第18講特殊三角形的存在性本節(jié)以一次函數(shù)為背景，結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)，解決特殊的三角形的存在性問題.要用到分類討論的思想，對(duì)想象力、分析能力和運(yùn)算能力都有要求，根據(jù)題目中的條件利用等腰三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化建立方程求解.模塊一：存在全等三角形知識(shí)精講全等三角形的存在性問題考察了全等三角形的性質(zhì)，利用邊的關(guān)系結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式構(gòu)造等量關(guān)系，主要的題型是求點(diǎn)的坐標(biāo).例題解析例1.如圖，直線48與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4點(diǎn)、B,已知力(2,0),8(0,4),線段必的兩端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)(點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)〃在x軸上)，且(1)求直線45的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，且和△力如全等時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)/,點(diǎn)氏點(diǎn)P(x,y)是直線46上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)戶不與點(diǎn)1重合)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0),0是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S.(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式：(2)當(dāng)點(diǎn)夕運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△人力的面積為15；(3)過點(diǎn)尸作46的垂線與“軸、y軸分別交于點(diǎn)E,點(diǎn)F, 是否存在這樣的點(diǎn)P,使4EO乂/XBO眼若存在,求出點(diǎn)夕的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.例3.(2018?上海八年級(jí)期末)如圖，一次函數(shù)尸2產(chǎn)4的圖象與x,y軸分別相交于點(diǎn)A,B,以46為邊作正方形4朋(點(diǎn)〃落在第四象限).(1)求點(diǎn)A,B,〃的坐標(biāo)：(2)聯(lián)結(jié)小，設(shè)正方形的邊切與x相交于點(diǎn)反點(diǎn)M在x軸上，如果與全等，求點(diǎn)材的坐標(biāo).模塊二：存在等腰三角形知識(shí)精講等腰三角形的分類討論是壓軸題中一個(gè)熱門考點(diǎn)，本類題目均和圖形運(yùn)動(dòng)有關(guān)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力，能夠根據(jù)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，把最終的圖形畫出，利用分類討論的思想，結(jié)合題目中的已知條件建立等量關(guān)系.例題解析例1.直線y=依+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)力、8點(diǎn)力坐標(biāo)為(-3,0),/。48=30將x軸所在的直線沿直線AB翻折交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)、.X(1)求直線的解析式；(2)若CF，AB,求。F的長(zhǎng)：(3)若AAOF是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).例2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)片2戶12的圖像分別交“軸、y軸于/、6兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交y軸的正半軸于點(diǎn)M,且點(diǎn)"為線段如的中點(diǎn).(1)求直線4V的解析式.(2)戶為直線4〃上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)只使得以只以科為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.例3.如圖，函數(shù)￥=-乎*+1的圖像與a■軸、y軸分別交于46兩點(diǎn)，以線段46為邊在第一象限內(nèi)作等邊(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)將△4胸沿著直線四翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)〃處，求直線4。的解析式；(3)在“軸上是否存在反使△?(應(yīng)為等腰三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/：y=-1x+?7與x軸、y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)從B,過點(diǎn)以一4,一4)作平行于y軸的直線交加于點(diǎn)〃，龍=10.(1)求直線/的解析式；(2)求證：△力阿是等腰直角三角形：(3)將直線/沿y軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時(shí)，直線與x,y軸分別相交于點(diǎn)4、B',在直線徵上存在點(diǎn)R使得B'。是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)〃的坐標(biāo).例5.(2021?上海八年級(jí)期末)如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為

