2.4三角形的中位線2.4三角形的中位線1CBADE為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬AB,在池塘一側(cè)的平地上選一點(diǎn)C,再分別找出線段AC，BC的中點(diǎn)D、E，若測(cè)出DE的長(zhǎng)，就能求出池塘AB的寬，你知道為什么嗎？想一想CBADE為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬AB,在池塘一側(cè)的平地上2ABCDE合作學(xué)習(xí)剪一刀，將一張三角形紙片剪成一張三角形紙片和一張?zhí)菪渭埰?（1）要保證剪成一張三角形紙片和一張?zhí)菪渭埰?，剪痕的位置有什么要求？?）若要使△ADE與梯形DBCE能拼成平行四邊形，剪痕的位置有什么要求？

（3）要把所剪得的兩個(gè)圖形拼成一個(gè)平行四邊形，可將其中的三角形作怎樣的圖形變換？ABCDEFABCDE合作學(xué)習(xí)剪一刀，將一張三角形紙片剪成（1）要保證剪3連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線三角形有三條中位線∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)∴DE為△ABC的中位線三角形的中位線和三角形的中線不同注意同理DF、EF也為△ABC的中位線EDFACB定義三角形的中位線與第三邊有什么關(guān)系?連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線三角形有三條中位線∵4探究

如圖2-38，EF是ABC的一條中位線.

你能猜測(cè)出EF和BC具有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系嗎？為什么？圖2-38探究如圖2-38，EF是ABC的一條中位線.5我猜測(cè)EF∥BC.我量得EF=1cm，BC=2cm，猜測(cè)這些猜測(cè)正確嗎？我們來(lái)進(jìn)行證明.我猜測(cè)EF∥BC.我量得EF=1cm，BC=6

如圖，將△AEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，設(shè)點(diǎn)E的像為點(diǎn)G，易知點(diǎn)A的像是點(diǎn)C，點(diǎn)F的像還是點(diǎn)F，且E，F(xiàn)，G在一條直線上.

因?yàn)樾D(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，所以有CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF.則AE∥CG.(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)即BE∥CG.又BE=CG，所以四邊形BCGE是平行四邊形.(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)圖2-39如圖，將△AEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，設(shè)點(diǎn)E的像為點(diǎn)G7所以EG=BC，EG∥BC.(平行四邊形的對(duì)邊平行且相等)又因?yàn)镋F=GF，EF

EG=BCEF=圖2-39∥從而EF﹦所以EG=BC，EG∥BC.(平行四邊形的對(duì)邊平行且相等)又8已知：如圖，DE是△ABC的中位線.求證：證明：如圖，以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心，把⊿ADE繞點(diǎn)E，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180゜，得到⊿CFEABCDEF得到⊿CFE，⊿ADE≌⊿CFE.∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF∴AB∥CF又∵BD=AD=CF,∴四邊形BCFD是平行四邊形證明命題：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半已知：如圖，DE是△ABC的中位線.證明：如圖，以點(diǎn)E為旋9證明二：如圖，延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接CF∴∠ADE=∠F，AD=CF，∴AB∥CF又∵BD=AD=CF,∴四邊形BCFD是平行四邊形ABCDEF∵DE=EF,AE=EC,∠AED=∠CEF∴⊿ADE≌⊿CFE已知：如圖，DE是△ABC的中位線.求證：證明二：如圖，延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接CF∴∠ADE10三角形中位線定理

三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.幾何語(yǔ)言表述：∵DE是△ABC的中位線（或AD=BD,AE=CE)CEDBA①證明平行問題②證明一條線段是另一條線段的兩倍或一半適用范圍三角形中位線定理三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.幾何111.如圖1：在△ABC中，DE是中位線（1）若∠ADE=60°，則∠B=

