第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論§7-1概述§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析·主應(yīng)力§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念§7-4應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度§7-6強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力§7-8各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用*§7-7莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力1§7-1概述在第二章和第三章中曾講述過桿受拉壓時(shí)和圓截面桿受扭時(shí)桿件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位截面上的應(yīng)力，并指出：一點(diǎn)處不同方位截面上應(yīng)力的集合(總體)稱之為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。由于一點(diǎn)處任何方位截面上的應(yīng)力均可根據(jù)從該點(diǎn)處取出的微小正六面體──單元體的三對(duì)相互垂直面上的應(yīng)力來確定，故受力物體內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)(stateofstress)可用一個(gè)單元體(element)及其上的應(yīng)力來表示。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論2單向應(yīng)力狀態(tài)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論3純剪切應(yīng)力狀態(tài)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論4研究桿件受力后各點(diǎn)處，特別是危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以：

1.了解材料發(fā)生破壞的力學(xué)上的原因，例如低碳鋼拉伸時(shí)的屈服(yield)現(xiàn)象是由于在切應(yīng)力最大的45?斜截面上材料發(fā)生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉(zhuǎn)破壞是由于在45?方向拉應(yīng)力最大從而使材料發(fā)生斷裂(fracture)所致。

2.在不可能總是通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定材料極限應(yīng)力的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，如圖所示,應(yīng)力狀態(tài)分析是建立關(guān)于材料破壞規(guī)律的假設(shè)(稱為強(qiáng)度理論)(theoryofstrength,failurecriterion)的基礎(chǔ)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論5本章將研究Ⅰ.平面應(yīng)力狀態(tài)下不同方位截面上的應(yīng)力和關(guān)于三向應(yīng)力狀態(tài)(空間應(yīng)力狀態(tài))的概念；Ⅱ.平面應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系——廣義胡克定律(generalizedHooke’slaw)，以及這類應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度(strainenergydensity)；Ⅲ.強(qiáng)度理論。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論6§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析·主應(yīng)力

平面應(yīng)力狀態(tài)是指，如果受力物體內(nèi)一點(diǎn)處在眾多不同方位的單元體中存在一個(gè)特定方位的單元體，它的一對(duì)平行平面上沒有應(yīng)力，而另外兩對(duì)平行平面上都只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力這種應(yīng)力狀態(tài)。等直圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的純剪切應(yīng)力狀態(tài)就屬于平面應(yīng)力狀態(tài)(參見§3-4的“Ⅱ.斜截面上的應(yīng)力”)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論7對(duì)于圖a所示受橫力彎曲的梁，從其中A點(diǎn)處以包含與梁的橫截面重合的面在內(nèi)的三對(duì)相互垂直的面取出的單元體如圖b(立體圖)和圖c(平面圖)，本節(jié)中的分析結(jié)果將表明A點(diǎn)也處于平面應(yīng)力狀態(tài)。(a)(c)(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論8平面應(yīng)力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖a所示，現(xiàn)先分析與已知應(yīng)力所在平面xy垂直的任意斜截面(圖b)上的應(yīng)力。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論9Ⅰ.斜截面上的應(yīng)力第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論圖b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法線n與x軸的夾角a定義，且a角以自x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至外法線n為正；斜截面上圖中所示的正應(yīng)力sa和切應(yīng)力ta均為正值，即sa以拉應(yīng)力為正，ta以使其所作用的體元有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正。10由圖c知，如果果斜截面面ef的面積為為dA，則體元左左側(cè)面eb的面積為為dA·cosa，而底面bf的面積為為dA·sina。圖d示出了作作用于體體元ebf諸面上的的力。體元的平平衡方程程為第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論11需要注意意的是，，圖中所所示單元元體頂,底面上的的切應(yīng)力力ty按規(guī)定為為負(fù)值，，但在根根據(jù)圖d中的體元元列出上上述平衡衡方程時(shí)時(shí)已考慮慮了它的的實(shí)際指指向，故故方程中中的ty僅指其值。也正正因?yàn)槿缛绱?，此此處切?yīng)應(yīng)力互等等定理的的形式應(yīng)應(yīng)是tx=ty。由以上兩兩個(gè)平衡衡方程并并利用切應(yīng)力互互等定理理可得到以以2a為參變量量的求a斜截面上上應(yīng)力sa，ta的公式：：第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論12Ⅱ.應(yīng)力圓為便于求求得sa，ta，也為了便于于直觀地地了解平平面應(yīng)力力狀態(tài)的的一些特特征，可可使上述述計(jì)算公公式以圖圖形即所所稱的應(yīng)力圓(莫爾圓)(Mohr’scircleforstresses)來表示。。先將上述兩個(gè)個(gè)計(jì)算公公式中的的第一式式內(nèi)等號(hào)號(hào)右邊第第一項(xiàng)移移至等號(hào)號(hào)左邊，，再將兩兩式各自自平方然然后相加加即得：：第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論13而這就是如圖圖a所示的一一個(gè)圓——應(yīng)力圓，它表明明代表a斜截面上上應(yīng)力的的點(diǎn)必落落在應(yīng)力力圓的圓圓周上。。OC(a)第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論14第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論OC(b)圖a中所示的應(yīng)力圓實(shí)際上可如圖b所示作出，亦即使單元體x截面上的應(yīng)力sx,tx按某一比例尺定出點(diǎn)D1，依單元體y截面上的應(yīng)力sy,ty(取ty=-tx)定出點(diǎn)D2，然后連以直線，以它與s軸的交點(diǎn)C為圓心，并且以或?yàn)榘霃阶鲌A得出。