（3,4）,將直線OA繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線y=kx（k^O）.（1）求直線OA的表達(dá)式；（2）求女的值；（3）在直線y=Ax（女。0）上有一點(diǎn)B,其縱坐標(biāo)為1.若x軸上存在點(diǎn)。，使△ABC是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出滿足要求的點(diǎn)。的坐標(biāo).例6.（2018?上海八年級(jí)期末）如圖，在梯形4比2?中，AD//BC,AB=CD,BC=\Q,對(duì)角線〃；加相交于點(diǎn)。，且抬1"，設(shè)47=x,A4如的面積為y.(1)求/戚的度數(shù)；(2)求y關(guān)于*的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如圖1,設(shè)點(diǎn)A。分別是邊6C、46的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)"OQ,PQ.如果△砒2是等腰三角形，求力〃的長(zhǎng).例7.(2017?上海八年級(jí)期末)己知：如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC,AB1BC,AB=2a/3.E是邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE,且DELCE.設(shè)AD=x,BC=y.(1)如果/BCD=60°,求CD的長(zhǎng)；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)聯(lián)結(jié)BD.如果4BCD是以邊CD為腰的等腰三角形，求x的值.模塊三：存在直角三角形知識(shí)精講直角三角形的特征非常明顯，在平面宜角坐標(biāo)系內(nèi)，直角三角形中一般有兩個(gè)頂點(diǎn)是確定的，另一個(gè)頂點(diǎn)在某個(gè)函數(shù)圖像上，通常用兩點(diǎn)間的距離公式表示出第三條邊后再討論三角形的哪個(gè)角有可能是直角，根據(jù)這個(gè)直角的條件結(jié)合題目條件進(jìn)行計(jì)算，此類綜合題需要用到的知識(shí)較多，需要考察學(xué)生的思維、分析能力.例題解析例1.如圖，矩形｛詠在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)力的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)6的坐標(biāo)為(6,0),直線片3x與〃'交于點(diǎn)〃有一動(dòng)點(diǎn)〃從。出發(fā)，沿線段加以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)4動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)占時(shí)，點(diǎn)戶停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AOEP為直角三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，AOEP為等腰三角形？例2.如圖所示，直線/與x軸、y軸分別交于4(6,0)、B(0,3)兩點(diǎn)，點(diǎn)C(4,0)為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段48(包括端點(diǎn)4B)上運(yùn)動(dòng).(1)求直線L的解析式(2)當(dāng)點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)為1時(shí)，按角的大小進(jìn)行分類，請(qǐng)你確定△陽。是哪一類三角形，并說明理由.(3)是否存在這樣的點(diǎn)只使得為直角三角形?若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/經(jīng)過點(diǎn)4(2,-3),與x軸交于點(diǎn)6,且與直線平行.(1)求直線/的函數(shù)解析式及點(diǎn)8的坐標(biāo);

（2）如直線/上有一點(diǎn)材（a,-6）,過點(diǎn)〃作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)兒在線段,版上求一點(diǎn)只使△為6是直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).例4如圖1,ZVIBC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知G是邊46上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（G點(diǎn)不與力、8點(diǎn)重合），且GE〃AC,GF//BC,若4G=>,S^B-=y.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；（2）點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使△面產(chǎn)成為直角三角形，若能，請(qǐng)求出/G長(zhǎng)度；若不能,

