3．萬有引力理論的成就【學(xué)習(xí)素養(yǎng)·明目標(biāo)】物理觀念：1.了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用.2.了解“稱量地球質(zhì)量”“計算太陽質(zhì)量”的基本思路，會用萬有引力定律計算天體的質(zhì)量.3.理解運用萬有引力定律處理天體運動問題的思路和方法．科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：1.體會萬有引力定律對人類探索未知世界的作用.2.了解人造衛(wèi)星的相關(guān)知識.3.知道科學(xué)的發(fā)展是人類認識世界和推動人類進步的強大動力．一、計算天體的質(zhì)量1．地球質(zhì)量的計算(1)依據(jù)：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2).(2)結(jié)論：M＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R的值，就可計算出地球的質(zhì)量．2．太陽質(zhì)量的計算(1)依據(jù)：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2).(2)結(jié)論：M＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道行星繞太陽運動的周期T和半徑r，就可以計算出太陽的質(zhì)量．3．其他行星質(zhì)量的計算(1)依據(jù)：繞行星做勻速圓周運動的衛(wèi)星，同樣滿足Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)(M為行星質(zhì)量，m為衛(wèi)星質(zhì)量)．(2)結(jié)論：M＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道衛(wèi)星繞行星運動的周期T和半徑r，就可以計算出行星的質(zhì)量．二、發(fā)現(xiàn)未知天體及預(yù)言哈雷彗星回歸1．海王星的發(fā)現(xiàn)英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維耶根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星．2．其他天體的發(fā)現(xiàn)近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體．3．預(yù)言哈雷彗星回歸英國天文學(xué)家哈雷依據(jù)萬有引力定律，計算了三顆彗星的軌道，并大膽預(yù)言這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆星，周期約為76年．1．思考判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)地球表面的物體，重力就是物體所受的萬有引力． (×)(2)繞行星勻速轉(zhuǎn)動的衛(wèi)星，萬有引力提供向心力． (√)(3)利用地球繞太陽轉(zhuǎn)動，可求地球的質(zhì)量． (×)(4)海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性． (√)(5)科學(xué)家在觀測雙星系統(tǒng)時，同樣可以用萬有引力定律來分析． (√)(6)冥王星被稱為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”． (×)2．下列說法正確的是()A．海王星是人們直接應(yīng)用萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的B．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的C．海王星是人們經(jīng)過長期的太空觀測而發(fā)現(xiàn)的D．天王星的運行軌道與由萬有引力定律計算的軌道存在偏差，其原因是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此人們發(fā)現(xiàn)了海王星D[由行星的發(fā)現(xiàn)歷史可知，天王星并不是根據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的；海王星不是通過觀測發(fā)現(xiàn)，也不是直接由萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的，而是人們發(fā)現(xiàn)天王星的實際軌道與理論軌道存在偏差，然后運用萬有引力定律計算出“新”星的軌道，從而發(fā)現(xiàn)了海王星．由此可知，A、B、C錯誤，D正確．]3．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，僅利用這三個數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有()A．月球的質(zhì)量 B．地球的質(zhì)量C．地球的半徑 D．地球的密度B[由天體運動規(guī)律知Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R可得地球質(zhì)量M＝eq\f(4π2R2,GT2)，由于不知地球的半徑，無法求地球的密度，故選項B正確．]計算天體的質(zhì)量與密度[問題探究]1．(1)卡文迪什在實驗室里通過實驗測出了引力常量G的值，他是怎樣“稱量”地球的質(zhì)量的呢？(2)已知地面附近的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，試估算地球的質(zhì)量．提示：(1)在地球表面，物體受到的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg＝Geq\f(mM,R2)，解得地球的質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，只要測出G、g、R來，便可“稱量”地球的質(zhì)量．(2)M＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(9.8×6.4×1062,6.67×10－11)kg≈6.0×1024kg.2．如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽的距離r，能求出太陽的質(zhì)量嗎？若要求太陽的密度，還需要哪些量？提示：由eq\f(Gm地M太,r2)＝eq\f(4π2,T2)m地r知M太＝eq\f(4π2r3,GT2).由密度公式ρ＝eq\f(M太,\f(4,3)πR\o\al(3,太))可知，若要求太陽的密度還需要知道太陽的半徑．[探究歸納]1．