度，為什么？（2）若BC=8cm，則DE=

cm，為什么？2.如圖2：在△ABC中，D、E、F分別是各邊中點(diǎn),AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，則△DEF的周長(zhǎng)=

cm,面積呢？60412圖1CBAD。。E圖2BACD。。E。F543練一練三角形三條中位線圍成的三角形的周長(zhǎng)與原三角形的周長(zhǎng)的關(guān)系？面積呢？1.如圖1：在△ABC中，DE是中位線2.如圖2：在△ABC12CBADE3、為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬AB,在池塘一側(cè)的平地上選一點(diǎn)C,再分別找出線段AC，BC的中點(diǎn)D、E，若測(cè)出DE=15m，就能求出池塘AB的寬嗎？練一練CBADE3、為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬AB,在池塘一側(cè)的平地上選13如圖2-40，順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？舉例例圖2-40如圖2-40，順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)舉例圖2-4014解連結(jié)AC.由于EF是△ABC的一條中位線，又因HG是△

DAC的一條中位線，于是EF∥HG

，且EF=HG.所以四邊形EFGH是平行四邊形.所以EF∥AC，且因此HG

∥AC，且圖2-40解連結(jié)AC.由于EF是△ABC的一條中位線，又因HG是△15.①有中點(diǎn)連線而無(wú)三角形,要作輔助線產(chǎn)生三角形②有三角形而無(wú)中位線,要連結(jié)兩邊中點(diǎn)得中位線溫馨提示：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)的線段組成一個(gè)平行四邊形.①有中點(diǎn)連線而無(wú)三角形,要作輔助線產(chǎn)生三角形②有三角形而無(wú)16（1）四邊形ADEF是平行四邊形嗎？為什么？答：四邊形ADEF是平行四邊形.

因?yàn)樗运倪呅蜛DEF是平行四邊形.(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)2.如圖，ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn).（1）四邊形ADEF是平行四邊形嗎？為什么？17（2）四邊形ADEF的周長(zhǎng)等于AB+AC嗎？為什么？（2）四邊形ADEF的周長(zhǎng)等于AB+AC嗎？181.如圖,DE是⊿ABC的中位線,AF是BC邊上的中線,DE和AF交于點(diǎn)O.求證:DE與AF互相平分.FEDCBAO(第1題)練一練1.如圖,DE是⊿ABC的中位線,AF是BC邊上的中線,DE19方法點(diǎn)撥：在處理問題時(shí),要求同時(shí)出現(xiàn)三角形及中位線①有中點(diǎn)連線而無(wú)三角形,要作輔助線產(chǎn)生三角形②有三角形而無(wú)中位線,要連結(jié)兩邊中點(diǎn)得中位線三角形中位線定理應(yīng)用：⑴定理為證明平行關(guān)系提供了新的工具⑵定理為證明一條線段是另一條線段的2倍或一半提供了一個(gè)新的途徑方法點(diǎn)撥：三角形中位線定理應(yīng)用：⑴定理為證明平行關(guān)系提供了新202.4三角形的中位線2.4三角形的中位線21CBADE為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬AB,在池塘一側(cè)的平地上選一點(diǎn)C,再分別找出線段AC，BC的中點(diǎn)D、E，若測(cè)出DE的長(zhǎng)，就能求出池塘AB的寬，你知道為什么嗎？想一想CBADE為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬AB,在池塘一側(cè)的平地上22ABCDE合作學(xué)習(xí)剪一刀，將一張三角形紙片剪成一張三角形紙片和一張?zhí)菪渭埰?（1）要保證剪成一張三角形紙片和一張?zhí)菪渭埰?，剪痕的位置有什么要求？?）若要使△ADE與梯形DBCE能拼成平行四邊形，剪痕的位置有什么要求？

（3）要把所剪得的兩個(gè)圖形拼成一個(gè)平行四邊形，可將其中的三角形作怎樣的圖形變換？ABCDEFABCDE合作學(xué)習(xí)剪一刀，將一張三角形紙片剪成（1）要保證剪23連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線三角形有三條中位線∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)∴DE為△ABC的中位線三角形的中位線和三角形的中線不同注意同理DF、EF也為△ABC的中位線EDFACB定義三角形的中位線與第三邊有什么關(guān)系?連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線三角形有三條中位線∵24探究

如圖2-38，EF是ABC的一條中位線.