請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使四邊形O謠構(gòu)成平行四邊形，若能，直接寫出心麗的值;若不能，請(qǐng)說明由.備用圖備用圖例5.如圖1,已知。為正方形被力對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)￡在邊6S的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)仇7,OF_L應(yīng)■交為延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡聯(lián)結(jié)凱(1)求證：E0=F6(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2,0E=20A,求用的長(zhǎng)；(3)當(dāng)您’=2。)時(shí)，將△尸應(yīng),繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△/=；%,使得數(shù)=30°時(shí)，試猜想并證明△力的是什么三角形.備用圖備用圖隨堂檢測(cè).如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+l與y=-'X+3交于點(diǎn)力，分別交x軸于點(diǎn)4和點(diǎn)。，點(diǎn)〃是直線力。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求點(diǎn)力、8、。的坐標(biāo)

（2）當(dāng)△物為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).如圖所示，一次函數(shù)卜=曰x+2的圖像與x軸、y軸分別交于4、B,以46為邊在第二象限內(nèi)作等邊△46C.（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)0）,使求點(diǎn)"的坐標(biāo)；

(3)如圖所示，點(diǎn)。(2百，0),在直線上是否存在一點(diǎn)尸，使為等腰三角第18講特殊三角形的存在性本節(jié)以一次函數(shù)為背景，結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)，解決特殊的三角形的存在性問題.要用到分類討論的思想，對(duì)想象力、分析能力和運(yùn)算能力都有要求，根據(jù)題目中的條件利用等腰三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化建立方程求解.模塊一：存在全等三角形知識(shí)精講全等三角形的存在性問題考察了全等三角形的性質(zhì)，利用邊的關(guān)系結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式構(gòu)造等量關(guān)系，主要的題型是求點(diǎn)的坐標(biāo).例題解析例1.如圖，直線48與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4點(diǎn)、B,已知力(2,0),8(0,4),線段必的兩端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)(點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)〃在x軸上)，且(1)求直線45的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，且和△力如全等時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).【難度】★★【解析】(1)；直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)力,點(diǎn)6,且4(2,0),B(O,4),二利用待定系數(shù)法，可得：宜線"的解析式為y=-2x+4：(2),：A(2,0),6(0,4),.?.即OA=2,OB=4.?.?△tw和△力如全等,：.0D=2或0D=4,〃點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)或(4,0)或(-2,0)或(一4,0).【總結(jié)】本題一方面考察一次函數(shù)解析式的求法，另一方面考察有關(guān)全等的運(yùn)用，由于沒有對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意要分類討論.例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)力,點(diǎn)6,點(diǎn)P(x,S是直線45上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)一不與點(diǎn)［重合)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0),。是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△A%的面積為S.(1)求S與＞之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積為15；(3)過點(diǎn)尸作46的垂線與“軸、y軸分別交于點(diǎn)反點(diǎn)F, 是否存在這樣的點(diǎn)P,使/\￡63△颯?若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【難度】★★★【解析】⑴?.?直線y=-x+8與x軸交于點(diǎn)4，A(8,0).'：點(diǎn)、P(x,y)是直線y=-x+8匕一動(dòng)點(diǎn)，/.y=-x+8?當(dāng)x<8時(shí)，S=lx6x(-x+8)=-3x+24.當(dāng)x>8時(shí)，S=-x6x(x-8)=3x-24；(2)令5=15,當(dāng)x<8時(shí)，S=-3x+24=15,解得：x=3,此時(shí)，P(3,5),當(dāng)x>8時(shí)，S=3x—24=15,解得：x=13,此時(shí)，P(13,-5)；(3)△EOP^ABOA,；.EO=BO=8,FO=AO=8,當(dāng)￡(8,0),尸(0,—8)時(shí)，則直線以'的解析式為y=x-8,[y=-x+8 [x=8 /、令「父，解得：八，???尸8,0；[y=x-8 [y=0當(dāng)￡,(一8,0),尸(0,8)時(shí)，則直線￡尸的解析式為y=x+8,y=-x+8