15值得注意意的是，，在應(yīng)力力圓圓周周上代表表單元體體兩個(gè)相相互垂直直的x截面和y截面上應(yīng)應(yīng)力的點(diǎn)點(diǎn)D1和D2所夾圓心心角為180??，它是單單元體上上相應(yīng)兩兩個(gè)面之之間夾角角的兩倍倍，這反反映了前前述sa，ta計(jì)算公式式中以2a為參變量量這個(gè)前前提。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論OC(b)16利用應(yīng)力圓求a斜截面(圖a)上的應(yīng)力sa，ta時(shí)，只需將應(yīng)力圓圓周上表示x截面上的應(yīng)力的點(diǎn)D1所對(duì)應(yīng)的半徑按方位角a的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2a角，得到半徑，那么圓周上E點(diǎn)的座標(biāo)便代表了單元體a斜截面上的應(yīng)力?，F(xiàn)證明如下(參照?qǐng)Db)：第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論17E點(diǎn)橫座標(biāo)標(biāo)第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論18E點(diǎn)縱座標(biāo)標(biāo)第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論19討論:1.表達(dá)圖示示各單元元體a斜截面上上應(yīng)力隨隨a角變化的的應(yīng)力圓圓是怎樣樣的？這這三個(gè)單單元體所所表示的的都是平平面應(yīng)力力狀態(tài)嗎嗎？第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論202.對(duì)于圖示示各單元元體，表表示與紙紙面垂直直的斜截截面上應(yīng)應(yīng)力隨a角變化的的應(yīng)力圓圓有什么么特點(diǎn)？？a=±45?兩個(gè)斜截截面上的的sa,ta分別是多多少？二向等值值壓縮二向等值值拉伸純剪切第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論21思考:已知一點(diǎn)點(diǎn)處兩個(gè)個(gè)不相垂垂直截面面上的應(yīng)應(yīng)力(圖a)，如圖b所示為表表達(dá)其與與紙面垂垂直的一一組斜截截面上應(yīng)應(yīng)力而作作的應(yīng)力力圓是否否正確？？理由是是什么？？(a)C(b)第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論22Ⅲ.主應(yīng)力與與主平面面第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論由根據(jù)圖圖a所示單元元體上的的應(yīng)力所所作應(yīng)力力圓(圖b)可見，圓圓周上A1和A2兩點(diǎn)的橫橫座標(biāo)分分別代表表該單元元體的垂垂直于xy平面的那那組截面面上正應(yīng)應(yīng)力中的的最大值值和最小小值，它它們的作作用面相相互垂直直(由A1和A2兩點(diǎn)所夾夾圓心角角為180?可知)，且這兩兩個(gè)截面面上均無無切應(yīng)力力。23第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論一點(diǎn)處切切應(yīng)力等等于零的的截面稱稱為主平面面(principalplane)，主平面上上的正應(yīng)應(yīng)力稱為主應(yīng)力力(principalstress)。據(jù)此可知知，應(yīng)力力圓圓周周上點(diǎn)A1和A2所代表的的就是主主應(yīng)力；；但除此此之外，，圖a所示單元元體上平平行于xy平面的面面上也是是沒有切切應(yīng)力的的，所以以該截面面也是主主平面，，只是其其上的主應(yīng)力為為零。24在彈性性力學(xué)學(xué)中可可以證證明，，受力力物體體內(nèi)一一點(diǎn)處處無論論是什什么應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)必必定存存在三三個(gè)相相互垂垂直的的主平平面和和相應(yīng)應(yīng)的三三個(gè)主主應(yīng)力力。對(duì)對(duì)于一一點(diǎn)處處三個(gè)個(gè)相互互垂直直的主主應(yīng)力力，根根據(jù)慣慣例按它們們的代代數(shù)值值由大大到小小的次次序記作s1，s2，s3。圖b所示應(yīng)應(yīng)力圓圓中標(biāo)標(biāo)出了了s1和s2，而s3=0。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論25當(dāng)三個(gè)個(gè)主應(yīng)應(yīng)力中中有二二個(gè)主主應(yīng)力力不等等于零零時(shí)為為平面應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)；平面面應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下等等于零零的那那個(gè)主主應(yīng)力力如下下圖所所示，，可能能是s1，也可能能是s2或s3，這需要要確定定不等等于零零的兩兩個(gè)主主應(yīng)力力的代代數(shù)值值后才才能明明確。。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論26現(xiàn)利用用前面面的圖圖b所示應(yīng)應(yīng)力圓圓導(dǎo)出出求不不等于于零的的主應(yīng)應(yīng)力數(shù)數(shù)值和和主平平面位位置方方位角角a0的解析式式，由由于其中，為應(yīng)力圓圓心的橫座標(biāo)，為應(yīng)力圓的半徑。故得第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論27第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論或即圖c示出了了主應(yīng)應(yīng)力和和主平平面的的方位位。28由于主主應(yīng)力力是按按其代代數(shù)值值排序序記作作s1，s2，s3的，故故在一一般情情況下下由上上列解解析式式求得得的兩兩個(gè)不不等于于零的的主應(yīng)應(yīng)力不不一定定就是是s1，s2，所以應(yīng)應(yīng)該把把式中中的s1，s2看作只只是表表示主主應(yīng)力力而已已。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論29例題7-2簡支的的焊接接鋼板板梁及及其上上的荷荷載如如圖a所示，，梁的的橫截截面如如圖b和c。試?yán)糜脩?yīng)力力圓求求集中中荷載載位置置C的左側(cè)側(cè)橫截截面上上a，b兩點(diǎn)(圖c)處的主主應(yīng)力力。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論30解：焊接鋼鋼板梁梁的腹腹板上上在焊焊縫頂頂端(圖b中點(diǎn)f)處，彎彎曲應(yīng)應(yīng)力和和切應(yīng)應(yīng)力都都比較較大，，是校校核強(qiáng)強(qiáng)度時(shí)時(shí)應(yīng)加加以考考慮之之點(diǎn)；；在實(shí)實(shí)際計(jì)計(jì)算中中為了了方便便，常常近似似地以以腹板板上與與翼緣緣交界界處的的a點(diǎn)(圖c)代替f點(diǎn)。正正因?yàn)闉槿绱舜?，本本例題題中要要求的的也是是a點(diǎn)處主主應(yīng)力力。梁梁的自自重不不計(jì)。。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論311.此梁的的剪力力圖和和彎矩矩圖如如圖d和e。危險(xiǎn)截截面為為荷載載作用用位置置C的左側(cè)側(cè)橫截截面。。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論322.相關(guān)的的截面面幾何何性質(zhì)質(zhì)為第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論333.危險(xiǎn)截截面上上a點(diǎn)和b點(diǎn)處的的應(yīng)力力：第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論344.從危險(xiǎn)險(xiǎn)截面面上a點(diǎn)和b點(diǎn)處以以包含含與梁梁的橫橫截面面在內(nèi)內(nèi)的三三對(duì)相相互垂垂直的的截面面取出出單元元體，，其x和y面上的的應(yīng)力力如圖圖f和h中所示示。據(jù)據(jù)此繪繪出的的應(yīng)力力圓如如圖g和i。yx(f)(h)第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論35對(duì)于點(diǎn)點(diǎn)as1和s2的方向如如圖f中所示示。yx(f)第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論(g)s1注意到到圖f和h所示單單元體體，其其平行行于xy平面的的面為為主平平面（（其上上無切切應(yīng)力力，相相應(yīng)的的主應(yīng)應(yīng)力為為零，，故圖圖g所示應(yīng)應(yīng)力圓圓上點(diǎn)點(diǎn)A1所表示示的是是s1。按作作應(yīng)力圓圓時(shí)的的同一一比例例尺可可量得得：36(i)(h)對(duì)于點(diǎn)點(diǎn)bs1沿x方向(圖h)。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論37當(dāng)然，，點(diǎn)a處主應(yīng)應(yīng)力s1和s3的值及其方方向也也可按按應(yīng)力力圓上上的幾幾何關(guān)關(guān)系來來計(jì)算算：亦即a0＝-23.2°°。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論(g)s138

