2009年全國初中數學聯合競賽試題第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1．設，則（）A．24B．25C．D．2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝（）A．B．C．D．3．用表示不大于的最大整數，則方程的解的個數為（）A．1B．2C．3D．44．設正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為（）A．B．C．D．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內作半圓，自點A作半圓的切線AE，則CBE＝（）A．B．C．D．6．設是大于1909的正整數，使得為完全平方數的的個數是（）A．3B．4C．5D．6二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．已知是實數，若是關于的一元二次方程的兩個非負實根，則的最小值是____________．2．設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC于點E，作DF//AC交BC于點F，已知△ADE、△DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為______．3．如果實數a、b滿足條件，，則a+b=____．4．已知a、b是正整數，且滿足是整數，則這樣的有序數對（a，b）共有_____對．第二試（A）一、（本題滿分20分）已知二次函數的圖象與軸的交點分別為A、B，與軸的交點為C．設△ABC的外接圓的圓心為點P．（1）證明：⊙P與軸的另一個交點為定點．（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且，求和的值．二、（本題滿分25分）設CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是△ADC、△BDC的內心，AC＝3，BC＝4，求．三、（本題滿分25分）已知為正數，滿足如下兩個條件：①②證明：以為三邊長可構成一個直角三角形．第二試（B）一、（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同．二、（本題滿分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點．PM、QN的中點分別為E、F．求證：EF∥AB．三、（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同．2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案第一試：ACCBDB；-3，，-1，-7第二試（A）一、解：（1）易求得點的坐標為，設，，則，．設⊙P與軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OA×OB＝OC×OD，則．因為，所以點在軸的負半軸上，從而點D在軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為（0，1）．（2）因為AB⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關于點O對稱，所以點的坐標為，即．又，所以，解得．二、解：作E⊥AB于E，F⊥AB于F．在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，．又CD⊥AB，由射影定理可得，故，．因為E為直角三角形ACD的內切圓的半徑，所以＝．連接D、D，則D、D分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，．同理，可求得，．所以＝．三、證法1將①②兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以或或，即或或．因此，以為三邊長可構成一個直角三角形．證法2結合①式，由②式可得，變形，得③又由①式得，即，代入③式，得，即．，所以或或．結合①式可得或或．因此，以為三邊長可構成一個直角三角形．第二試（B）一、解答與（A）卷第一題相同．二、解：因為BN是∠ABC的平分線，所以．又因為CH⊥AB，所以，因此．又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四點共圓．又，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上．同理可證，點E在CH的中垂線上．因此EF⊥CH．又AB⊥CH，所以EF∥AB．三、解答與（A）卷第三題相同．2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準說明：評閱試卷時，請依據本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應的分數.第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1.若均為整數且滿足，則（）A．1.B．2.C．3.D．4.【答】B.因為均為整數，所以和均為整數，從而由可得或若則，從而.若則，從而.因此，2.2．若實數滿足等式，，則可能取的最大值為（）A．0.B．1.C．2.D．3.【答】C.由兩個已知等式可得，而，所以.當時，可得，滿足已知等式.所以可能取的最大值為2.3．若是兩個正數，且則（）A．.B．.C．.D．.【答】C.由可得，則①2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第1頁（共7頁）由于是兩個正數，所以，所以，從而2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第1頁（共7頁）另一方面，由可得，結合①式可得，所以因此，.4．若方程的兩根也是方程的根，則的值為（）A．－13.B．