yy=-x+8

y=x+8x=0 ,、解得:y=8,綜上，當(dāng)△砌名△即時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,8)或(8,0).【總結(jié)】考察動(dòng)點(diǎn)與面積的結(jié)合及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意進(jìn)行分類討論.例3.(2018?上海八年級(jí)期末)如圖，一次函數(shù)片2產(chǎn)4的圖象與x,y軸分別相交于點(diǎn)A,B,以四為邊作正方形4靦(點(diǎn)〃落在第四象限).(1)求點(diǎn)4B,〃的坐標(biāo)；(2)聯(lián)結(jié)笫設(shè)正方形的邊切與“相交于點(diǎn)發(fā)點(diǎn)物在x軸上，如果△/龍與△C0V全等，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】(1)/!(-2,0),B(0,4),D(2,-2)；(2)M(5,0).【分析】(1)由于一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B,所以利用函數(shù)解析式即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后作DF_Lx軸于一點(diǎn)F,由四邊形ABCD是正方形可以得到ZBAD=ZA0B=ZAFD=90°,AB=AD,接著證明△BAO絲ZXADF,最后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DF=A0=2,AF=B0=4,從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)。作CtLy軸于G,連接效，作皿_1_a'交x軸于機(jī)用求點(diǎn)D的方法求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,2),得出0C=2,由A、B的坐標(biāo)得到AB=25/5＞從而OC=AB=AD,根據(jù)△ADE與AC0M全等,利用全等三角形的性質(zhì)可知OM=AE,即0A=EM=2,利用C、D的坐標(biāo)求出直線CD的解析式，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)EM=2,即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).【詳解】解：(1)???一次函數(shù)尸2廣4的圖象與x,y軸分別相交于點(diǎn)兒B,：.A(-2,0),B(0,4),A0A=2,0B=4,如圖1,過點(diǎn)〃作"Ux軸尸廠，

圖1圖1:.NDA>NAD29Q°,?.?四邊形/時(shí)是正方形，:"AM,NBA店90°,:.NDARNBA890°,：./AD戶NBAO,[NAFD=NBOA在△4F和△的。中，(NAOE=NBA。，AD=AB:.△ADF^ABAO(AAS),旌曲=2,AH,:.om忙2,?.?點(diǎn)〃落在第四象限，圖2(2)如圖2,過點(diǎn)C作CGLy軸于G,連接0C,作CM上0C交工軸于M,同(1)求點(diǎn)〃的方法得，＜7(4,2),.,.沖“2+22=26，,：A(-2,0),B(0,4),?.?四邊形/比。是正方形，:#=0C,,.,△/龍與全等，且點(diǎn)〃在x軸上，工XAD監(jiān)△OCM,：.OM=AE,?：0后OE-EM,AE=OE+OA,，￡滬以=2,VC(4,2),D(2,-2),直線》的解析式為片2片6,令尸0,...2『6二0,，產(chǎn)3,?"(3,0),/.〃上5,，"(5,0).故答案為(l)A(-2,0),B(0,4),D(2,-2)；(2)M(5,0).【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).模塊二：存在等腰三角形知識(shí)精講等腰三角形的分類討論是壓軸題中一個(gè)熱門考點(diǎn)，本類題目均和圖形運(yùn)動(dòng)有關(guān)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力，能夠根據(jù)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，把最終的圖形畫出，利用分類討論的思想，結(jié)合題目中的已知條件建立等量關(guān)系.例題解析例1.直線y=+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4、B,點(diǎn)4坐標(biāo)為(-3,0),NOA8=30將x軸所在的直線沿直線AB翻折交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是直線48上一動(dòng)點(diǎn).(1)求直線AB的解析式；(2)若CF_LAB,求O尸的長(zhǎng)：(3)若AAOF是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).【難度】★★【解析】⑴,?,點(diǎn)/坐標(biāo)為(-3,0),NOA8=30,：.B(0,6).直線相的解析式為：y=—X+V3；3(2)延長(zhǎng)。'交x軸與點(diǎn)〃x軸所在的直線沿直線AB翻折交y軸于點(diǎn)C,ZC4O=2ZBAO=60°.二ZACO=30°.,：A(-3.0),AC(0,3^),AC=6.VZC4F-ZDAF.AF=AF.ZAFC=ZAFD=90./.△。修△DAF,：.CD=AC=&.,：NC4O=60°,切為等邊三角形，ACF=DF.'：NCOO=90。