曲線的凹凸性一、曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的凹凸性一、曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)及其求法一、曲線的凹凸性問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?凹（上凹）凸（下凹）一、曲線的凹凸性問(wèn)題:定義

如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線的下方，則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的（或稱上凹）；

如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸的（或稱下凹）.定義如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線x1x2xyo12凹（上凹）x1x2xyo12凹（上凹）凸（下凹）xyo12x2x1凸（下凹）xyo12x2x1定理2.12定理2.12例1例1解解例2例2例2解注意到,例2解注意到,例3例3例3解例3解定義：

連續(xù)曲線凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。定義：說(shuō)明：拐點(diǎn)是曲線凹凸的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，那么曲線的二階導(dǎo)數(shù)f(x)由大于零變成小于零，或由小于零變成大于零，這時(shí)拐點(diǎn)上的二階導(dǎo)數(shù)f

"(x)一定等于零或者不存在.說(shuō)明：的凹凸性.例4.判斷函數(shù)的凹凸性.例4.判斷函數(shù)解:故曲線在上是凹的.說(shuō)明:

若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),則曲線的凹凸性不變..解:故曲線在上是凹的.說(shuō)明:若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)判定曲線y=f(x)的凹凸及拐點(diǎn)的步驟：1、確定函數(shù)的定義域；2、求出函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)f(x)；并求出二階導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；3、由上述特殊點(diǎn)把所討論的區(qū)間分成幾個(gè)子區(qū)間，在各個(gè)子區(qū)間及分界點(diǎn)處，根據(jù)定理結(jié)論來(lái)判斷函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)，并寫(xiě)出凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)坐標(biāo)。判定曲線y=f(x)的凹凸及拐點(diǎn)的步驟：1、確定函數(shù)的定例5.例5.解拐點(diǎn)凸凹凹非拐點(diǎn)不存在解拐點(diǎn)凸凹凹非拐點(diǎn)不存在例6例6例6解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例6解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上思考題1.思考題1.2.

2.

.曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及

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;.曲線的凹區(qū)練習(xí)題練習(xí)題練習(xí)題答案練習(xí)題答案曲線的凹凸性一、曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的凹凸性一、曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)及其求法一、曲線的凹凸性問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?凹（上凹）凸（下凹）一、曲線的凹凸性問(wèn)題:定義

如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線的下方，則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的（或稱上凹）；

如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸的（或稱下凹）.定義如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線x1x2xyo12凹（上凹）x1x2xyo12凹（上凹）凸（下凹）xyo12x2x1凸（下凹）xyo12x2x1定理2.12定理2.12例1例1解解例2例2例2解注意到,例2解注意到,例3例3例3解例3解定義：

連續(xù)曲線凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。定義：說(shuō)明：拐點(diǎn)是曲線凹凸的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，那么曲線的二階導(dǎo)數(shù)f(x)由大于零變成小于零，或由小于零變成大于零，這時(shí)拐點(diǎn)上的二階導(dǎo)數(shù)f

"(x)一定等于零或者不存在.說(shuō)明：的凹凸性.例4.判斷函數(shù)的凹凸性.例4.判斷函數(shù)解:故曲線在上是凹的.說(shuō)明:

若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),則曲線的凹凸性不變..解:故曲線在上是凹的.說(shuō)明:若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)判定曲線y=f(x)的凹凸及拐點(diǎn)的步驟：1、確定函數(shù)的定義域；2、求出函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)f(x)；并求出二階導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；3、由上述特殊點(diǎn)把所討論的區(qū)間分成幾個(gè)子區(qū)間，在各個(gè)子區(qū)間及分界點(diǎn)處，根據(jù)定理結(jié)論來(lái)判斷函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)，并寫(xiě)出凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)坐標(biāo)。判定曲線y=f(x)的凹凸及拐點(diǎn)的步驟：1、確定函數(shù)的定例5.例5.解拐點(diǎn)凸凹凹非拐點(diǎn)不存在解拐點(diǎn)凸凹凹非拐點(diǎn)不存在例6例6例6解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例6解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上思考題1.思考題1.2.

2.

.曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間