天體質(zhì)量的計算(1)重力加速度法若已知天體(如地球)的半徑R及其表面的重力加速度g，根據(jù)在天體表面上物體的重力近似等于天體對物體的引力，得mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得天體的質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G)，g、R是天體自身的參量，所以該方法俗稱“自力更生法”．(2)環(huán)繞法借助環(huán)繞中心天體做圓周運動的行星(或衛(wèi)星)計算中心天體的質(zhì)量，俗稱“借助外援法”．常見的情況如下：萬有引力提供向心力中心天體的質(zhì)量說明Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)r為行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑，v、ω、T為行星(或衛(wèi)星)的線速度、角速度和周期Geq\f(Mm,r2)＝mrω2M＝eq\f(r3ω2,G)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)2.天體密度的計算若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式可得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).特殊情況：當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，衛(wèi)星的軌道半徑r可認為等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).【例1】(多選)若宇航員在月球表面附近自高h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L.已知月球半徑為R，萬有引力常量為G.則下列說法正確的是()A．月球表面的重力加速度g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)B．月球的質(zhì)量m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)C．月球的自轉(zhuǎn)周期T＝eq\f(2πR,v0)D．月球的平均密度ρ＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2)AB[根據(jù)平拋運動規(guī)律，L＝v0t，h＝eq\f(1,2)g月t2，聯(lián)立解得g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)，選項A正確；由mg月＝Geq\f(mm月,R2)解得m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)，選項B正確；根據(jù)題目條件無法求出月球的自轉(zhuǎn)周期，選項C錯誤；月球的平均密度ρ＝eq\f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2R)，選項D錯誤．]求解天體質(zhì)量和密度時的兩種常見誤區(qū)(1)根據(jù)軌道半徑r和運行周期T，求得M＝eq\f(4π2r3,GT2)是中心天體的質(zhì)量，而不是行星(或衛(wèi)星)的質(zhì)量．(2)混淆或亂用天體半徑與軌道半徑，為了正確并清楚地運用，應(yīng)一開始就養(yǎng)成良好的習(xí)慣，比如通常情況下天體半徑用R表示，軌道半徑用r表示，這樣就可以避免如ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)誤約分；只有衛(wèi)星在天體表面做勻速圓周運動時，如近地衛(wèi)星，軌道半徑r才可以認為等于天體半徑R.1．過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的eq\f(1,20).該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為()A.eq\f(1,10) B．1C．5 D．10B[根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得M∝eq\f(r3,T2)，代入數(shù)據(jù)得恒星與太陽的質(zhì)量比約為1.04，所以B項正確．]天體運動的分析與計算[觀察探究]如圖所示，太陽系的行星在圍繞太陽運動．(1)地球、火星等行星繞太陽的運動遵守什么規(guī)律？(2)如何比較地球、火星等行星繞太陽的運動的線速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小關(guān)系？提示：(1)地球、火星等行星繞太陽的運動可看作勻速圓周運動，萬有引力提供向心力．(2)由Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r表達式可知線速度、角速度、周期及向心加速度等各量都與軌道半徑有關(guān)系．[探究歸納]1．解決天體運動問題的基本思路一般行星或衛(wèi)星的運動可看成勻速圓周運動，所需要的向心力都由中心天體對它的萬有引力提供，所以研究天體時可建立基本關(guān)系式：Geq\f(Mm,R2)＝ma，式中a是向心加速度．2．四個重要結(jié)論項目推導(dǎo)式關(guān)系式結(jié)論v與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))r越大，v越小ω與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝mrω2ω＝eq\r(\f(GM,r3))r越大，ω越小T與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2T＝2πeq\r(\f(r3,GM))r越大，T越大a與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝maa＝eq\f(GM,r2)r越大，a越小【例2】有的天文學(xué)家傾向于把太陽系外較小的天體叫作“矮行星”，而另外一些人把它們叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一．現(xiàn)有兩個這樣的天體，它們的質(zhì)量分別為m1和m2，繞太陽運行的軌道半徑分別是r1和r2，求：(1)它們與太陽間的萬有引力之比；(2)它們的公轉(zhuǎn)周期之比．[解析](1)設(shè)太陽質(zhì)量為M，由萬有引力定律得，兩天體與太陽間的萬有引力之比eq\f(F1,F2)＝eq\f(G\f(Mm1,r\o\al(2,1)),G\f(Mm2,r\o\al(2,2)))＝eq\f(m1r\o\al(2,2),m2r\o\al(2,1)).