，:.OF=-CD=-x6=3；2 2(3):點(diǎn)尸是直線AB上一動(dòng)點(diǎn),二設(shè)尸或產(chǎn)（-3,0）或產(chǎn)（-3,0）（舍去）;當(dāng)I%7時(shí)，3= +3）2+-^-m+V3j>解得：機(jī)=萬百—3或，〃=一萬6―3,當(dāng)內(nèi)3",時(shí),3解得：m=--)綜上所述：點(diǎn)F當(dāng)內(nèi)3",時(shí),3解得：m=--)綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為:【總結(jié)】考察一次函數(shù)解析式的求法和等腰三角形的分類討論，注意利用兩點(diǎn)距離公式將等腰三角形的問題轉(zhuǎn)化為解方程進(jìn)行求解.例2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)片2x+12的圖像分別交x軸、y軸于4、6兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交y軸的正半軸于點(diǎn)M,且點(diǎn)"為線段如的中點(diǎn).（1）求直線4V的解析式.（2）尸為直線4"上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)使得以尸、以科為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【難度】★★【解析】（1）???函數(shù)片的圖像分別交/軸、y軸于48兩點(diǎn),：.B（0,12）,A（-6,0）,???點(diǎn)"為線段如的中點(diǎn)，二"（0,6）,/.宜線4V的解析式為y=x+6；（2）?.?0為直線4V上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，".P{m，m+6）,當(dāng) 時(shí)，f>=ylm2+m2,解得：m=±3近，此時(shí)〃（3拉，3人+6）,或〃（-3人，-3及+6）；當(dāng)BAY=8尸時(shí)，6=j￡+?-6）2,解得：機(jī)=0或m=6,此時(shí)一（0,6）（舍去）或〃（6,12）；當(dāng) 時(shí)，>]m2+m2=^m2+（m-6）2,解得：m=3,此時(shí)此（3,9）；綜上所述：尸（3人，3^2+6）或2（—3收，-372+6）或產(chǎn)（6,12）或。（3,9）.【總結(jié)】考察一次函數(shù)解析式的求法和等腰三角形的分類討論，注意利用兩點(diǎn)距離公式將等腰三角形的問題轉(zhuǎn)化為解方程進(jìn)行求解.例3.如圖，函數(shù)y=-二x+1的圖像與x軸、y軸分別交于4、8兩點(diǎn)，以線段48為邊在第一象限內(nèi)作等邊△46C.（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）將△被7沿著直線48翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)〃處，求直線4〃的解析式；（3）在x軸上是否存在￡,使?為等腰三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)6的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.【難度】★★★【解析】（1）函數(shù)y=-3x+l的圖像與x軸、y軸分別交于4、6兩點(diǎn)，,A（g,0）,8（0,1）,

...QA=GOB=1,BA=2,：.ZBAO=30P.?:等邊/?ZCAB=60°,CA=2.VZBAO=30P,：.ZC4O=90°,/.C(75,2)；；NCB4=NOS4,ABLCD,."在y軸上，*/BC=BD,A0(0,-1),直線的解析式為：y=-x-\■.3(3)設(shè)0),則>4￡)=2,AE= ,DE=yl+1.當(dāng)A￡>=他時(shí)，2=石J2,解得：m=V3±2,此時(shí)￡(石+2,0),或 石-2,0)；當(dāng)4)=E>E時(shí)，2=6+1,解得：m=±6此時(shí)￡（-6，0）,或￡（6，0）（舍去）；m=—,此時(shí)f(—,0),3 3ng(―,m=—,此時(shí)f(—,0),3 3ng(―,0).（石+2,0）或（石-2,0）或（-60）【總結(jié)】本題主要考察一次函數(shù)解析式的求法和等腰三角形分類討論，注意對(duì)直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用.例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/：y=-；x+/n與x軸、y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)4、B,過點(diǎn)。（一4,一4）作平行于y軸的直線交四于點(diǎn)〃，CZ>10.（1）求直線/的解析式；（2）求證：是等腰直角三角形；（3）將直線/沿y軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時(shí)，直線與x,y軸分別相交于點(diǎn)H、B',在直線或上存在點(diǎn)尸，使得B'P是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)一的坐標(biāo).【難度】★★★【解析】（1）:過點(diǎn)以-4,一4）作平行于y軸的直線交月5于點(diǎn)。，￡>（口，2+切）.VO>10,；.2+6+4=10,解得：m=4,二宜線/的解析式為：y.L+4：2（2）I?直線/：y=-；x+4與x軸、y軸的正半軸分別相交丁點(diǎn)4B,."（8,0）,5（0,4）,:.BC=4M，BA=4y[5,AC=4410,：.BC2+AB2=AC2,AB=BC,，△/1%是等腰直角三角形；⑶耳IT）6（48）,6（4-12）,鳥（44）.（通過△/'B1尸是等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形.）【總結(jié)】考察等腰三角形的證明及一次函數(shù)解析式的確定.例5.（2021?上海八年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（3,4）,將直線OA繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線J=kx（k豐0）.