5.圖f中所示a點(diǎn)主應(yīng)力s1的方向，實(shí)際上只須將應(yīng)力圓上代表x截面上應(yīng)力的點(diǎn)D1(sx，tx)反向投射到應(yīng)力圓上的點(diǎn)

，然后將代表s3的點(diǎn)A2與點(diǎn)

連以直線即得。這里利用了圓周角恒等于圓心角之半的幾何關(guān)系。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論yx(f)s1s1方向39§7-3空間應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)的的概念念當(dāng)一點(diǎn)點(diǎn)處的的三個(gè)個(gè)主應(yīng)應(yīng)力都都不等等于零零時(shí)，，稱該該點(diǎn)處處的應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)為為空間應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)(三向應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài))；鋼軌軌在輪輪軌觸觸點(diǎn)處處就處處于空空間應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)(圖a)。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論40空間應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)最最一般般的表表現(xiàn)形形式如如圖b所示；；正應(yīng)應(yīng)力sx，sy，sz的下角角標(biāo)表表示其其作用用面，，切應(yīng)應(yīng)力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一一個(gè)下下角標(biāo)標(biāo)表示示其作作用面面，第第二個(gè)個(gè)下角角標(biāo)表表示切切應(yīng)力力的方方向。。(b)第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論圖中所所示的的正應(yīng)應(yīng)力和和切應(yīng)應(yīng)力均均為正正的，，即正正應(yīng)力力以拉拉應(yīng)力力為正正，切切應(yīng)力力則如如果其其作用用面的的外法法線指指向某某一座座標(biāo)軸軸的正正向而而該面面上的的切應(yīng)應(yīng)力指指向另另一座座標(biāo)軸軸的正正向時(shí)時(shí)為正正。41最一般般表現(xiàn)現(xiàn)形式式的空空間應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)中中有9個(gè)應(yīng)力力分量量，但但根據(jù)據(jù)切應(yīng)應(yīng)力互互等定定理有有txy＝tyx，tyz＝tzy，txz＝tzx，因而獨(dú)獨(dú)立的的應(yīng)力力分量量為6個(gè)，即即sx，sy，sz，tyx，tzy，tzx。當(dāng)空間間應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)的三三個(gè)主主應(yīng)力力s1，s2，s3已知時(shí)時(shí)(圖a)，與任何何一個(gè)個(gè)主平平面垂垂直的的那些些斜截面面(即平行行于該該主平平面上上主應(yīng)應(yīng)力的的斜截截面)上的應(yīng)應(yīng)力均均可用用應(yīng)力力圓顯顯示。。(a)第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論42(b)(c)第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論例如圖圖a中所示示垂直直于主主應(yīng)力力s3所在平平面的的斜截截面，，其上上的應(yīng)應(yīng)力由由圖b所示分分離體體可知知，它它們與與s3無關(guān)，，因而顯顯示這這類斜斜截面面上應(yīng)應(yīng)力的的點(diǎn)必必落在在以s1和s2作出的的應(yīng)力力圓上上(參見圖圖c)。43進(jìn)一步步的研研究證證明*，表表示與與三個(gè)個(gè)主平平面均均斜交交的任任意斜斜截面面(圖a中的abc截面)上應(yīng)力力的點(diǎn)點(diǎn)D必位于于如圖圖c所示以以主應(yīng)應(yīng)力作作出的的三個(gè)個(gè)應(yīng)力力圓所所圍成成的陰陰影范范圍內(nèi)內(nèi)。(a)第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論同理，，顯示示與s2(或s1)所在主主平面面垂直直的那那類斜斜截面面上應(yīng)應(yīng)力的的點(diǎn)必必落在在以s1和s3(或s2和s3)作出的的應(yīng)力力圓上上。(c)44據(jù)此可可知，，受力力物體體內(nèi)一一點(diǎn)處處代數(shù)數(shù)值最最大的的正應(yīng)應(yīng)力smax就是主主應(yīng)力力s1，而最大切切應(yīng)力力為(c)第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論45它的作作用面面根據(jù)據(jù)應(yīng)力力圓點(diǎn)點(diǎn)B的位置置可知知，系系與主主應(yīng)力力s2作用面面垂直直而與與s1作用面面成45?，即下下面圖圖a中的截截面abcd。abcd(a)acdb第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論46根據(jù)切切應(yīng)力力互等等定理理可知知，在在與截截面abcd垂直的的截面面efgh上有數(shù)數(shù)值上上與tmax相等的的切應(yīng)應(yīng)力，，如下下面圖圖b中所示示。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論abcd(a)acdb(b)efgh47例題7-3試根據(jù)據(jù)圖a所示單單元體體各面面上的的應(yīng)力力作出出應(yīng)力力圓，，并求求出主主應(yīng)力力和最最大切切應(yīng)力力的值值及它它們的的作用用面方方位。。(a)第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論48解:1.圖a所示單單元體體上正正應(yīng)力力sz=20MPa的作用面面(z截面)上無切切應(yīng)力力，因因而該該正應(yīng)應(yīng)力為為主應(yīng)應(yīng)力。。2.正如以以前所所述，，在與與主平平面z截面垂垂直的的各截截面上上的應(yīng)應(yīng)力與與主應(yīng)應(yīng)力sz無關(guān)，，故可可根據(jù)據(jù)x截面和和y截面上上的應(yīng)應(yīng)力畫畫出顯顯示與與z截面垂垂直各各截面面上應(yīng)應(yīng)力隨隨截面面方位位角變變化的的應(yīng)力力圓。。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論(a)49從圓上上得出兩兩個(gè)主主應(yīng)力力46MPa和-26MPa。這樣就就得到到了包包括sz=20MPa在內(nèi)的的三個(gè)個(gè)主應(yīng)應(yīng)力。。他們們按代代數(shù)值值大小小排序序?yàn)閟1＝46MPa，s2＝20MPa，s3＝-26MPa。(b)(a)3.依據(jù)三三個(gè)主主應(yīng)力力值作作出的的三個(gè)個(gè)應(yīng)力力圓如如圖b所示。第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論50s1的作用面垂直直于z截面(sz作用面)，其方位角角a0根據(jù)通過點(diǎn)點(diǎn)D1和D2的應(yīng)力圓上上由代表x截面上應(yīng)力力的點(diǎn)D1逆時(shí)針至代代表a1的點(diǎn)A的圓心角2a0＝34?