現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處置第二章：卡爾曼濾波內(nèi)容2.1卡爾曼濾波器2.2由因果IIR維納濾波器看卡爾曼濾波器2.3從bayes濾波角度看卡爾曼濾波器2.4卡爾曼濾波器的擴(kuò)展2.1卡爾曼濾波器WhatisKalmanfilter?Anoptimalrecursivedataprocessingalgorithm.R.E.Kalman(1960)Optimal?formulatingtheMMSElinearfilteringproblem(causalIIRWienerfilter)Recursive?Thetime-recursiveprocessingoftheinputdata是和的線性函數(shù)〔2〕預(yù)測(cè)誤差功率〔先驗(yàn)分布方差〕取后驗(yàn)均值作為形狀的估計(jì)值-〉卡爾曼濾波分別代表用n時(shí)辰以及n-1時(shí)辰及以前一切數(shù)據(jù)對(duì)s(n)和x(n)的估計(jì)值ExtendedKalmanFilter(EKF)觀丈量和系統(tǒng)形狀之間的關(guān)系為：留意：做了如下假設(shè)〔即以為形狀模型為一階馬爾科夫過程〕：估計(jì)誤差功率和預(yù)測(cè)誤差功率關(guān)系：2維納濾波器的迭代實(shí)現(xiàn)v和n都是參數(shù)知的高斯分布3從bayes濾波角度看卡爾曼濾波器Optimal?formulatingtheMMSElinearfilteringproblem(causalIIRWienerfilter)在k時(shí)辰可以獲得新的觀測(cè)矢量Zk，基于貝葉斯準(zhǔn)那么可以利用丈量模型來更新先驗(yàn)概率分布，從而獲得需求的濾波結(jié)果：〔1〕形狀一步預(yù)測(cè)〔先驗(yàn)分布均值〕遺憾的是，式和在很多場(chǎng)所下沒有可分解的計(jì)算方法，所以它們只是一個(gè)實(shí)際上的解。矢量卡爾曼濾波器的計(jì)算公式2.2維納濾波器的迭代實(shí)現(xiàn)信號(hào)模型和丈量模型：因果IIR維納濾波器〔前面推導(dǎo)結(jié)果〕：分別代表用n時(shí)辰以及n-1時(shí)辰及以前一切數(shù)據(jù)對(duì)s(n)和x(n)的估計(jì)值一步預(yù)測(cè):第二步預(yù)測(cè):新息〔Innovation〕:迭代方式差分方程新息卡爾曼增益：預(yù)測(cè)誤差功率：預(yù)測(cè)誤差估計(jì)誤差功率和預(yù)測(cè)誤差功率關(guān)系：估計(jì)誤差構(gòu)造框圖遺憾的是，式和在很多場(chǎng)所下沒有可分解的計(jì)算方法，所以它們只是一個(gè)實(shí)際上的解。求估計(jì)誤差功率〔求后驗(yàn)分布方差〕兩個(gè)步驟遞歸計(jì)算就構(gòu)成了最優(yōu)的貝葉斯估計(jì)。需求留意的是：這里x表示信號(hào)形狀，z表示察看/丈量值。ExtendedKalmanFilter(EKF)Optimal?formulatingtheMMSElinearfilteringproblem(causalIIRWienerfilter)〔2〕預(yù)測(cè)誤差功率〔先驗(yàn)分布方差〕思想：近似一個(gè)高斯的分布比近似一個(gè)恣意的非線性函數(shù)要容易的多。Optimal?formulatingtheMMSElinearfilteringproblem(causalIIRWienerfilter)可以證明，假設(shè)是高斯的，那么要使也是高斯的話，隱含了下面的假設(shè)：系統(tǒng)觀測(cè)到的序列為，其中表示時(shí)間標(biāo)號(hào)為k時(shí)的觀測(cè)矢量。v和n都是參數(shù)知的高斯分布4卡爾曼濾波器的擴(kuò)展處理：運(yùn)用他們的泰勒展開式的一階線性近似。Recursive?Thetime-recursiveprocessingoftheinputdataInitiation計(jì)算步驟〔同時(shí)估計(jì)假設(shè)干個(gè)信號(hào)〕信號(hào)矢量：例1信號(hào)矢量噪聲矢量參數(shù)矩陣信號(hào)模型的矩陣方式信號(hào)矢量：例2察看/丈量矢量丈量模型的矩陣方式標(biāo)量算術(shù)矢量算術(shù)矢量卡爾曼濾波器的計(jì)算公式2.3卡爾曼濾波的統(tǒng)計(jì)原理形狀模型和察看信號(hào)模型貝葉斯濾波卡爾曼濾波形狀模型和觀測(cè)模型假設(shè)實(shí)踐系統(tǒng)的形狀序列為，其中k為時(shí)間序列標(biāo)號(hào)，表示時(shí)間標(biāo)號(hào)為k時(shí)的形狀矢量，為形狀矢量的維數(shù)。形狀間的轉(zhuǎn)移關(guān)系為系統(tǒng)觀測(cè)到的序列為，其中表示時(shí)間標(biāo)號(hào)為k時(shí)的觀測(cè)矢量。觀丈量和系統(tǒng)形狀之間的關(guān)系為：v和n分別為方差為Q和R的高斯白噪聲需求留意的是：這里x表示信號(hào)形狀，z表示察看/丈量值。貝葉斯估計(jì)假設(shè)需求計(jì)算的后驗(yàn)分布在時(shí)辰k-1曾經(jīng)得到，那么我們利用形狀模型可以獲得時(shí)辰k形狀的先驗(yàn)概率分布：留意：做了如下假設(shè)〔即以為形狀模型為一階馬爾科夫過程〕：在k時(shí)辰可以獲得新的觀測(cè)矢量Zk，基于貝葉斯準(zhǔn)那么可以利用丈量模型來更新先驗(yàn)概率分布，從而獲得需求的濾波結(jié)果：兩個(gè)步驟遞歸計(jì)算就構(gòu)成了最優(yōu)的貝葉斯估計(jì)。遺憾的是，式和在很多場(chǎng)所下沒有可分解的計(jì)算方法，所以它們只是一個(gè)實(shí)際上的解?；谔囟ǚ植嫉募僭O(shè)，如高斯分布可以獲得最優(yōu)估計(jì)的解析的計(jì)算方法。(1)(2)卡爾曼濾波卡爾曼濾波器以為后驗(yàn)概率在任何時(shí)辰都是高斯分布的，這樣由均值和方差就可以完全確定其概率分布。可以證明，假設(shè)是高斯的，那么要使也是高斯的話，隱含了下面的假設(shè)：v和n都是參數(shù)知的高斯分布是和的線性函數(shù)是和的線性函數(shù)(1)(2)取后驗(yàn)均值作為形狀的估計(jì)值-〉卡爾曼濾波濾波過程〔1〕形狀一步預(yù)測(cè)〔先驗(yàn)分布均值〕〔2〕預(yù)測(cè)誤差功率〔先驗(yàn)分布方差〕計(jì)算卡爾曼增益運(yùn)用察看值更新預(yù)測(cè)〔求后驗(yàn)分布均值〕求估計(jì)誤差功率〔求后驗(yàn)分布方差〕預(yù)測(cè)更新初始估計(jì)：2.4卡爾曼濾波器擴(kuò)展〔非線性〕1。ExtendedKalmanF