（2）求女的值；（3）在直線丁=丘（人二0）上有一點(diǎn)8,其縱坐標(biāo)為1.若子軸上存在點(diǎn)。，使是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出滿足要求的點(diǎn)。的坐標(biāo).4 1 25【答案】（1）廣；x：（2）k=-;（3）當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，，3 7 80）或（6,0）或（7+2癡，0）【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解：(2)如圖，作AE_LOA交直線y=kx于E,AD_Lx軸于D,EHJ_AD于H,證明△0AD^4AEH,得到AH=0D=3,EH=AD=4?即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)求解;(3)先確定點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，即B(7,1),由勾股定理求出AB=J(7-3)2+(4-1)2=5，分三種情況：①當(dāng)AC=BC時(shí)，②當(dāng)AB=AC=5時(shí)，③當(dāng)AB=BC=5時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解.【詳解】(1)設(shè)直線0A的解析式為y=mx,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得3m=4,4解得nF-?34??直線0A的解析式為y=yx；(2)如圖，作AELOA交直線y=kx于E,ADLx軸于D,EH?LAD于H,VZA0E=450,NOAE二90°，??NAEONAOE二45。，.'.OA=AE,VADlx,,EH±AD,JNADO:NAME二NOAE二90。，：.Z0AD+ZHAE=ZHAE+ZAEH=90°，NOAD=NAEH,.'.△OAD^AAEH,AAH=0D=3,EH=AD=4,??點(diǎn)E的坐標(biāo)為(7,1),將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y=kx中，得7k=l,解得k=一；7?點(diǎn)B與點(diǎn)E重合,即B(7,1),VA(3,4),B(7,1),,.AB-^(7—3)2+(4—I)2=5，分三種情況：①當(dāng)AC=BC時(shí)，作CMJ_AB,則AM=BM,AM(5,2.5),VCMZ/OA,4設(shè)直線CM的解析式為y=￡x+n,-3TOC\o"1-5"\h\z.20 5?? 卜幾二一,3 225解得產(chǎn)-2,6.4 25.?y=x ,6\o"CurrentDocument"25 7S當(dāng)y=0時(shí)，—x =。，解得x=——,\o"CurrentDocument"6 825???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(―,0)；8

②當(dāng)AB=AC=5時(shí)，②當(dāng)AB=AC=5時(shí)，,.*OA=AB,；.AC=OA,.,.0C=6,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0)；③當(dāng)AB=BC=5時(shí)，作BN_Lx軸于N,V0N=7,BN=1,BC=5,CN=>/BC2-BN2=舊-f=276，；.0C=0N+CN=7+2卮二點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7+276.0）,0）或（6,0）或（7+20）或（6,0）或（7+2卡,0）.8【點(diǎn)睛】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，這是一道一次函數(shù)的綜合題，解題中注意運(yùn)用分類思想解決問題.例6.（2018?上海八年級(jí)期末）如圖，在梯形月及蘇中，AD//BC,AB=CD,比'=10,對(duì)角線/口班相交于點(diǎn)0,且然設(shè)△”0的面積為y.（1）求/遮'的度數(shù)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖1,設(shè)點(diǎn)只。分別是邊8a四的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)6P,OQ,PQ.如果△。倒是等腰三角形，求利的長(zhǎng).【答案】（1）/W45；（2）尸gx（x>0）；（3）滿足條件的42的值為10血-10.【分析】（1）過點(diǎn)D作AC的平行線DE,與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，只要證明ABDE是等腰直角三角形即可解決問題；（2）由（1）可知：△BOC,AAOD都是等腰直角三角形，由題意OAu￥x,0B=5&,根據(jù)y='.0A?OBi|算即可；2（3）分三種情形討論即可解決問題；【詳解】（1）過點(diǎn)〃作4c的平行線DE,與6c的延長(zhǎng)線交于￡點(diǎn).ADAD???梯形4909中，AD//BC.AC//DE.，四邊形為平行四邊形，AC=DE,AD=CE,,:AB=CD,???梯形力反力為等腰梯形，：.AC=BD9:?BD=DE,又ACIBD,：.ZBOC=90°AC//DE:?/BDE=9N,J△力應(yīng)是等腰直角三角形，：.ZDBC=45°.(2)由(1)可知：ABOC,△/切都是等腰直角三角形,,:AD=x,犯=10,萬/.OA=—x,OB=5五,2 、一：.y=--OXOB，.也尤x50=-x(x>0).2 22 2(3)如圖2中，VAQ=QB,BP=PC=5,1；.PQ〃AC,PQ=-AC,2.*.AC=10,；0C=5近，.'.0A=10-5y/2,.,.AD=&0A=10貶-10.②當(dāng)0Q=0P=5時(shí)，AB=20Q=10,此時(shí)AB=BC,ZBAC=ZBCA=45",.