可知為a0＝17?且由x截面逆時(shí)針針轉(zhuǎn)動(dòng)，如如圖c中所示。(c)第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論(b)514.最大切應(yīng)力力tmax由應(yīng)力圓上點(diǎn)點(diǎn)B的縱座標(biāo)知為tmax＝36MPa，作用在由s1作用面繞s2逆時(shí)針45?的面上(圖c)。(c)第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論(b)52顯然，根據(jù)據(jù)解析式也也得(c)第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論53§7-4應(yīng)力與應(yīng)變變間的關(guān)系系前已講到，最一一般表現(xiàn)形形式的空間間應(yīng)力狀態(tài)態(tài)有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)應(yīng)力分量：：sx,sy,sz,txy,tyz,tzx；與之相應(yīng)的的有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)應(yīng)變分量：：ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx。第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論54關(guān)于應(yīng)力分分量的正負(fù)負(fù)已于§7-3中講述；至至于應(yīng)變分分量的正負(fù)負(fù)為了與應(yīng)應(yīng)力分量的的正負(fù)相一一致，規(guī)定定：線應(yīng)變變ex,ey,ez以伸長變形為為正，切應(yīng)應(yīng)變gxy,gyz,gzx以使單元體的直直角∠xoy,∠yoz,∠zox減小為正。。第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論55本節(jié)討論在線彈性范范圍內(nèi)，且且為小變形形的條件下，，空間應(yīng)力力狀態(tài)的應(yīng)應(yīng)力分量與與應(yīng)變分量量之間的關(guān)關(guān)系，即廣義胡克定定律。第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論56Ⅰ.各向同性材材料的廣義義胡克定律律對(duì)于各向同同性材料，，它在任何何方向上的的彈性性質(zhì)質(zhì)相同，也也就是它在在各個(gè)方向向上應(yīng)力與與應(yīng)變之間間的關(guān)系相相同。因此此，對(duì)于各各向同性材材料：(1)在正應(yīng)力作作用下，沿沿正應(yīng)力方方向及與之之垂直的方方向產(chǎn)生線線應(yīng)變，而而在包含正正應(yīng)力作用用面在內(nèi)的的三個(gè)相互互垂直的平平面內(nèi)不會(huì)會(huì)發(fā)生切應(yīng)應(yīng)變；(2)在切應(yīng)力作作用下只會(huì)會(huì)在切應(yīng)力力構(gòu)成的平平面內(nèi)產(chǎn)生生切應(yīng)變，，而在與之之垂直的平平面內(nèi)不會(huì)會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)應(yīng)變；也不不會(huì)在切應(yīng)應(yīng)力方向和和與它們垂垂直的方向向產(chǎn)生線應(yīng)應(yīng)變。第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論57圖a,b,c作為示例示示出了單元元體以及對(duì)對(duì)各向同性性材料來說說不可能產(chǎn)產(chǎn)生的變形形，因?yàn)槊棵總€(gè)圖中上上面的單元元體在繞x軸旋轉(zhuǎn)180?以后，如各各圖中下面面的單元體體所示，或或者受力情情況未變而而變形卻反反了(圖a)，或者變形形無變化但但受力情況況卻反了(圖b,c)，而這些都都不符合各各向同性材材料應(yīng)力－－應(yīng)變關(guān)系系不應(yīng)該隨隨單元體轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而變化化的特征。。xx(a)xx(b)第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論xx(c)58現(xiàn)在來導(dǎo)出出一般空間間應(yīng)力狀態(tài)態(tài)(圖a)下的廣義胡胡克定律。。因?yàn)樵诰€線彈性,小變形條件件下可以應(yīng)應(yīng)用疊加原原理，故知知x方向的線應(yīng)應(yīng)變與正應(yīng)應(yīng)力之間的的關(guān)系為第七章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)和和強(qiáng)度理論論同理有59至于切應(yīng)變變與切應(yīng)力力的關(guān)系，，則根據(jù)前前面所述可可知，切應(yīng)應(yīng)變只與切切應(yīng)變平面面內(nèi)的切應(yīng)應(yīng)力相關(guān)，，因而有第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論60對(duì)于圖b所示的那那種平面面應(yīng)力狀狀態(tài)(sz＝0，txz=τzx=0，tyz=tzy=0)，則胡克定定律為(b)第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論各向同性性材料的的三個(gè)彈彈性常數(shù)數(shù)E，G，n之間存在在如下關(guān)關(guān)系：61思考:1.圖a和圖b所示應(yīng)力力狀態(tài)是是否完全全相當(dāng)？？2.圖a所示情況況下，對(duì)對(duì)角線ab的線應(yīng)變變eab與g的關(guān)系，，亦即eab與τ/G的關(guān)系是是怎樣的的？aa(a)(b)第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論ba3.圖b中沿圖a中對(duì)角線線ab方向的線線應(yīng)變與與所示s的關(guān)系是是怎樣的的？624.如果圖a與圖b是同一應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)，那么么它們沿沿同一方方向的線線應(yīng)變應(yīng)應(yīng)相等，，按此可可否導(dǎo)出出G=E/2(1+n)。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論aa(a)(b)ba63當(dāng)空間應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)如下圖圖所示以以主應(yīng)力力表示時(shí)時(shí)，廣義義胡克定定律為第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論式中，e1，e2，e3分別為沿沿主應(yīng)力力s1，s2，s3方向的線線應(yīng)變。。64對(duì)于各向向同性材材料由于于主應(yīng)力力作用下下，在任任何兩個(gè)個(gè)主應(yīng)力力構(gòu)成的的平面內(nèi)內(nèi)不發(fā)生生切應(yīng)變變，因而而主應(yīng)力力方向的的線應(yīng)變變就是主應(yīng)變──一點(diǎn)處兩個(gè)相相互垂直方向向間不發(fā)生切切應(yīng)變時(shí)該兩兩個(gè)方向的線線應(yīng)變。第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論在平面應(yīng)力狀狀態(tài)下，若s3＝0，則以主應(yīng)力表示的的胡克定律為為65例題已知構(gòu)件受力力后其自由表表面上一點(diǎn)處處x方向的線應(yīng)變變ex＝240×10-6，y方向的線應(yīng)變變ey=-160×10-6，試求該點(diǎn)處x和y截面上的正應(yīng)應(yīng)力sx和sy，并求自由表面法線線的線應(yīng)變ez。已知材料的彈彈性模量E=210GPa，泊松比n＝0.3。第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論66解：1.構(gòu)件的自由表表面上無任何何應(yīng)力，故知知該點(diǎn)處于平平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)。2.根據(jù)平面應(yīng)力力狀態(tài)的胡克克定律有聯(lián)立求解此二二式得第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論67再根據(jù)平面應(yīng)力力狀態(tài)的胡克克定律求得需要注意的是是，題文中給給出了x和y方向的線應(yīng)變變，并未說明明在xy平面內(nèi)無切應(yīng)應(yīng)變，故不能把求得的的sx和sy認(rèn)為是主應(yīng)力力。