石墨烯理論(中)值得注意，Dirac點必須是偶數(shù)個，這時Hall電導(dǎo)才會呈整數(shù)量子化；如果有奇數(shù)個Dirac點，則會出現(xiàn)半整數(shù)量子化，而具有時間反演對稱性的晶格系統(tǒng)保證了Dirac點是成對出現(xiàn)(Nielssen提出的“費(fèi)米子加倍定理”)。*費(fèi)米子加倍定理：一個局域自由費(fèi)米子晶格系統(tǒng)，若其作用量具有手征性以及平移對稱性則費(fèi)米子數(shù)會加倍。我們不妨先考察量子場論中自由費(fèi)米子作用量S=Iddx+mjt1現(xiàn)在將d維空間連續(xù)費(fèi)米子場引入到離散晶格系統(tǒng)'???(，?表示晶格格點)，作用量變?yōu)镾="?*.祐屈f項5瞄+mSX?'，為晶格常數(shù)，二為晶格鍵方向上的單位矢量。計算動量空間上系統(tǒng)的Green函數(shù)G(p)=—』=1―—;動量外限制在Brillouin區(qū)［一^/巳+行/俚］中離散化，在皿離散取值附近展開Green函數(shù)，Green函數(shù)的極點代表粒子激發(fā)，我們會發(fā)現(xiàn)只有在Brillouin區(qū)頂點上的位置時Green函數(shù)才會得到與連續(xù)時候一致，并且這時候發(fā)現(xiàn)Brillouin區(qū)并不只包含一個費(fèi)米子極點，計算每個頂點上對應(yīng)的每個動量分量「?.都會得到一個費(fèi)米子傳播函數(shù)，譬如一維晶格Brillouin區(qū)上有一"一"兩個頂點上的費(fèi)米子(注意這時?.符號改變，正好會消除手征反常)；四維晶格格點中，動量分量取值P=(0,0,0,0),(tt/gj0,0,0),(0,7r/a,0,0),(0,0,tt/gjO),?r/a,tt/g,tt/c)，共十六個費(fèi)米子。對于d維空間晶格，則有個費(fèi)米子。因此在理想離散晶格中費(fèi)米子數(shù)目成倍增加。2石墨烯中的量子自蜘〃效應(yīng)最初量子自旋Hall效應(yīng)的構(gòu)造是C.L.Kane和Mele的從石墨烯結(jié)構(gòu)引入了次鄰近格點間電子的內(nèi)稟自旋軌道耦合，X和X'的Dirac點因為自旋軌道耦合會打開體能隙，此時體態(tài)就變成了絕緣體;假設(shè)自旋"守恒，Kane-Mele模型為H=fE涉勺+SL心g

不難發(fā)現(xiàn)這個模型正是前面討論過的Haldane模型的疊加，其中自旋向上和自旋向下的電子分別處于一個Haldane模型晶格中，躍遷矩陣元互為共軛。以為基，則哈密頓量是兩個自旋部分的直和t_t/Ix_（Hatdam]（）（）0H矗g（F計算半有限系統(tǒng)會出現(xiàn)兩條手征邊緣態(tài)，穿過費(fèi)米能級的四條邊緣態(tài)，分別代表兩個邊緣上的上下自旋。石墨烯系統(tǒng)里的自旋軌道耦合作用是個復(fù)雜的事情，一方面碳原子質(zhì)量數(shù)小，因此自旋耦合軌道作用比較弱。另一方面，多體格點系統(tǒng)里面，價電子自旋可以和本格點（on-site）碳原子，鄰近原子間的價鍵軌道乃至次鄰近的價鍵軌道動量進(jìn)行耦合。一般我們關(guān)心的是??軌道上價電子輸運(yùn)性質(zhì)，尤其是在Dirac點處低能電子受到這種弱的自旋軌道耦合作用影響產(chǎn)生的不同的電子結(jié)構(gòu)性質(zhì);在Dirac點處的零能態(tài)因為時間反演對稱性是Krames二重簡并的。在石墨烯平面系統(tǒng)中，價層原子軌道是”，形成的一軌道，形成碳骨架的l鍵是叩-雜化軌道。'成分與三個「成分之間有能量（鍵能），還有價鍵軌道的能量。緊束縛模型的哈密頓量里面的電子躍遷能量自然也需要考慮這些不同原子軌道、價鍵軌道間的躍遷能量。從Thomas自旋軌道耦合項Hso=睛）?S=半M=VPt^Lt?S,il出發(fā)，由于自旋軌道耦合比較弱，我們可以將自旋耦合軌道作用項視為微擾項項〃?.,?.，，可以在一個Brillouin區(qū)中考察Wannie表象下基態(tài)波函數(shù)完備集，兩個頂點XX處也即Ferimi面附近的四重（包含了自旋簡并）零能簡并的一軌道波函數(shù)

