集合的含義與表示課后強(qiáng)化作業(yè)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是()A．陜西某中學(xué)所有有愛(ài)心的女生B．青島某中學(xué)部分特長(zhǎng)生C．中國(guó)的歌唱家D．大于π的自然數(shù)[答案]D[解析]A中“有愛(ài)心”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，B中“部分”不明確，C中“歌唱家”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，D中π≈，所以大于π的自然數(shù)為4,5,6，….2．已知集合A＝{x∈R|2x－1>x＋3}，則下列各式正確的是()A．4∈A B．4?AC．6?A D．2∈A[答案]B[解析]由于A＝{x∈R|2x－1>x＋3}＝{x∈R|x>4}，即集合A是由大于4的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，因此4?A.3．由x2，x組成一個(gè)集合A，A中含有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)x的取值可以是()A．0 B．－1C．1 D．－1或1[答案]B[解析]驗(yàn)證法：若x＝0時(shí)，x2＝0，不合題意；若x＝1時(shí)，x2＝1，不合題意；若x＝－1時(shí)，x2＝1，符合題意，故選B.4．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是()A．銳角三角形 B．等腰三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形[答案]B[解析]根據(jù)集合中元素的互異性，可知三角形的三邊長(zhǎng)不相等，故選B.5．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1}＝0中只有一個(gè)元素，則a＝()A．4 B．2C．0 D．0或4[答案]A[解析]本題考查分類(lèi)討論思想及一元二次方程問(wèn)題．若a＝0，則有1＝0顯然不成立；若a≠0，則有a2－4a＝0即a＝0或a＝4，所以a6．設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個(gè)數(shù)為()A．9 B．8C．7 D．6[答案]B[解析]列舉法：P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，共8個(gè)元素．二、填空題7．集合{x∈Z|(x－1)2(x＋1)＝0}用列舉法可以表示為_(kāi)_______．[答案]{－1,1}[解析]∵方程(x－1)2(x＋1)＝0的解有三個(gè)：－1,1,1，而作為解集，集合中元素只能是－1,1.8．(1)集合{x∈N|－1<x<4}用列舉法可表示為_(kāi)_______．(2)集合M＝{a|eq\f(6,5－a)∈N，且a∈Z}，用列舉法可表示為M＝________.[答案](1){0,1,2,3}(2){4,3,2，－1}[解析](1)因?yàn)閤∈N，且－1<x<4，所以x＝0,1,2,3，故所求集合為{0,1,2,3}．(2)因?yàn)閑q\f(6,5－a)∈N，且a∈Z，所以5－a是6的正因數(shù)，故5－a＝1,2,3,6，即a＝4,3,2，－1.三、解答題9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A.[解析]當(dāng)k＝0時(shí)，原方程變?yōu)椋?x＋16＝0，解得x＝2.此時(shí)集合A＝{2}．當(dāng)k≠0時(shí)，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此時(shí)方程的解為x1＝x2＝4，集合A＝{4}，滿足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k＝0時(shí)，A＝{2}；當(dāng)k＝1時(shí)，A＝{4}.能力拓展一、選擇題1．由a2,2－a,4組成一個(gè)集合A，A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值可以是()A．1 B．－2C．6 D．2[答案]C[解析]解法一：驗(yàn)證法：若a＝1時(shí)，a2＝1,2－a＝1，不滿足集合中元素的互異性；若a＝－2或2時(shí)，a2＝4，也不滿足集合中元素的互異性，故a＝6，選C.解法二：直接法：由集合中元素的互異性可知，a2≠4，∴a≠±2.又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，∴a≠1且a≠－2，故選C.2．已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是()A．1 B．3C．5 D．9[答案]C[解析]∵x∈A，y∈A，當(dāng)x＝0時(shí)，由y＝0,1,2得，x－y＝0，－1，－2；當(dāng)x＝1時(shí)，由y＝0,1,2得，x－y＝1,0，－1；當(dāng)x＝2時(shí)，由y＝0,1,2得，x－y＝2,1,0.由集合中元素的互異性可知，B＝{－2，－1,0,1,2}中共5個(gè)元素．二、填空題3．設(shè)－5∈{x|x2－ax－5＝0}，則集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和為_(kāi)_______．[答案]2[解析]∵－5是方程x2－ax－5＝0的根，∴25＋5a∴a＝－4，∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，∴x＝2，∴該集合中所有元素之和為2.4．能被5整除的正整數(shù)集合用描述法表示為_(kāi)_______．[答案]{x|x＝5n，n∈N＋}[解析]能被5整除的正整數(shù)是5的倍數(shù)．因而寫(xiě)成：x＝5n，其中n∈N＋.三、解答題5．用另一種方法表示下列集合．(1){－3，－1,1,3,5}；(2){x||x|≤3，x∈Z}；(3){1,22,32,42，…}；(4)已知M＝{2,3}，P＝{(x，y)|x∈M，y∈M}，寫(xiě)出集合P；(5)集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{x2－1|x∈A}，寫(xiě)出集合B.[解析](1){x|x＝2k－1，k∈Z且－1≤k≤3}．(2){－3，－2，－1,0,1,2,3}．(3){x|x＝n2，n∈N＋}．(4)P＝{(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)}．(5)A＝{－2，－1,0,1,2}，所以B＝{3,0，－1}．6．若集合A中有且僅有三個(gè)數(shù)1、0、a，若a2∈A，求a的值．[解析]若a2＝0，則a＝0，不符合集合中元素的互異性，∴a2≠0.若a2＝1，則a＝±1，∵由元素的互異性知a≠1，∴a＝－1時(shí)適合．若a2＝a，則a＝0或1，由上面討論知均不符合集合中元素互異性的要求．綜上可知a＝－1.7．下列三個(gè)集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它們是不是相同的集合？(2)它們的各自含義是什么？[解析](1)它們是不相同的集合．(2)集合①是函數(shù)y