第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論68思考:有人認(rèn)為既然然上述例題中中給出了ex和ey的值，那么ez可如下求算：但這又與例題中的結(jié)果果不符。錯(cuò)在在哪里？第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論69*Ⅱ.各向異性材料料的廣義胡克克定律各向異性材料料受力時(shí)，正正應(yīng)力會(huì)引起起切應(yīng)變，而而切應(yīng)力也會(huì)會(huì)引起線應(yīng)變變。完全各向向異性的材料料在一般空間間應(yīng)力狀態(tài)下下，三個(gè)相互互垂直平面上上的6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力力分量sx，sy，sz，tyz，tzx，txy中的每一個(gè)都都可引起6個(gè)應(yīng)變分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy。第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論70第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論從而在線彈性性范圍內(nèi)且小小變形的條件件下，應(yīng)力分分量與應(yīng)變分分量之間的關(guān)關(guān)系可表達(dá)為為71上式即是完全各向異性性材料的廣義義胡克定律。式中的Cij為彈性常數(shù)，，其第一個(gè)下下角標(biāo)i（＝1，2，┅，6）表示它對(duì)應(yīng)于于應(yīng)變分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy中的第幾個(gè)，，例如C24表示ey對(duì)應(yīng)于tyz的彈性常數(shù)。。從式中可見見，完全各向向異性的材料料總共有36個(gè)彈性常數(shù)。。利用功的互等等定理很容易易證明，上列列彈性常數(shù)中中存在Cij=Cji這一互等關(guān)系系，也就是說說，在上列一一組式子中有有(36－6)/2＝15對(duì)彈性常數(shù)是是互等的?？煽梢娡耆飨蛳虍愋缘牟牧狭现挥?6－15＝21個(gè)獨(dú)立的彈性性常數(shù)。第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論72對(duì)于完全各向向異性的材料料，若沿x，y，z方向的正應(yīng)力力為主應(yīng)力s1，s2，s3，因而txy＝0，tyz=0，tzx=0，則按廣義胡克定律律有可見在任何兩兩個(gè)主應(yīng)力構(gòu)構(gòu)成的平面內(nèi)內(nèi)均發(fā)生有切切應(yīng)變，所以以主應(yīng)力方向向并非主應(yīng)變變的方向，或或者說，主應(yīng)應(yīng)力方向和主主應(yīng)變方向不不相重合。第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論73工程上應(yīng)用的的將單向排列列碳纖維澆注注于環(huán)氧樹脂脂中形成的單單向復(fù)合材料料，它們具有有三個(gè)彈性性性能對(duì)稱面(參見下圖)，從而具有三三個(gè)彈性性能能對(duì)稱軸，這這種各向異性性材料稱為正交異性材料料(orthogonalcompositematerial)。第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論74第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論當(dāng)正交異性材材料中一點(diǎn)處處三個(gè)相互垂垂直面上的六六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力力分量均平行于于材料的彈性性對(duì)稱軸時(shí)，，根據(jù)對(duì)稱性性原則可知，這三三個(gè)面上的正正應(yīng)力在彈性性對(duì)稱軸方向向只產(chǎn)生線應(yīng)應(yīng)變，這三個(gè)個(gè)面上的切應(yīng)力只在它它們各自的自自身平面內(nèi)產(chǎn)產(chǎn)生切應(yīng)變。。75因此，當(dāng)正交交異性材料一一點(diǎn)處的六個(gè)個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分分量平行于材材料的彈性對(duì)對(duì)稱軸x，y，z時(shí)，廣義胡克克定律為第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論考慮到上式中中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交異性材料料共有9個(gè)獨(dú)立的彈性性常數(shù)。76思考:圖中x軸和y軸為正交各向向異性材料的的彈性性能對(duì)對(duì)稱軸，從該該材料中一點(diǎn)點(diǎn)處取出的單單元體如圖a所示，受純剪剪切；變形后后如圖b。試論證這種情情況仍符合對(duì)對(duì)稱性原則。。xyxy(a)(b)第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論77Ⅲ.各向同性材料料的體應(yīng)變材料受力而變變形時(shí)其體積積的相對(duì)變化化稱為體應(yīng)變q。第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論取三個(gè)邊長分分別為a1，a2，a3的單元體，它它在受力而變變形后邊長分分別為a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故體應(yīng)變?yōu)?8將上式展開并略去高高階微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性性材料的廣義義胡克定律得得第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論79對(duì)于以最一般般形式表達(dá)的的空間應(yīng)力狀狀態(tài)，由于單單元體每一個(gè)個(gè)平面內(nèi)的切切應(yīng)力引起的的純剪切相當(dāng)當(dāng)于這個(gè)平面面內(nèi)的二向等等值拉壓(s1＝t，s3＝－t，s2＝0），從而從上上列體應(yīng)變公公式中可見，，它們引起的的體應(yīng)變?yōu)榱懔??？梢?，?duì)于各各向同性材料料，在一般空空間應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下的體應(yīng)變變也只與三個(gè)個(gè)線應(yīng)變之和和有關(guān)，即第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論80思考:各向同性材料料制成的構(gòu)件件內(nèi)一點(diǎn)處，，三個(gè)主應(yīng)力力為s1＝30MPa，s2＝10MPa，s3＝-40MPa?，F(xiàn)從該點(diǎn)處處以平行于主應(yīng)力力的截面取出出邊長均為a的單元體，試試問：(1)變形后該單元元體的體積有有無變化？(2)變形后該單元元體的三個(gè)邊邊長之比有無無變化？第七章應(yīng)力力狀態(tài)和強(qiáng)度度理論81例題題7-6邊長長a=0.1m的銅銅質(zhì)質(zhì)立立方方體體置置于于剛剛性性很很大大的的鋼鋼塊塊中中的的凹凹坑坑內(nèi)內(nèi)(圖a)，鋼鋼塊塊與與凹凹坑坑之之間間無無間間隙隙。。試試求求當(dāng)當(dāng)銅銅塊塊受受均均勻勻分分布布于于頂頂面面的的豎豎向向外外加加荷荷載載F=300kN時(shí)，，銅銅塊塊內(nèi)內(nèi)的的主主應(yīng)應(yīng)力力，，最最大大切切應(yīng)應(yīng)力力，，以以及及銅銅塊塊的的體體應(yīng)應(yīng)變變。。已已知知銅銅的的彈彈性性模模量量E=100GPa，泊松松比比n＝0.34。銅塊塊與與鋼鋼塊塊上上凹凹坑坑之之間間的的摩摩擦擦忽忽略略不不計(jì)計(jì)。。(a)第七七章章應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)和和強(qiáng)強(qiáng)度度理理論論82解：：1.銅塊塊水水平平截截面面上上的的壓壓應(yīng)應(yīng)力力為為2.銅塊塊在在sy作用用下下不不能能橫橫向向膨膨脹脹，，即即ex=0，ez＝0，可見見銅銅塊塊的的x截面面和和z截面面上上必必有有sx和sz存在在(圖b)。(b)第七七章章應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)和和強(qiáng)強(qiáng)度度理理論論83按照照廣廣義義胡胡克克定定律律及及ex＝0和ey＝0的條件件有有方方程程：：從以上上二二個(gè)個(gè)方方程程可可見見，，當(dāng)當(dāng)它它們們都都得得到到滿滿足足時(shí)時(shí)顯顯然然sx＝sz。