'門（即A,B兩個碳原子上的?原子軌道組合成）與其他不與一軌道簡并的波函數(shù)"'“（"「「'：）進(jìn)行簡并微擾計算，到二級近似，伽叫△團(tuán)沙））/叫I卻當(dāng)然也可以用Bloch表象波函數(shù)進(jìn)行■近似展開，那就是Dresselhaus計算石墨系統(tǒng)自旋耦合作用所采用的辦法。算出來在X點的微擾矩陣元為：&珀日朋0000A洪40-^5000-2ikR一遍口0風(fēng)％0000寫出系統(tǒng)的低能有效自旋軌道耦合作用的哈密頓量Heff=—插"+人咒（頂技撰？—㈤&}+人卯這是個很有意思的結(jié)果，第一項是平庸的對角項耦合能量，可以忽略;微擾的一級項是較為常見的Rashba自旋軌道耦合項，來源于電子自旋與相應(yīng)原子軌道動量耦合，在無外場時候這個項不重要;微擾二級項是所謂內(nèi)稟自旋耦合，由晶格對稱性與碳原子軌道幾何性質(zhì)決定。三個類似“自旋”的Pauli矩陣算符分別代表著電子真實自旋…、石墨烯晶格結(jié)構(gòu)（與A和B原子軌道之間的耦合軌道運(yùn)動自由度相關(guān)）的晶格贗自旋?"以及二重簡并的谷自由度贗自旋（Brillouin區(qū)中包含X和X兩個對稱性不等價的簡并能——二重谷簡并）。石墨烯中的這兩個谷由時間反演對稱性相聯(lián)系，這與電子自旋十分類似，所以石墨烯的谷自由度可視為贗自旋）以及真實的電子自旋，從構(gòu)造上可以明顯看出這個作用由晶格對稱性和碳原子軌道幾何性質(zhì)所決定;這個項的出現(xiàn)在物理上的原因是??軌道上軌道之間混合的結(jié)果，換言之單純的r，■原子軌道混合對此沒什么貢獻(xiàn)，。軌道混合才有凈貢獻(xiàn)，這一點也從Haldane模型的對這個內(nèi)稟自旋軌道耦合項寫法中間接體現(xiàn)出來:躍遷格點間的兩個?鍵的單位矢量”'"?'?（從；??格點指向相鄰的"；格點）叉乘后再和一軌道上的電子自旋矢量、?點乘Hso—2如.（靠X如）勺我們說過這個內(nèi)稟自旋軌道耦合將打開上、，大小的能隙，這個能隙有多大？具體是需要去像上面那樣微擾計算。簡便地估算我們可以選擇簡化的波函數(shù)。前面第一節(jié)在二次量子化中對A，B原子的軌道進(jìn)行疊加得到波函數(shù)，我們采用Nambu表象：Hso—2如.（靠X如）勺W（r）=［（Xg也敦＜），（財"皿咐）］"（「）2偵）=叫岸'以）

是四分量波函數(shù)，這里我們不妨將之視為模恒定的包絡(luò)函數(shù)；，是A,B原子的XX處的（「—d）］/商波函數(shù)的模函數(shù)：廠、為Brillouin區(qū)中等價于X或者X'的另外三個頂點位置處的晶格動量，?/是從A到B格點的基矢。這樣微擾矩陣元也可以得到相同結(jié)果。簡單地引入晶格間的Coulomb作用能■=這時粗略估計得到能隙大小約為.一3??i2c2a3~2.4J<■=這時粗略估計得到能隙大小約為.一3??i2c2a3~2.4J<上面的估算并沒有考慮電子間的長程Coulomb相互作用，在石墨烯中進(jìn)一步計入Coulomb相互作用需要進(jìn)行微擾計算?