嶼敬粱同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01(sinx)=cosx同理可得(c(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(ax)=axlna

特別地有(ex

)=ex

2.求導(dǎo)數(shù)舉例

例8

求對(duì)數(shù)函數(shù)y=log

ax的導(dǎo)數(shù)

解

下頁械毗縛鄒禁超矗版改骯碌那鄲殖鴛狽腋亞所諒單剝詭蠕賺驅(qū)凡沿誰爺娟位同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01(sinx)=cosx(cosx(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(ax)=axlna

2.求導(dǎo)數(shù)舉例以上得到的是部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

下頁特別地有特別地有(ex

)=ex

燥貴汾不者辭敢犢露鴿莽冊攔淘臣琢諱城擎琶步幣踩景忠誰泣像險(xiǎn)饅孕奮同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01(sinx)=cosx(cosx3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上可導(dǎo)是指函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)且在a點(diǎn)有右導(dǎo)數(shù)、在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù)

函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性下頁跳擄椒蔚進(jìn)浴屠鑼鄂做剿牲寧擠菜瘸野力藩渡涎別砌辦邊炊時(shí)還夾柿砸遏同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件013.單側(cè)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)f(x)例9求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系因?yàn)閒

-(0)f

+(0)解所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)首頁髓迪媽彎筍灘耙繩釉侵丘轄緣齲毀輪辭丫惑檀淆零黑壓仗甭咱鱉諸貧靛聯(lián)同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01例9求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)f

(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0

f(x0))處的切線的斜率即f

(x0)=tana

其中a是切線的傾角

切線方程為

y-y0=f

(x0)(x-x0)法線方程為下頁慶夫匡娜課糕氓倘蔓扒室捧逆感堆漁添霖橢領(lǐng)曲跪杰塘堡紹描嘯杭巨傘跪同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)f(x0)在幾何

解

所求法線方程為并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程

例10

所求切線及法線的斜率分別為所求切線方程為即4x+y-4=0

即2x-8y+15=0

下頁午硼刨聳楊所靈年焉酶販數(shù)嘲祈鞠族柳岔謬侵靜頁僅湛玫縛食靡癡吐彬沉同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01解所求法線方程為并寫出在該點(diǎn)處的切線首頁例11設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0

解于是所求切線的方程可設(shè)為已知點(diǎn)(0

4)在切線上所以解之得x04于是所求切線的方程為則切線的斜率為刊操司撻涯餡擴(kuò)簿棵稠偏晌勁就嘉播帕吉?dú)W勤韋腦焉莉喂驗(yàn)邵藕呢罐址塘同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)二章課件01首頁例11設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系結(jié)論

如果函數(shù)y=f(x)