你能猜測(cè)出EF和BC具有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系嗎？為什么？圖2-38探究如圖2-38，EF是ABC的一條中位線.25我猜測(cè)EF∥BC.我量得EF=1cm，BC=2cm，猜測(cè)這些猜測(cè)正確嗎？我們來(lái)進(jìn)行證明.我猜測(cè)EF∥BC.我量得EF=1cm，BC=26

如圖，將△AEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，設(shè)點(diǎn)E的像為點(diǎn)G，易知點(diǎn)A的像是點(diǎn)C，點(diǎn)F的像還是點(diǎn)F，且E，F(xiàn)，G在一條直線上.

因?yàn)樾D(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，所以有CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF.則AE∥CG.(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)即BE∥CG.又BE=CG，所以四邊形BCGE是平行四邊形.(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)圖2-39如圖，將△AEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，設(shè)點(diǎn)E的像為點(diǎn)G27所以EG=BC，EG∥BC.(平行四邊形的對(duì)邊平行且相等)又因?yàn)镋F=GF，EF

EG=BCEF=圖2-39∥從而EF﹦所以EG=BC，EG∥BC.(平行四邊形的對(duì)邊平行且相等)又28已知：如圖，DE是△ABC的中位線.求證：證明：如圖，以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心，把⊿ADE繞點(diǎn)E，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180゜，得到⊿CFEABCDEF得到⊿CFE，⊿ADE≌⊿CFE.∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF∴AB∥CF又∵BD=AD=CF,∴四邊形BCFD是平行四邊形證明命題：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半已知：如圖，DE是△ABC的中位線.證明：如圖，以點(diǎn)E為旋29證明二：如圖，延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接CF∴∠ADE=∠F，AD=CF，∴AB∥CF又∵BD=AD=CF,∴四邊形BCFD是平行四邊形ABCDEF∵DE=EF,AE=EC,∠AED=∠CEF∴⊿ADE≌⊿CFE已知：如圖，DE是△ABC的中位線.求證：證明二：如圖，延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接CF∴∠ADE30三角形中位線定理

三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.幾何語(yǔ)言表述：∵DE是△ABC的中位線（或AD=BD,AE=CE)CEDBA①證明平行問題②證明一條線段是另一條線段的兩倍或一半適用范圍三角形中位線定理三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.幾何311.如圖1：在△ABC中，DE是中位線（1）若∠ADE=60°，則∠B=

度，為什么？（2）若BC=8cm，則DE=

cm，為什么？2.如圖2：在△ABC中，D、E、F分別是各邊中點(diǎn),AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，則△DEF的周長(zhǎng)=

cm,面積呢？60412圖1CBAD。。E圖2BACD。。E。F543練一練三角形三條中位線圍成的三角形的周長(zhǎng)與原三角形的周長(zhǎng)的關(guān)系？面積呢？1.如圖1：在△ABC中，DE是中位線2.如圖2：在△ABC32CBADE3、為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬AB,在池塘一側(cè)的平地上選一點(diǎn)C,再分別找出線段AC，BC的中點(diǎn)D、E，若測(cè)出DE=15m，就能求出池塘AB的寬嗎？練一練CBADE3、為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬AB,在池塘一側(cè)的平地上選33如圖2-40，順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？舉例例圖2-40如圖2-40，順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)舉例圖2-4034解連結(jié)AC.由于EF是△ABC的一條中位線，又因HG是△

DAC的一條中位線，于是EF∥HG

，且EF=HG.所以四邊形EFGH是平行四邊形.所以EF∥AC，且因此HG

∥AC，且圖2-40解連結(jié)AC.由于EF是△ABC的一條中位線，又因HG是△35.①有中點(diǎn)連線而無(wú)三角形,要作輔助線產(chǎn)生三角形②有三角形而無(wú)中位線,要連結(jié)兩邊中點(diǎn)得中位線溫馨提示：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)的線段組成一個(gè)平行四邊形