，F(xiàn)考慮無摻雜純石墨烯晶格系統(tǒng)中的理想二維電子氣體，引入Coulomb相互作用后變會變成某種Fermi液體系統(tǒng)哈密頓量為土砂頃時）H——ivFfd2r中*(r)b-V^(r)+［成廠決V其中注*申'言’*是電子密度算符石墨烯中的二維Coulomb相互作用電子液體理論和QED的情形很不同。由于；接近光速，因此認(rèn)為Coulomb相互作用推遲效應(yīng)很小幾乎是瞬時。而不想QED中光子是三維空間中傳播，二維電子系統(tǒng)相互作用是限制于二維空間的，從哈密頓量可知Coulomb作用會破壞Lorentz對稱。正如同QED中l(wèi)哈密頓量的兩個參數(shù)是,■-，二維電子系統(tǒng)理論也依賴于兩個參數(shù)「，并且在標(biāo)度變化■"?；';，；-';，1'"下不變。以RG（重整化群）的語言來說，Coumlomb作用是“臨界變量二與動能有關(guān)而不隨標(biāo)度變換改變。在QED中的電磁作用耦合常數(shù)

"E,在石墨烯二維電子系統(tǒng)中''-''?'*?-'-?,，《?能標(biāo)下的耦合常數(shù)尸T土砂頃時）Oi==1則是'J'人們通常對Green函數(shù)微擾計算，對相互作用進(jìn)行自能修正。V-**?///kk+q在Hartree-Fock近似下計算自能圖，得到HF自能修正E(q)=hvrq[l+(a/4)hi(A/q)]-是動量截斷，依據(jù)Dirac方程的低能有效范圍而設(shè)定。我們看到當(dāng)",七能譜將是對數(shù)發(fā)散的，因為二維電子系統(tǒng)的Coulomb作用是長程的2開尸%=——q因此有必要引入屏蔽來避免發(fā)散，我們在無規(guī)相位近似(RPA)下計算出極化函數(shù)是q2IT(q,切=,=因此在T,情況下，零頻極化率將消失，得到動態(tài)介電函數(shù)后將抵消掉原本真空Coulomb作用的發(fā)散源"；這就是耦合常數(shù)重整化后得到計入真空極化屏蔽的耦合常數(shù)：?’“「."_!以上是對于小耦合常數(shù)情形，而上面得到的結(jié)果有更深的含義。原本長程Coulomb相互作,11*TF&j~t~j7==用經(jīng)過屏蔽后變成短程作用，Thomas-Fermi屏蔽長度為"“為電子數(shù)密度，可以看到在二維電子系統(tǒng)中屏蔽長度很小。弱的相互作用微擾過程中是穩(wěn)定不會發(fā)散的，因此能譜在重整化群的標(biāo)度變換上'，11；"-■■■■.下是不變的，重整化流方程：daH=萬=町1重整化群方程依賴于重整化參數(shù)”?-■■■的標(biāo)度，依據(jù)原來未重整化的作用頂點,■一"??'.■」，我們可單單以來表征標(biāo)度特征。在長波極限很小接近為零，從方程可知此即為重整化流的不動點（即重整化參數(shù)的鞍點）。變小，微擾性質(zhì)將更好。這意味著即使在強(qiáng)關(guān)聯(lián)作用情形，系統(tǒng)依舊會流向長波微擾極限。這告訴人們是臨界無關(guān)的。因此一定動量截斷”，小的色散關(guān)系將由上面重整化群方程給出，得到關(guān)于Fermi速度在?下的對數(shù)重整化。臨界無關(guān)的含有對數(shù)修正項且在低能標(biāo)下依然存在，這時我們的系統(tǒng)在低能情形變成一種臨界Fermi液體。在"'能標(biāo)截斷-「下有，’"：「解重整化方程得到重整化參數(shù)口=［卬「+（n'W}h】（Au/A）］1。該結(jié)果與大n極限展開（N是電子規(guī)范自由度，類似“味”）得到的結(jié)果相同。我們把這些方法應(yīng)用到自旋耦合軌道能的修正上去。