(2)兩天體繞太陽的運動可看成勻速圓周運動，向心力由萬有引力提供，則有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up20(2)r所以，天體繞太陽運動的周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))則兩天體繞太陽的公轉(zhuǎn)周期之比eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(r\o\al(3,1),r\o\al(3,2))).[答案](1)eq\f(m1r\o\al(2,2),m2r\o\al(2,1))(2)eq\r(\f(r\o\al(3,1),r\o\al(3,2)))上例中，若r1＞r2，則兩行星的運行的角速度ω1、ω2和線速度v1、v2的關(guān)系怎樣？提示：ω1＜ω2，v1＜v2.2．探測器繞月球做勻速圓周運動，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運動，則變軌后與變軌前相比()A．軌道半徑變小 B．向心加速度變小C．線速度變小 D．角速度變小A[探測器做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，則：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，整理得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知周期T較小的軌道，其半徑r也小，A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r，整理得：an＝Geq\f(M,r2)，v＝eq\r(G\f(M,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可知半徑變小，向心加速度變大，線速度變大，角速度變大，故B、C、D錯誤．]宇宙雙星問題[要點歸納]如圖所示，宇宙中兩個靠得比較近的天體稱為雙星，它們繞其連線上的某固定點做勻速圓周運動．雙星具有以下特點：(1)由于雙星和該固定點總保持三點共線，所以雙星做勻速圓周運動的角速度和周期分別相同．(2)由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等．(3)軌道半徑與質(zhì)量的關(guān)系由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1).【例3】(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波．根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距400km，繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈．將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星()A．質(zhì)量之積B．質(zhì)量之和C．速率之和D．各自的自轉(zhuǎn)角速度BC[由題意可知，合并前兩中子星繞連線上某點每秒轉(zhuǎn)動12圈，則兩中子星的周期相等，且均為T＝eq\f(1,12)s，兩中子星的角速度均為ω＝eq\f(2π,T)，兩中子星構(gòu)成了雙星模型，假設(shè)兩中子星的質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2，速率分別為v1、v2，則有：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1、Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400km，解得m1＋m2＝eq\f(ω2L3,G)，A錯誤，B正確；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，則v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正確；由題中的條件不能求解兩中子星自轉(zhuǎn)的角速度，D錯誤．]3．(多選)宇宙中兩顆相距很近的恒星常常組成一個雙星系統(tǒng)．它們以相互間的萬有引力彼此提供向心力，從而使它們繞著某一共同的圓心做勻速圓周運動，若已知它們的運轉(zhuǎn)周期為T，兩星到某一共同圓心的距離分別為R1和R2，那么，雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的質(zhì)量關(guān)系描述正確的是()A．這兩顆恒星的質(zhì)量必定相等B．這兩顆恒星的質(zhì)量之和為eq\f(4π2R1＋R23,GT2)C．這兩顆恒星的質(zhì)量之比為m1∶m2＝R2∶R1D．必有一顆恒星的質(zhì)量為eq\f(4π2R1R1＋R22,GT2)BCD[對于兩星有共同的周期T，由牛頓第二定律得eq\f(Gm1m2,R1＋R22)＝m1eq\f(4π2,T2)R1＝m2eq\f(4π2,T2)R2，所以兩星的質(zhì)量之比m1∶m2＝R2∶R1，C正確；由上式可得m1＝eq\f(4π2R2R1＋R22,GT2)，m2＝eq\f(4π2R1R1＋R22,GT2)，D正確，A錯誤；m1＋m2＝eq\f(4π2R1＋R23,GT2)，B正確．]課堂小結(jié)知識脈絡(luò)1.若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上物體所受重力等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，可得地球質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，該公式同樣適用于其他天體．2．根據(jù)萬有引力提供行星做圓周運動的向心力，只要測得某行星繞太陽運行的軌道半徑r和周期T，就可得太陽的質(zhì)量為M＝eq\f(4π2r3,GT2).1．設(shè)太陽質(zhì)量為M，某行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期為T，軌道可視作半徑為r的圓．已知萬有引力常量為G，則描述該行星運動的上述物理量滿足()A．GM＝eq\f(4π2r3,T2) B．GM＝eq\f(4π2r2,T2)C．GM＝eq\f(4π2r2,T3) D．GM＝eq\f(4πr3,T2)A[本題根據(jù)行星所受的萬有引力提供其做圓周運動的向心力列方程求解．對行星有：eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，故GM＝eq\f(4π2r3,T2)，選項A正確．]2．土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”，每16天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)軌道半徑約為1.2×106km，已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(