－9.C．6.D．0.【答】A.設是方程的一個根，則，所以.由題意，也是方程的根，所以，把代入此式，得，整理得.從而可知：方程的兩根也是方程的根，這兩個方程實質上應該是同一個一元二次方程，從而有（其中為常數），故，所以.因此，.5．在△中，已知，D，E分別是邊AB，AC上的點，且，，,則()A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.【答】B.如圖，延長AB到F，使BF=ED，連CF，EF．∵，∴，，，，于是，，．又∵，，∴,．在△CDA和△CBF中，CA=CF，，AD=BF，∴△CDA≌△CBF，∴．于是，．6．對于自然數，將其各位數字之和記為，如，，則（）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第2頁（共7頁）【答】D.2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第2頁（共7頁）把1到2010之間的所有自然數均看作四位數（如果不足四位，則在前面加0，補足四位，這樣做不會改變的值）.1在千位上出現的次數為，1在百位上出現的次數為，1在十位和個位上出現的次數均為，因此，1出現的總次數為.2在千位上出現的次數為11，2在百位和十位上出現的次數均為，2在個位上出現的次數為，因此，2出現的總次數為.類似的，可求得出現的總次數均為.因此＝28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1．已知實數滿足方程組則.【答】13.由得，把代入，可得.因此，是一元二次方程的兩個實數根，易求得這兩個實數根分別為3和，所以.2．二次函數的圖象與軸正方向交于A，B兩點，與軸正方向交于點C．已知，，則．【答】．由題意知，點C的坐標為，．設兩點的坐標分別為，，則是方程的兩根．由根與系數的關系得．又，則．于是，，．由，得．2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第3頁（共7頁）3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內一點，且PA＝，PC＝5，則PB＝______．2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第3頁（共7頁）【答】.作PE⊥AB，交AB于點E，作PF⊥BC，交BC于點F，設，分別在△PAE、△PCF中利用勾股定理，得①②②－①，得，所以，代入①中，得，解得，.當時，，在Rt△PAE中，由勾股定理可得.當時，，此時，所以點P在△ABC的外面，不符合題意，舍去.因此.4．將若干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_______個球.【答】15.將這些球的位置按順序標號為1，2，3，4，…….由于1號球與7號球中間夾有5個球，1號球與12號球中間夾有10個球，12號球與6號球中間夾有5個球，7號球與13號球中間夾有5個球，13號球與2號球中間夾有10個球，2號球與8號球中間夾有5個球，8號球與14號球中間夾有5個球，14號球與3號球中間夾有10個球，3號球與9號球中間夾有5個球，9號球與15號球中間夾有5個球，15號球與4號球中間夾有10個球，4號球與10號球中間夾有5個球，因此，編號為1，7，12，6,

13，2，8，14，3，9，15，4，10的球顏色相同，編號為5，11的球可以為另外的一種顏色.因此，可以按照要求擺放15個球.如果球的個數多于15個，則一方面，16號球與10號球應同色，另一方面，5號球與16號球中間夾有10個球，所以5號球與16號球同色，從而1到16號球的顏色都相同，進一步可以知道：所有的球的顏色都相同，與要求不符.因此，按這種要求擺放，最多可以擺放15個球.第二試（A）一．（本題滿分20分）設整數（）為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數.解由已知等式可得①令，則，其中均為自然數.于是，等式①變?yōu)?，?009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第4頁（共7頁）②2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第4頁（共7頁）由于均為自然數，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和…………10分（1）當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應可得到5個符合條件的三角形.…………15分（2）當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數為5＋6＝11.……20分二．（本題滿分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分線與AB邊交于點P，M為△ABC的內切圓⊙I與BC邊的切點，作MD//AC，交⊙I于點D.證明：PD是⊙I的切線.證明過點P作⊙I的切線PQ（切點為Q）并延長，交BC于點N.因為CP為∠ACB的平分線，所以∠ACP＝∠BCP.又因為PA、PQ均為⊙I的切線，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，…………10分所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.………………20分又因為MD//AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點Q、D均在⊙I上，所以點Q和點D重合，故PD是⊙I的切線.……………25分三．（本題滿分25分）已知二次函數QUOTE的圖象經過兩點P，Q.（1）如果都是整數，且，求的值.（2）設二次函數QUOTE的圖象與軸的交點為A、B，與軸的交點為C.QUOTE如果關于的方程的兩個根都是整數，求△ABC的面積.