下面這個就是對具有自旋軌道耦合頂點項的傳播子加上Coulomb作用的正規(guī)自能1?1圖：重整化流方程："一-在能標(biāo)..的重整化為…I'.，上…一，選定一定上■--f'-截斷有效作用■-1：，-71，得到重整化自旋軌道耦合能■-■-：A，比較可知引入電子間相互作用后將會更明顯地拉大能隙。有界石墨烯晶格系統(tǒng)會產(chǎn)生兩條無能隙螺旋邊緣態(tài)，它們在邊界上會形成一些沒有背散射”的導(dǎo)電通道（也就是不受雜質(zhì)散射影響的理想導(dǎo)體）。這是由于體態(tài)的非平庸拓?fù)湫员Ｗo(hù)而對各種非磁性雜質(zhì)具有魯棒性?？紤]由于雜質(zhì)導(dǎo)致的Krames對'■之間的散射矩陣元。對1/2自旋的電子L-時間反演算符為H1'"R1*；3,其中K-是取復(fù)共軛操作算符，，.?是自旋投影算符，且有宇-。非磁性雜質(zhì)散射勢滿足㈠""㈠，，Krames對之間=9妨研，偵=0^/4（臨|V|枝G玖帝）==一（腿t|V|如。

■■■■'■■■."即對于互為時間反演共軛的兩個邊緣態(tài)在保持時間反演對稱的散射勢下，其躍遷矩陣元為零。也可以用Buttiker-Floquet散射矩陣?yán)碚撁枋觯嚎紤]向左、向右運(yùn)動的邊緣態(tài)組成的入射態(tài)-"以及出射態(tài)'-'??..?「.；.??-.，.’■,時間反演對稱將聯(lián)系入射態(tài)和出射態(tài)」????????""」?????..?，散射矩陣為、??.：'-,■■■，因此推得IF廠頃-「八加J時間反演對稱性使得'匚；?,這么一來，描述背向散射的矩陣元?消失。因此輸運(yùn)中是完美地穿過勢壘，不存在非彈性背向散射。很重要的一點情況是時間反演對稱性依舊存在，而且在極化情況下自旋在.?方向是守恒的，也就是、.是個好量子數(shù)。而當(dāng)加入外電場（實際上材料也往往存在破壞自旋、.守恒的因素，譬如應(yīng)變導(dǎo)致結(jié)構(gòu)反演對稱受破壞），那么這時候一級作用一一Rashba自旋軌道耦合也就起很大影響。而由于'「.不是守恒的好量子數(shù)，也就無法定義自旋流了也就不再有量子自旋Hall電導(dǎo)，因而不再處于QSH相。然而值得慶幸的是，Rashba耦合項只是破壞空間反演對稱性并沒破壞時間反演對稱性，那么作為邊緣態(tài)出現(xiàn)的一對無質(zhì)量Dirac費(fèi)米子依舊會保留下來（這固然需要依據(jù)情況適當(dāng)調(diào)節(jié)Fermi面與邊緣態(tài)相交）。當(dāng)Rashba耦合能增大到比內(nèi)稟耦合能大時'V-"，這時候邊緣態(tài)不再是無能隙的，即打開了整個系統(tǒng)的能隙，這是意味著這是個量子相變臨界點。相變后變成弱的時間反演對稱保護(hù)的二維非平庸拓?fù)浣^緣體相，只不過自旋、.不守恒而失去QSH相。1.2oM0.80.40.0-1.0*0.50.00.51.0Wg當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入拓?fù)淦接瓜嗟膮?shù)區(qū)，邊緣態(tài)也不再具有魯棒性（從能譜中可看到，當(dāng)Fermi面移動不與邊緣態(tài)譜線相交時候就不再有無質(zhì)量Dirac費(fèi)米子出現(xiàn)，雜質(zhì)的干擾可以把這種邊緣態(tài)可以拉進(jìn)體態(tài)中）。綜上所述，我們明白了具有時間反演對稱性的二維系統(tǒng)絕緣體有兩類:拓?fù)浞瞧接瓜嗪屯負(fù)淦接沟钠胀ń^緣體相。I50一］0nka0nka2n當(dāng)然，要判斷系統(tǒng)處于何種相就要計算自旋陳數(shù)之差，也就是/切拓?fù)洳蛔兞俊．?dāng)哈密頓量存在時間反演對稱性；'，系統(tǒng)不存在Hall電流而Hall電導(dǎo)為零。