于是是解解得得第七七章章應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)和和強(qiáng)強(qiáng)度度理理論論84由于于忽忽略略銅銅塊塊與與鋼鋼塊塊上上凹凹坑坑之之間間的的摩摩擦擦，，所所以以sx，sy，sz都是是主主應(yīng)應(yīng)力力，，且且第七七章章應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)和和強(qiáng)強(qiáng)度度理理論論3.銅塊塊內(nèi)內(nèi)的的最最大大切切應(yīng)應(yīng)力力為為(b)85第七七章章應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)和和強(qiáng)強(qiáng)度度理理論論4.銅塊塊的的體體應(yīng)應(yīng)變變?yōu)闉?b)86§7-5空間間應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)下下的的應(yīng)應(yīng)變變能能密密度度在第第二二章章““軸軸向向拉拉伸伸和和壓壓縮縮””中中已已講講到到，，應(yīng)變變能能密密度度是指指物物體體產(chǎn)產(chǎn)生生彈彈性性變變形形時(shí)時(shí)單單位位體體積積內(nèi)內(nèi)積積蓄蓄的的應(yīng)應(yīng)變變能能，，并并導(dǎo)導(dǎo)出出了了單單向向拉拉伸伸或或壓壓縮縮應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)下下的的應(yīng)應(yīng)變變能能密密度度計(jì)計(jì)算算公公式式：：在第第三三章章““扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)””中中講講到到了了純純剪剪切切這這種種平平面面應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)下下的的應(yīng)應(yīng)變變能能密密度度：：在此此基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，，本本章章講講述述空間間應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)下下的的應(yīng)應(yīng)變變能能密密度度。第七七章章應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)和和強(qiáng)強(qiáng)度度理理論論87空間間應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)下下，，受受力力物物體體內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的三三個(gè)個(gè)主主應(yīng)應(yīng)力力有有可可能能并并非非按按同同一一比比例例由由零零增增至至各各自自的的最最后后值值，，例例如如s1先由由零零增至至最最后后的的值值，，然然后后s2由零零增至至最最后后的的值值，，而而s3最后后才才由由零零增增至至最最后后的的值值。。第七七章章應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)和和強(qiáng)強(qiáng)度度理理論論但從從能能量量守守恒恒定定律律可可知知，，彈性性體體內(nèi)內(nèi)的的應(yīng)應(yīng)變變能能和和應(yīng)應(yīng)變變能能密密度度不不應(yīng)應(yīng)與與應(yīng)應(yīng)力力施施加加順順序序有有關(guān)關(guān)而而只只取取決決于于應(yīng)應(yīng)力力的的最最終終值值，因因?yàn)闉榉穹駝t則按按不不同同的的加加載載和和卸卸載載順順序序會(huì)會(huì)在在彈彈性性體體內(nèi)內(nèi)累累積積應(yīng)應(yīng)變變能能，，而而這這就就違違反反了了能能量量守守恒恒定定律律。。88把由由主應(yīng)應(yīng)力力和和主主應(yīng)應(yīng)變變表表達(dá)達(dá)的的廣廣義義胡胡克克定定律律代代入入上上式式，，經(jīng)經(jīng)整整理理簡簡化化后后得得為了了便便于于分分析析，，這這里里按按一一點(diǎn)點(diǎn)處處三三個(gè)個(gè)主主應(yīng)應(yīng)力力按按同同一一比比例例由由零零增增至至最最后后的的值值這這種種情情況況，，即即通通常常所所稱稱的的比例例加加載載或或簡簡單單加加載載情形形，，來來分分析析以以主主應(yīng)應(yīng)力力顯顯示示的的空空間間應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)下下，，各各向向同同性性材材料料在在線線彈彈性性且且小小變變形形條條件件下下的的應(yīng)應(yīng)變變能能密密度度。。此此時(shí)時(shí)：：第七七章章應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)和和強(qiáng)強(qiáng)度度理理論論89體積積改改變變能能密密度度和形狀狀改改變變能能密密度度圖a所示示單單元元體體在在主主應(yīng)應(yīng)力力作作用用下下不不僅僅其其體體積積會(huì)會(huì)發(fā)發(fā)生生改改變變，，而而且且其其形形狀狀(指單單元元體體三三個(gè)個(gè)邊邊長長之之比比)也會(huì)會(huì)發(fā)發(fā)生生改改變變。。這這就就表表明明，，單單元元體體內(nèi)內(nèi)的的應(yīng)變變能能密密度度ve包含了了體積改改變能能密度度vv和形狀改改變能能密度度vd兩部分分，即即ve＝vv＋vd。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論90如果將將圖a所示應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)分分解為為圖b和圖c所示兩兩種應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)，，則可可見：：Ⅰ.圖b所示三三個(gè)主主應(yīng)力力都等等于平平均應(yīng)應(yīng)力sm＝(s1+s2+s3)/3的情況況下，，單元元體只只有體體積改改變而而無形形狀改改變，，其應(yīng)應(yīng)變能能密度度即是是體積積改變變能密密度，，而形形狀改改變能能密度度為零零。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論91Ⅱ.圖c所示三三個(gè)主主應(yīng)力力分別別為s1-sm，s2-sm，s3-sm的情況下下，三三個(gè)主主應(yīng)力力之和和為零零，單單元體體沒有有體積積改變變而只只有形形狀改改變，，故該該單元元體的的應(yīng)變變能密密度就就是形形狀改改變能能密度度，而而體積積改變變能密密度為為零。。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論92由以上分分析可可知：：(1)圖a所示單單元體體的體體積改改變能能密度度就等等于圖圖b所示單單元體體的應(yīng)應(yīng)變能能密度度，故故對(duì)圖圖a所示單單元體體有第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論93在下一一節(jié)所所講的的強(qiáng)度度理論論中要要運(yùn)用用形狀狀改變變能密密度。。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論(2)圖a所示單單元體體的形形狀改改變能能密度度就等等于圖圖c所示單單元體體的應(yīng)應(yīng)變能能密度度，故故對(duì)圖圖a所示單單元體體有94§7-6強(qiáng)度理理論及及其相相當(dāng)應(yīng)應(yīng)力材料在在單向向應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下的的強(qiáng)度度(塑性材材料的的屈服服極限限，脆脆性材材料的的強(qiáng)度度極限限)總可通通過拉拉伸試試驗(yàn)和和壓縮縮試驗(yàn)驗(yàn)加以以測(cè)定定；材材料在在純剪剪切這這種特特定平平面應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)下下的強(qiáng)強(qiáng)度(剪切強(qiáng)強(qiáng)度)可以通通過例例如圓圓筒的的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)試驗(yàn)驗(yàn)來測(cè)測(cè)定。。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論但是對(duì)對(duì)于材材料在在一般般平面面應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下以以及三三向應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)下下的強(qiáng)強(qiáng)度，，則由由于不不等于于零的的主應(yīng)應(yīng)力可可以有有多種種多樣樣的組組合，，所以以不可能能總是是由試試驗(yàn)加加以測(cè)測(cè)定。