\ZABC=90o,同理可證：ZDCB=90°,...四邊形ABCD是矩形，不符合題意，此種情形不存在.③當(dāng)0Q=PQ時(shí)，AB=2OQ,AC=2PQ,/.AB=AC,.,.ZABC=ZACB=45",/.ZBAC=90°=ZBOC,顯然不可能，綜卜.所述，滿足條件的AD的值為100-10.【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、梯形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題.例7.(2017?上海八年級(jí)期末)已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC,AB1BC,AB=2a/3-E是邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE,且DE_LCE.設(shè)AD=x,BC=y.(1)如果/BCD=60°,求CD的長(zhǎng)；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)聯(lián)結(jié)BD.如果4BCD是以邊CD為腰的等腰三角形，求x的值.乙【答案】(1)4； (2)x>0,且⑶X夸【解析】(1)首先過點(diǎn)D作DH_LBC,垂足為點(diǎn)H,由AD〃BC,AB1BC,DH1BC,可求得DH的長(zhǎng)，然后設(shè)CH=x，則CD=2x,利用勾股定理即可求得方程：x2+(273 )2=4x1解此方程即可求得答案：(2)首先取CD的中點(diǎn)F,連接EF,由梯形的中位線，可表示出EF的長(zhǎng)，易得四邊形ABHD是平行四邊形，然后由勾股定理可得：(y-x)2+12=(x+y)2,繼而求得答案；(3)分別從CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案.解：(1)過點(diǎn)D作DHJ_BC,垂足為點(diǎn)H.VAD/ZBC,AB±BC,DHXBC,.?.DH=AB=2V3>在RtADHC中，VZBCD=60°,ZCDH=30".，CD=2CH,設(shè)CH=x,則CD=2x.利用勾股定理，得CH2+DH2=CD2.即得：X，+(2?)Mx2.解得x=2(負(fù)值舍去).；.CD=4；(2)取CD的中點(diǎn)F,連接EF,；E為邊AB的中點(diǎn)，AEF=y(AD+BC)=y(x+y).VDE±CE,，NDEC=90°.又；DF=CF,/.CD=2EF=x+y.由ABJ_BC,DH1BC,得NB=NDHC=90°.AAB/7DH.又；AB二DH,，四邊形ABHD是平行四邊形./.BH=AD=x.即得CH=|y-x|,在Rt^DHC中，利用勾股定理，得CH2+DH2=CD2.即得(y-x)2+12-(x+y)2.解得尸a,X...所求函數(shù)解析式為浮.X自變量X的取值范圍是x>0,且xTtF；(3)當(dāng)△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形時(shí)，有兩種可能情況：CD=BD或CD=BC.(i)如果CD=BD,由DHJ_BC,得BH=CH.即得y=2x.利用y=—，得2x=^?xx解得％=半，%=-4.經(jīng)檢驗(yàn)：X.=~~~?%2=一~~~，且X)-~~~~不合即意，舍去.' 2 - 2 - 2(ii)如果CD=BC,則x+y=y.即得x=0(不合題意，舍去),“點(diǎn)睛”此題屬于四邊形的綜合題.考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí).注意掌握輔助線的作法，掌握方程思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

模塊三：存在直角三角形知識(shí)精講直角三角形的特征非常明顯，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直角三角形中一般有兩個(gè)頂點(diǎn)是確定的，另一個(gè)頂點(diǎn)在某個(gè)函數(shù)圖像上，通常用兩點(diǎn)間的距離公式表示出第三條邊后再討論三角形的哪個(gè)角有可能是直角，根據(jù)這個(gè)直角的條件結(jié)合題目條件進(jìn)行計(jì)算，此類綜合題需要用到的知識(shí)較多，需要考察學(xué)生的思維、分析能力.例題解析例1.如圖，矩形力詠在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)｛的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)6的坐標(biāo)為(6,0),直線片3x與4'交于點(diǎn)〃.有一動(dòng)點(diǎn)〃從。出發(fā)，沿線段加以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)4動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)占時(shí)，點(diǎn)戶停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AOEP為直角三角形？【解析】(【解析】(1)?.?點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,0),二直線43的解析式為y=—gx+31、AE（2.4,1.8）y=AE（2.4,1.8）4，則y=x4當(dāng)NOP￡=90°時(shí)，OP=2t,P（2z,0）,OE2+PE2=PO2,：.2.42+1.82+（2r-2.4）2+1.82=（2r）2,解得：r=1,875；當(dāng)NOPE=90°時(shí)，OP=2.4. 2r=2.4,解得：r=1.2；（2）當(dāng)OE=P￡?時(shí)，有三線合一可得：OP=2f=4.8,解得：f=2.4；當(dāng)OE=O尸時(shí)，OP=OE=3,/./=1.5；當(dāng)OP=PE時(shí)，r=J（2.4-21）2+1.82,解得：z=0.9375.