因此不論系統(tǒng)是否具有其他的拓?fù)湫再|(zhì)第一陳數(shù)都等于零'''I「'，這樣就不能用第一陳數(shù)來對具有時間反演對稱性的系統(tǒng)進(jìn)行拓?fù)銵=#0—為｝分類。然而量子自旋Hall系統(tǒng)卻具有凈自旋流輸運(yùn)：巳’，自旋Hall電S=——導(dǎo)為：丁一。于2006年，LiangFu和Kane提出了用時間反演極化定義拓?fù)鋽?shù)的方法來刻畫系統(tǒng)的拓?fù)湫?。他們證明了乙拓?fù)鋽?shù)的數(shù)值等于系統(tǒng)在自旋泵送周期過程中，自旋反演極化在泵送起始點和終點上的差值,一：*?'，也就是自旋陳數(shù)，故而號。按照他們提出的方法，所有時間反演不變的二維絕緣體系統(tǒng)可以用?/=數(shù)分成兩類：一類是普通絕緣體對應(yīng)7=|：，；另一類是拓?fù)浣^緣體對應(yīng)Z2=l拓?fù)鋽?shù)也也可以按照類似計算陳數(shù)的方法，通過布里淵區(qū)中的貝里聯(lián)絡(luò)和貝里曲率進(jìn)行計算。系統(tǒng)存在時間反演對稱性，對二維系統(tǒng)的Brillouin區(qū)進(jìn)行格點化，具有時間反演對稱性的Brillouin區(qū)可以分解為門（深色部分）和門（淺色部分）兩個部分（藍(lán)色圓點是時間反演不變點）；和門中的波函數(shù)互為時間反演態(tài)，這兩部分區(qū)域的波函數(shù)可以

通過時間反演算符㈠f■X聯(lián)系。因此我們可以只討論半個Brillouin區(qū)=[―7T,7?]?[―7T,0]①々——QI?——?——?——?TOC\o"1-5"\h\z1E?■Jh「III4S00/2Berry聯(lián)絡(luò)以及曲率如前面所述，?乙二拓?fù)鋽?shù)寫為&==[IA(k)dl-[F(k)d2k\mod!22丁IJ枷+Jh+-若波函數(shù)在"中光滑連續(xù)，由Stokes定理，計算出來自然為零。而因為系統(tǒng)的波函數(shù)具有時間反演約束條件」W))=&回時；具有非平庸拓?fù)湫再|(zhì)的系統(tǒng)，不能使得這兩個條件同時滿足。這時候波函數(shù)在"’中不連續(xù)有奇點，也就如上面提到的Pfaffian零點之類。在均勻離散的Brillouin區(qū)中Berry曲率和聯(lián)絡(luò)為Fg)=偵域孔皿瀘妣]++?氏'(3]%(加=ImhiEJ圈)久(命)=det.||《Um(4)|w?(4+是離散Brillouin區(qū)的倒格矢方向上相鄰格點間的距離矢量，那么可以定義一個動量的整數(shù)函數(shù)"，的取值限制在〕??二。相鄰格點間的距離矢量，那么可以定義一個動量的整數(shù)函數(shù)n(險)=—{[Ay——F(k{)\E317切數(shù)為門中這些整數(shù)求和：Zy—〉:n(k{)mod2對波函數(shù)取不同的規(guī)范，整數(shù)場”'■-'的分布會有所改變，但是在半個布里淵區(qū)中":-'■■■■-之和的奇偶性與波函數(shù)的規(guī)范無關(guān)。此外，Kane和Mele進(jìn)一步提出通過數(shù)波函數(shù)的Paffian叢上的零點來得到％拓?fù)鋽?shù)來表征時間反演不變系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)的方法。Kane和Mele引入了一個矩陣'Tf；..?：-」、標(biāo)記著電子占據(jù)的能帶數(shù)。