因而而需要要通過過對(duì)材材料破破壞現(xiàn)現(xiàn)象的的觀察察和分分析尋尋求材材料強(qiáng)強(qiáng)度破破壞的的規(guī)律律，提提出關(guān)關(guān)于材材料發(fā)發(fā)生強(qiáng)強(qiáng)度破破壞的的力學(xué)學(xué)因素素的假假設(shè)──強(qiáng)度理理論，以便便利用用單向向拉伸伸、壓壓縮以以及圓圓筒扭扭轉(zhuǎn)等等試驗(yàn)驗(yàn)測(cè)得得的強(qiáng)強(qiáng)度來來推斷斷復(fù)雜雜應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下材材料的的強(qiáng)度度。95材料的的強(qiáng)度度破壞壞有兩兩種類類型；；Ⅰ.在沒有有明顯顯塑性性變形形情況況下的的脆性性斷裂裂；Ⅱ.產(chǎn)生顯顯著塑塑性變變形而而喪失失工作作能力力的塑塑性屈屈服。工程中中常用用的強(qiáng)強(qiáng)度理理論按按上述述兩種種破壞壞類型型分為為Ⅰ.研究脆性斷斷裂力力學(xué)因因素的的第一一類強(qiáng)強(qiáng)度理理論，其中中包括括最大拉拉應(yīng)力力理論論和最大伸伸長線線應(yīng)變變理論論；Ⅱ.研究塑性屈屈服力力學(xué)因因素的的第二二類強(qiáng)強(qiáng)度理理論，其中中包括括最大切切應(yīng)力力理論論和形狀改改變能能密度度理論論。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論96(1)最大拉拉應(yīng)力力理論論(第一強(qiáng)強(qiáng)度理理論)受鑄鐵鐵等材材料單單向拉拉伸時(shí)時(shí)斷口口為最最大拉拉應(yīng)力力作用用面等等現(xiàn)象象的啟啟迪，，第一一強(qiáng)度度理論論認(rèn)為為，在任何何應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下，，當(dāng)一一點(diǎn)處處三個(gè)個(gè)主應(yīng)應(yīng)力中中的拉拉伸主主應(yīng)力力s1達(dá)到該該材料料在單單軸拉拉伸試試驗(yàn)或或其它它使材材料發(fā)發(fā)生脆脆性斷斷裂的的試驗(yàn)驗(yàn)中測(cè)測(cè)定的的極限限應(yīng)力力su時(shí)就發(fā)生斷斷裂?？梢?，，第一一強(qiáng)度度理論論關(guān)于于脆性性斷裂裂的判判據(jù)為為而相應(yīng)的的強(qiáng)度度條件件則是是其中，，[s]為對(duì)應(yīng)于于脆性性斷裂裂的許許用拉拉應(yīng)力力，[s]＝su/n，而n為安全全因數(shù)數(shù)。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論97(2)最大伸伸長線線應(yīng)變變理論論(第二強(qiáng)強(qiáng)度理理論)從大理理石等等材料料單軸軸壓縮縮時(shí)在在伸長長線應(yīng)應(yīng)變最最大的的橫向向發(fā)生生斷裂裂(斷裂面面沿施施加壓壓應(yīng)力力的方方向，，即所所謂縱縱向)來判斷斷，第第二強(qiáng)強(qiáng)度理理論認(rèn)認(rèn)為，，在任何何應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下，，當(dāng)一一點(diǎn)處處的最最大伸伸長線線應(yīng)變變e1達(dá)到該該材料料在單單軸拉拉伸試試驗(yàn)、、單軸軸壓縮縮試驗(yàn)驗(yàn)或其其它試試驗(yàn)中中發(fā)生生脆性性斷裂裂時(shí)與與斷裂裂面垂垂直的的極限限伸長長應(yīng)變變eu時(shí)就會(huì)發(fā)發(fā)生斷斷裂。?？梢姡?，第二二強(qiáng)度度理論論關(guān)于于脆性性斷裂裂的判判據(jù)為為第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論98對(duì)應(yīng)于于式中中材料料脆性性斷裂裂的極極限伸伸長線線應(yīng)變變eu，如果是是由單單軸拉拉伸試試驗(yàn)測(cè)測(cè)定的的(例如對(duì)對(duì)鑄鐵鐵等脆脆性金金屬材材料)，那么么eu＝su/E；如果eu是由單單軸壓縮試試驗(yàn)測(cè)測(cè)定的的(例如對(duì)對(duì)石料料和混混凝土土等非非金屬屬材料料)，那么么eu＝n·su/E；如果eu是在復(fù)雜應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)的的試驗(yàn)驗(yàn)中測(cè)測(cè)定的的(低碳鋼鋼在三三軸拉拉伸應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)下下才會(huì)會(huì)未經(jīng)經(jīng)屈服服而發(fā)發(fā)生脆脆性斷斷裂)，則eu與試驗(yàn)驗(yàn)中發(fā)發(fā)生脆脆性斷斷裂時(shí)時(shí)的三三個(gè)主主應(yīng)力力均有有聯(lián)系系。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論99亦即而相應(yīng)的的強(qiáng)度度條件件為按照這這一理理論，，似乎乎材料料在二二軸拉拉伸或或三軸軸拉伸伸應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下反反而比比單軸軸拉伸伸應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下不不易斷斷裂，，而這這與實(shí)實(shí)際情情況往往往不不符，，故工工程上上應(yīng)用用較少少。第七章章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和和強(qiáng)度度理論論如果eu是在單軸軸拉伸而發(fā)發(fā)生脆性性斷裂情情況下測(cè)測(cè)定的，，則第二二強(qiáng)度理理論關(guān)于于脆性斷斷裂的判判據(jù)也可可以便于于運(yùn)用的的如下應(yīng)應(yīng)力形式式表達(dá)：：100(3)最大切應(yīng)應(yīng)力理論論(第三強(qiáng)度度理論)低碳鋼在在單軸拉拉伸而屈屈服時(shí)出出現(xiàn)滑移移等現(xiàn)象象，而滑滑移面又又基本上上是最大大切應(yīng)力力的作用用面(45?斜截面)。據(jù)此，，第三強(qiáng)強(qiáng)度理論論認(rèn)為，，在任何應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下當(dāng)一一點(diǎn)處的的最大切切應(yīng)力tmax達(dá)到該材材料在試試驗(yàn)中屈屈服時(shí)最最大切應(yīng)應(yīng)力的極極限值tu時(shí)就發(fā)生屈屈服。第三強(qiáng)度度理論的的屈服判判據(jù)為對(duì)于由單單軸拉伸伸試驗(yàn)可可測(cè)定屈屈服極限限ss，從而有有tu＝ss/2的材料（例例如低碳碳鋼），，上列屈屈服判據(jù)據(jù)可寫為為即第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論101而相應(yīng)的強(qiáng)強(qiáng)度條件件則為從上列屈屈服判據(jù)據(jù)和強(qiáng)度度條件可可見，這這一強(qiáng)度度理論沒沒有考慮慮復(fù)雜應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下的中中間主應(yīng)應(yīng)力s2對(duì)材料發(fā)生生屈服的的影響；；因此它它與試驗(yàn)驗(yàn)結(jié)果會(huì)會(huì)有一定定誤差(但偏于安安全)。(4)形狀改變變能密度度理論(第四強(qiáng)度度理論)注意到三三向等值值壓縮時(shí)時(shí)材料不不發(fā)生或或很難發(fā)發(fā)生屈服服，第四四強(qiáng)度理理論認(rèn)為為，在任何應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下材料料發(fā)生屈屈服是由由于一點(diǎn)點(diǎn)處的形形狀改變變能密度度vd達(dá)到極限限值vdu所致。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論102于是，第第四強(qiáng)度度理論的的屈服判判據(jù)為對(duì)于由單單軸拉伸伸試驗(yàn)可可測(cè)定屈屈服極限限ss的材料，注注意到試試驗(yàn)中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相應(yīng)的形形狀改變變能密度度的極限限值為故屈服判據(jù)據(jù)可寫為為第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論103此式中，s1，s2，s3是構(gòu)成危險(xiǎn)險(xiǎn)點(diǎn)處的的三個(gè)主主應(yīng)力，，相應(yīng)的的強(qiáng)度條條件則為為這個(gè)理論論比第三三強(qiáng)度理理論更符符合已有有的一些些平面應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下的試試驗(yàn)結(jié)果果，但在在工程實(shí)實(shí)踐中多多半采用用計(jì)算較較為簡便便的第三三強(qiáng)度理理論。