【總結(jié)】考察等腰三角形和直角三角形的分類討論，注意方法的歸納總結(jié).例2.如圖所示，直線Z與x軸、y軸分別交于4(6,0)、B(0,3)兩點(diǎn)，點(diǎn)C(4,0)為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)。在線段48(包括端點(diǎn)從B)上運(yùn)動(dòng).(1)求直線人的解析式(2)當(dāng)點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)為1時(shí)，按角的大小進(jìn)行分類，請(qǐng)你確定△必，是哪一類三角形，并說明理由.(3)是否存在這樣的點(diǎn)只使得△△(七為直角三角形?若存在，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【難度】★★【解析】(1)?.,直線/與x軸、y軸分別交于A(6,0)、B(0,3)兩點(diǎn)，二直線L的解析式為「=-gx+3；(2)當(dāng)點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為1時(shí)，P(4,l),:PC_Lx軸，△必C是直角三角形；(3)當(dāng)NOCP=90P時(shí)，P(4,l)；當(dāng)NPOC=90°時(shí)，P(0,3)；當(dāng)NOPC=90°時(shí)，設(shè)?m,-：機(jī)+3,:OP2+PC2=OC2，m2m2+1—〃？十2=42,解得：m=2或加=身5P(P(2,2)或尸186—,一55綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：*4,1)或網(wǎng)0,3)或2(2,2)或々手,才【總結(jié)】本題主要考察一次函數(shù)解析式的確定及直角三角形的分類討論，注意對(duì)方法的歸納總結(jié).例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/經(jīng)過點(diǎn)/(2,-3),與x軸交于點(diǎn)區(qū)且與直線片3x-?平行.3(1)求直線/的函數(shù)解析式及點(diǎn)6的坐標(biāo)；(2)如直線/上有一點(diǎn)"(a,-6),過點(diǎn)〃作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)兒在線段做上求一點(diǎn)凡使△為6是直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).【難度】★★★【解析】(1)???直線/經(jīng)過點(diǎn)4(2,-3),且與直線產(chǎn)3x平行，3.?.直線)的函數(shù)解析式為y=3x-9,8(3,0)；(2)1?直線/上有一點(diǎn)M(a,-6),：.a=\可設(shè)P(l,y)當(dāng)PA2+PB2=AB2^,即l+(y+3)2+4+/=10,解得：y=-l或y=-2, 或「(1,-2)；當(dāng)PA2+AB2=PB2fti,即l+(y+3)2+10=4+y2,解得：y=-g，當(dāng)+ 時(shí)，即4+/+10=1+0+3)2,解得：y=g，??,尸(1彳)(舍去)綜上所述，「。，-1)或/3(1,-2)或尸［1,-?.【總結(jié)】本題一方面考查兩直線平行時(shí)，解析式滿足的關(guān)系，另一方面考查直角三角形的分類討論，注意勾股定理的綜合運(yùn)用.例4如圖1, 方是邊長(zhǎng)為2G的等邊三角形，已知G是邊圈上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(G點(diǎn)不與/、6點(diǎn)重合)，旦GE〃AC,GF//BC,若4G=x,St^=y.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；(2)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使成為直角三角形，若能，請(qǐng)求出4G長(zhǎng)度；若不能,請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使四邊形兩構(gòu)成平行四邊形，若能，直接寫出叢曲的值；若不能，請(qǐng)說明由.【難度】★★★【解析】(1),△胸是邊長(zhǎng)為2行的等邊三角形，豆GE〃AC,GF//BC,.?.△加七是等邊三角形，△頗是等邊三角形，/.FG=AG^x,EG=BG=2y/3-x,ZEGF=60°:.y=-EG-—FG=-{2y/3-A—x=--x2+-x(0<x<2后);2 2 2' '2 4 2(2)當(dāng)N￡R；=90°時(shí)，ZEGF=(fiP,；.x=g(2再-x),解得：x=|V3；當(dāng)N/=EG=900時(shí)，ZEGF=60°.：.-x=2y[3-x,解得：x=352 3一 9i-. 4r-綜上所述：AG=—V3yJcAG=—V3：3 3(3)若四邊形兩構(gòu)成平行四邊形，則△6Z77是等邊三角形，△￡%是等邊三角形，二EF=FG=AG=GB=-AB=y/3，2：.S^gef=-V3xV3x^=-V3.a"2 24【總結(jié)】本題主要考察等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意分類討論思想的運(yùn)用.例5.如圖1,已知。為正方形4四對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)￡在邊龍的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)￡0,0F，位'交為延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)阮(1)求證：E0=F(h(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2,0E=20A,求儲(chǔ)的長(zhǎng)；(3)當(dāng)龐'=2曲時(shí)，將△尸CE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使得/9=30°時(shí)，試猜想并證明△?(如是什么三角形.圖1 備用圖【難度】★★★【解析】（1）???四