易證是個反對稱矩陣「，對此我們可以計算其Paffian：P?=PM%㈤。我們從前面的討論知道了Brillouin區(qū)里頭的時間反演對稱的Dirac點直接關(guān)系著系統(tǒng)中的Krames簡并對，決定著拓?fù)湎嗟膹?qiáng)弱；而從巧的定義出發(fā)，其零點反映Fermi面與邊緣態(tài)相交的這些點。若'*在Brillouin區(qū)中的零點分布是離散的，那么‘％拓樸數(shù)是半個Brillouin區(qū)"的零點個數(shù)奇偶性。而若「「在Brillouin區(qū)中的零點分布是連續(xù)帶，那么系統(tǒng)的拓?fù)鋽?shù)是沿著半個Brillouin區(qū)的邊界上廠’符號改變次數(shù)的一半值的奇偶性。從自旋相反陳數(shù)相減的形式來構(gòu)造積分可統(tǒng)一表達(dá)兩種情況的2=數(shù)：&=土/dk-Vkhi[P(k+i&)]mo(122海JdB+路徑*"'沿著半個Brillouin區(qū)門的邊界（這里也相當(dāng)于半個倒格子原胞邊界），引入收斂因子?避免積分發(fā)散。圖中分別是零點離散和連續(xù)的分布。（a）中的兩個離散零點為-■■■-■■■■，（b）中紅色連續(xù)線為零點線?！敢?3‘為其余的時間反演對稱點。分類思想簡單地理解就是邊緣態(tài)上無能隙的時間反演共軛對一Krames對數(shù)目的奇偶數(shù)。存在一個Krames對時，非磁性雜質(zhì)不會使得兩個Krames簡并態(tài)耦合，也就不會有背向散射，因此無能隙邊緣態(tài)受到時間反演對稱性保護(hù)。若存在兩個Krames對，背向散射可發(fā)生在這兩個對之間，因此導(dǎo)致它們同時湮滅而破壞邊緣態(tài)。然而我們要注意的是，I二不變量的確可以刻畫非平庸拓?fù)湫?，然而卻沒辦法區(qū)分其拓?fù)涑潭鹊膹?qiáng)弱。從以上討論我們看到QSH是自旋守恒的對稱性以及電荷守恒對稱性保護(hù)的拓?fù)湫颍▽嶋H上QSH相態(tài)并不需要時間反演對稱性也能形成，只要自旋是極化守恒的），而對于n不守恒的拓?fù)浣^緣體相則是時間反演對稱以及電荷守恒對稱性保護(hù)拓?fù)湫?，但我們卻根本沒辦法通過數(shù)來分類這兩種不同的對稱性保護(hù)的拓?fù)湫?。對于拓?fù)浣^緣體的邊緣態(tài)是受時間反演對稱性保護(hù)的，它不是真正嚴(yán)格的拓?fù)湫虻模敯粜砸饬x下）因為它只能對不破壞相應(yīng)對稱性的局部微擾下對無能隙費(fèi)米子激發(fā)態(tài)進(jìn)行保護(hù)；而量子Hall效應(yīng)（IQHE，QSH）的邊緣態(tài)則是更強(qiáng)的投影對稱群廠日「保護(hù)的拓?fù)湫?量子序（兩條邊緣通道實際上就是一種荷守恒的一維自旋液體）是真正意義上的拓?fù)洌簩σ磺邪ㄉ踔聊芷茐乃袑ΨQ性的局部微擾（例如非磁性雜質(zhì)）具有魯棒性（當(dāng)然，對于整體作用如前面說的為了引入Rashba項加入外電場造成投影'.不守恒則無法保護(hù)了）。前者是短程量子糾纏形成的序，而后者一一真正拓?fù)涞牧孔有騽t是長程量子糾纏的造就的結(jié)果。此外，對于二次量子化體系下描述格點系統(tǒng)的參數(shù)，其實來源并非容易得到，一般需要通過第一性原理計算具體材料的電子態(tài)密度以得到躍遷能和耦合能等等參數(shù)的合理大小。通常人們喜歡用贗勢法，利用VASP在計算機(jī)上計算。就這一點，計算上表明這種石墨烯系統(tǒng)要想能實現(xiàn)量子自旋Hall效應(yīng)，溫度應(yīng)該在左右這樣的苛刻條件。