亦即第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論104(5)強(qiáng)度理論論的相當(dāng)當(dāng)應(yīng)力上述四個(gè)個(gè)強(qiáng)度理理論所建建立的強(qiáng)強(qiáng)度條件件可統(tǒng)一一寫作如如下形式式：式中，sr是根據(jù)不同同強(qiáng)度理理論以危危險(xiǎn)點(diǎn)處處主應(yīng)力力表達(dá)的的一個(gè)值值，它相相當(dāng)于單單軸拉伸伸應(yīng)力狀狀態(tài)下強(qiáng)強(qiáng)度條件件s≤[s]中的拉應(yīng)應(yīng)力s，通常稱sr為相當(dāng)應(yīng)力力。表7-1示出了前前述四個(gè)個(gè)強(qiáng)度理理論的相相當(dāng)應(yīng)力力表達(dá)式式。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論105相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式強(qiáng)度理論名稱及類型第一類強(qiáng)度理論(脆性斷裂的理論)第二類強(qiáng)度理論(塑性屈服的理論)第一強(qiáng)度理論──最大拉應(yīng)力理論第二強(qiáng)度理論──最大伸長線應(yīng)變理論第三強(qiáng)度理論──最大切應(yīng)力理論第四強(qiáng)度理論──形狀改變能密度理論表7-1四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論106*§7-7莫爾強(qiáng)度度理論及及其相當(dāng)當(dāng)應(yīng)力莫爾強(qiáng)度度理論不不以某一一力學(xué)因因素(正應(yīng)力，，線應(yīng)變變，切應(yīng)應(yīng)力，形形狀改變變能密度度)達(dá)到其極極限值作作為材料料發(fā)生強(qiáng)強(qiáng)度破壞壞的判據(jù)據(jù)，而直直接以材材料在某某些應(yīng)力力狀態(tài)下下強(qiáng)度試試驗(yàn)結(jié)果果所建立立的帶有有經(jīng)驗(yàn)性性的強(qiáng)度度理論。。在該理理論中也也不考慮慮中間主主應(yīng)力s2對(duì)材料強(qiáng)度度的影響響。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論107按照材料料在某些些應(yīng)力狀狀態(tài)下破破壞時(shí)的的主應(yīng)力力s1,s3可作出一組組應(yīng)力圓圓——極限應(yīng)力力圓(如圖)，這組極極限應(yīng)力力圓有一一條公共共包絡(luò)線線(即極限包絡(luò)絡(luò)線，一般情情況下為為曲線，，如圖中中的曲線線ABC和與它對(duì)對(duì)稱的另另一曲線線)。Ⅰ.莫爾強(qiáng)度度理論的的基本觀觀點(diǎn)第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論108在工程應(yīng)應(yīng)用中，，往往根根據(jù)單軸軸拉伸和和單軸壓壓縮的強(qiáng)強(qiáng)度試驗(yàn)驗(yàn)結(jié)果作作兩個(gè)極極限應(yīng)力力圓定出出公切線線(直線)作為極限限包絡(luò)線線。莫爾強(qiáng)度理論認(rèn)認(rèn)為，對(duì)于某一一給定的的應(yīng)力狀狀態(tài)(s1,s2,s3)如果由s1與s3所作應(yīng)力力圓與上上述極限限包絡(luò)線線相切或或相交，，則表示示材料要要發(fā)生強(qiáng)強(qiáng)度破壞壞。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論109Ⅱ.莫爾強(qiáng)度度理論的的強(qiáng)度條條件在強(qiáng)度計(jì)計(jì)算中需需引入安全因數(shù)數(shù)，故以材材料在單單軸拉伸伸時(shí)的許許用拉應(yīng)應(yīng)力[st]和單軸壓縮時(shí)的的許用壓壓應(yīng)力[sc]分別作出出許用應(yīng)力力圓，并以它它們的公公切線（（許用包包絡(luò)線））作為建建立復(fù)雜雜應(yīng)力狀狀態(tài)下強(qiáng)強(qiáng)度條件件的依據(jù)據(jù)。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論任何復(fù)雜雜應(yīng)力狀狀態(tài)下，，以主應(yīng)力力s1，s3作出的應(yīng)應(yīng)力圓都都不得與與許用包包絡(luò)線相相交，而而強(qiáng)度條件件則以該該應(yīng)力圓圓與許用用包絡(luò)線線相切的的條件來來建立。。110根據(jù)圖中中的幾何何關(guān)系可可見，任任意應(yīng)力力狀態(tài)下下以s1,s3所作應(yīng)力圖與與許用包包絡(luò)線相相切時(shí)有有(a)第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論111其中：需要注意意的是，，以上各各式中[sc]是指絕對(duì)對(duì)值，s1,s3是指代數(shù)數(shù)值。(b)第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論112將式(b)所列關(guān)系系代入式式(a)得根據(jù)此式式導(dǎo)出的的條件可可知，式式中的s1,s3實(shí)際上是是所研究究的復(fù)雜雜應(yīng)力狀狀態(tài)下剛剛好滿足足強(qiáng)度要要求的值值，因而而莫爾強(qiáng)強(qiáng)度理論論的強(qiáng)度度條件應(yīng)應(yīng)為相應(yīng)的相相當(dāng)應(yīng)力力表達(dá)式式于是為為第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論113顯然，當(dāng)當(dāng)材料的的許用拉拉,壓應(yīng)力相相等時(shí)，，srM=sr3=s1-s3從這個(gè)意意義上來來說，莫莫爾強(qiáng)度度理論是是第三強(qiáng)強(qiáng)度理論論的發(fā)展展，因?yàn)闉槟獱枏?qiáng)強(qiáng)度理論論可以考考慮[st]≠[sc]的情況。莫爾強(qiáng)度度理論的的不足之之處在于于，它沒沒有考慮慮不同應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下材料料強(qiáng)度破破壞的類類型可能能不同，，例如對(duì)對(duì)于鑄鐵鐵一類脆脆性材料料，莫爾爾強(qiáng)度理理論中作作出許用用包絡(luò)線線的[st]和[sc]就是對(duì)應(yīng)應(yīng)于沿橫橫截面脆脆性斷裂裂和沿斜斜截面剪剪斷兩種種不同破破壞類型型的。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論114§7-8各種強(qiáng)度度理論的的應(yīng)用前述各種種強(qiáng)度理理論是根根據(jù)下列列條件下下材料強(qiáng)強(qiáng)度破壞壞的情況況作出的的假設(shè)，，它們也也是應(yīng)用用這些強(qiáng)強(qiáng)度理論論的條件件：常溫(室溫)，靜荷載載(徐加荷載載)，材料接接近于均均勻,連續(xù)和各各向同性性。需要注意意同一種材材料其強(qiáng)強(qiáng)度破壞壞的類型型與應(yīng)力力狀態(tài)有有關(guān)。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論115第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論帶尖銳環(huán)環(huán)形深切切槽的低低碳鋼試試樣，由由于切槽槽根部附附近材料料處于接接近三向向等值拉拉伸的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)而發(fā)生生脆性斷斷裂。對(duì)對(duì)于像低低碳鋼一一類的塑塑性材料料，除了了處于三三向拉伸伸應(yīng)力狀狀態(tài)外，，不會(huì)發(fā)發(fā)生脆性性斷裂。。116圓柱形大大理石試試樣，在在軸向壓壓縮并利利用液體體徑向施施壓時(shí)會(huì)會(huì)產(chǎn)生顯顯著的塑塑性變形形而失效效。第七章應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)和強(qiáng)強(qiáng)度理論論117純剪切平面面應(yīng)力狀狀態(tài)下許許用應(yīng)力力的推算算純剪切平面面應(yīng)力狀狀態(tài)下低碳鋼一