解點P、Q在二次函數QUOTE的圖象上，故，，解得，.………………5分（1）由知解得.2008年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第5頁（共7頁）又為整數，所以，，.………………10分2008年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第5頁（共7頁）(2)設QUOTE是方程的兩個整數根，且.由根與系數的關系可得，，消去，得，兩邊同時乘以9，得，分解因式，得.………………15分所以或或或解得或或或又是整數，所以后面三組解舍去，故.因此，，，二次函數的解析式為.………………20分易求得點A、B的坐標為（1,0）和（2,0），點C的坐標為（0,2），所以△ABC的面積為.………………25分第二試（B）一．（本題滿分20分）設整數為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數（全等的三角形只計算1次）.解不妨設，由已知等式可得①令，則，其中均為自然數.于是，等式①變?yōu)?，即②由于均為自然數，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和…………10分（1）當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應可得到5個符合條件的三角形.…………15分2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第6頁（共7頁）（2）當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應可得到6個符合條件的三角形.2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第6頁（共7頁）綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數為5＋6＝11.……20分二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試（C）一．（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）設是大于2的質數，k為正整數．若函數的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標至少有一個為整數，求k的值．解由題意知，方程的兩根中至少有一個為整數．由根與系數的關系可得，從而有①………5分（1）若，則方程為，它有兩個整數根和．………………10分（2）若，則.因為為整數，如果中至少有一個為整數，則都是整數.又因為為質數，由①式知或．不妨設，則可設（其中m為非零整數），則由①式可得，……………15分故，即．又，所以，即②………20分如果m為正整數，則，，從而，與②式矛盾.如果m為負整數，則，，從而，與②式矛盾.因此，時，方程不可能有整數根．2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第7頁（共7頁）綜上所述，．………………25分2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案與評分標準第7頁（共7頁）2011年全國初中數學聯合競賽試題參考答案說明：評閱試卷時，請依據本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應的分數.第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1．已知，，則的值為（）A．1.B．.C．.D．.【答】B.2．已知△的兩條高線的長分別為5和20,若第三條高線的長也是整數，則第三條高線長的最大值為（）A．5.B．6.C．7.D．8.【答】B.3．方程的解的個數為（）A．1個B．2個C．3個D．4個【答】C.4．今有長度分別為1，2，…，9的線段各一條，現從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個正方形，則這樣的“線段組”的組數有（）A．5組.B．7組.C．9組.D．11組.【答】C.5．如圖，菱形ABCD中，，，，，，則（）A．.B．.C．.D．.【答】D.6．已知，，，則的值為（）A．1.B．.C．2.D．.【答】C.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1．在△ABC中，已知，，則．【答】。2．二次函數的圖象的頂點為D，與x軸正方向從左至右依次交于A，B兩點，與y軸正方向交于C點，若△ABD和△OBC均為等腰直角三角形（O為坐標原點），則．【答】2．3．能使是完全平方數的正整數n的值為．【答】11.4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作圓的切線與CD的延長線交于點F，如果，，D為EF的中點，則AB＝．【答】24.第二試（A）一、（本題滿分20分）已知三個不同的實數滿足，方程和有一個相同的實根，方程和也有一個相同的實根．求的值．解依次將題設中所給的四個方程編號為①，②，③，④．設是方程①和方程②的一個相同的實根，則兩式相減，可解得．設是方程③和方程④的一個相同的實根，則兩式相減，可解得。所以．又方程①的兩根之積等于1，于是也是方程①的根，則。又，兩式相減，得．若，則方程①無實根，所以，故．于是．又，解得．二．（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，，，對角線交于點，且，為的中點．求證：（1）；（2）．證明（1）由已知得，從而四點共圓，為直徑，為該圓的圓心．作于點，知為的中點，所以＝＝，從而．（2）作于點，則．又，∴，∴Rt△≌Rt△，∴，又，所以，故，所以．三．（本題滿分25分）已知為正整數，．設，，，O為坐標原點．若，且．（1）證明：；（2）求圖象經過三點的二次函數的解析式．解（1）因為，，所以，即．由，得．又，從而有，即．（2）由，知是關于x的一元二次方程=1