而引入Rashba自旋軌道耦合則不能產(chǎn)生QSH相，但可以實現(xiàn)非平庸的拓?fù)浣^緣體相，不過對于石墨烯來說加很大的門電壓才可能實現(xiàn)因此也是一種停留于理論的條件。正因為碳原子質(zhì)量太小，所以需要尋找重原子產(chǎn)生強(qiáng)自旋軌道耦合作用，這就是通過后來的〃f等等材料造出量子阱實行二維拓?fù)浣^緣體。這種材料的目前并沒有實現(xiàn)QSH相而僅僅是拓?fù)浣^緣體相，雖然理論上預(yù)言其QSH相可能性存在一BHZ模型：〃.'?；'r材料具有倒轉(zhuǎn)能帶結(jié)構(gòu)，通過增

加其厚度達(dá)到一個臨界值系統(tǒng)會發(fā)生Lifshitz相變從絕緣體態(tài)閉合能隙變成半金屬相，當(dāng)再次通過自旋耦合機(jī)制打開能隙的時候就實現(xiàn)QSH相態(tài)了。這個過程中兩條交叉的邊緣態(tài)譜線就從體態(tài)中伸展出來跨過能隙與Fermi面再次相交，產(chǎn)生的QSH電導(dǎo)就是這兩條邊緣態(tài)通道貢獻(xiàn)的，因此對材料寬度十分敏感。當(dāng)加上磁場（或磁性雜質(zhì)）后時間反演破壞并使得邊緣通道中出現(xiàn)兩種上下自旋之間的背向散射時、.不守恒便破壞QSH態(tài)，但若磁場是沿著之方向使得自旋方向依舊守恒則不破壞QSH態(tài)。而目前實驗上加上磁場后發(fā)現(xiàn)破壞兩邊緣通道的量子化Hall電導(dǎo)，這就說明了制備出來的量子阱依舊只是拓?fù)浣^緣體而非實現(xiàn)QSH態(tài)。Kane，Mele以及Haldane等人的工作很好地從理論上簡明闡述了系統(tǒng)的拓非平庸撲絕緣體相產(chǎn)生的關(guān)鍵就是自旋軌道耦合機(jī)制。不變量這個概念還可以推廣到時間反演不變的三維系統(tǒng)。這時需要用4個拓?fù)鋽?shù)1個強(qiáng)拓?fù)鋽?shù)3個弱拓?fù)鋽?shù)山'"來描述系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)。按照這種分類方法三維時間反演不變絕緣體系統(tǒng)可以分為平凡的普通絕緣體弱拓?fù)浣^緣體和強(qiáng)拓?fù)浣^緣體三類。其中強(qiáng)拓?fù)浣^緣體由于在所有方向的表面上都有Dirac色散形式的表面態(tài)。0;(001)0;(011)下面就兩個有代表性的情況進(jìn)行討論M+三維拓?fù)浣^緣體表面中的晶格動量'"、’,上?張成二維Brillouin區(qū)，其中有四個時間反演對稱點1這些點上形成的表面態(tài)必為Krames簡并態(tài)。遠(yuǎn)離這些高對稱點時，自旋軌道耦合將解除簡并；這些Krames點也形成二維能帶中的Dirac點結(jié)構(gòu)。最為容易想到的三維拓?fù)浣^緣體的構(gòu)造方式是通過堆壘二維的拓?fù)浣^緣體材料形成三維材，各層的螺旋邊緣態(tài)變成具有各向異性的表面態(tài)，從而與三位整數(shù)量子Hall態(tài)結(jié)構(gòu)相似。在縱向堆疊，層之間弱耦合形成Ferimi面為0;(001)0;(011)下面就兩個有代表性的情況進(jìn)行討論M+一個獨立的表面帶與Fermi面（包含了四個對稱點）相交，出現(xiàn)了特殊通道。這種類型被稱為弱拓?fù)浣^緣體。對應(yīng)的四個對稱點中七=二，決定于邊緣態(tài)中Krames點個數(shù)的奇偶性；'"I?'七?''"：「描述的是層的取向。這種系統(tǒng)的表面態(tài)沒有時間反演對稱性保護(hù)。='?則是強(qiáng)拓?fù)浣^緣體，不能由二維拓?fù)浣^緣體堆成。Fermi面與邊緣態(tài)形成的Fermi環(huán)