川大附中2022-2023年度上期高2023屆半期考試數(shù)學(xué)理科一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算的定義求解.【詳解】由解得,所以,又因為,所以,所以.故選:B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)z，即可求出答案.【詳解】，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限故選：D.3.記等差數(shù)列的前n項和為,若,則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式及等差數(shù)列性質(zhì):若,則即可得到結(jié)果.【詳解】解:由題知,即,,.故選:C4.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值為（）A. B. C.3 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即得解【詳解】由題意，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性故選：A5.已知某樣本的容量為100，平均數(shù)為80，方差為95，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將90記錄為70，另一個錯將80記錄為100．在對錯誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意知,重新求得樣本的平均數(shù)為設(shè)收集的98個準(zhǔn)確數(shù)據(jù)為,則,,故選:A.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．7.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)f(x)定義域，排除兩個選項，再取特殊值得解.【詳解】∵令g(x)=，x>0時，x2是遞增的，cosx在(0,)上遞減，則有g(shù)(x)在(0,)上單調(diào)遞增，而，所以存在使得，中，排除C、D，∵時，排除B，所以選A.故選：A【點睛】給定解析式，識別圖象，可以從分析函數(shù)定義域、函數(shù)奇偶性、在特定區(qū)間上單調(diào)性及特殊值等方面入手.8.下列命題中，不正確的是（）A.在中，若，則B.在銳角中，不等式恒成立C.在中，若，則必是等腰直角三角形D.在中，若，，則必是等邊三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理和大邊對大角判斷選項A，由為銳角三角函數(shù)得，進(jìn)而即可判斷選項B，再利用正弦定理邊化角即可求出或即可判斷選項C，利用余弦定理判斷選項D.【詳解】在中，由正弦定理可得，,故選項A正確；在銳角中，，且，則，，故選項B正確；在中，由，利用正弦定理可得,得或,故或，即是等腰三角形或直角三角形，故選項C錯誤；在中，若，，由余弦定理可得，即，解得，必是等邊三角形，故選項D正確.故選:C.9.在中，點在上，且滿足，點為上不包括任意一點，若實數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三點共線利用共線定理確定間的關(guān)系，再利用基本不等式即可求解.詳解】由題可知，,其中，，又因為,所以，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且即時取得等號，所以的最小值為.故選:D.10.年月日至月日，第屆國際乒聯(lián)世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都舉行，組委會安排甲、乙等名工作人員去個不同的崗位工作，其中每個崗位至少一人，且甲、乙人必須在一起，則不同的安排方法的種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對甲、乙兩人所在的崗位的人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用分組分配的原理結(jié)合分類加法計數(shù)原理可求得不同的安排方法種數(shù).【詳解】分以下兩種情況討論：（1）若甲、乙兩人所在的崗位只分配了甲、乙兩人，則另外有一個崗位需要安排兩人，此時，不同的安排方法種數(shù)為種；（2）若甲、乙兩人所在的崗位分配了三人，則還需從其余四人中抽取一人分配在甲、乙這兩人所在的崗位，此時，不同的安排方法種數(shù)為種.綜上所述，不同的安排方法種數(shù)為.故選：A.11.設(shè)點P是拋物線:上的動點,點M是圓:上的動點,d是點P到直線的距離,則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖像,將轉(zhuǎn)化為拋物線上點到準(zhǔn)線的距離再加1,也即是拋物線上點到焦點的距離加1,若求的最小值,轉(zhuǎn)化為拋物線上點到焦點距離和到圓上點的距離再加1即可,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,即當(dāng)共線時,取最小值為,算出結(jié)果即可.【詳解】解:由題知圓:,為拋物線焦點,為拋物線準(zhǔn)線,則過點向作垂線垂足為,如圖所示:則,根據(jù)拋物線定義可知,,=,若求的最小值,只需求的最小值即可,連接與拋物線交于點,與圓交于點,如圖所示,此時最小,為,,,.故選:B12.不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)構(gòu)造不等式后求解，【詳解】設(shè)，，當(dāng)時，當(dāng)時，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，得不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，時，可化為，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，設(shè)，，，故在上有解，故的取值范圍是故選：B二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，常數(shù)項是___________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，即可求得答案.【詳解】的展開式的通項公式為，令，故常數(shù)項為，故答案為：14.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若實數(shù)m滿足，則m的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)當(dāng)時，和函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，得到函數(shù)在R上的遞增，再由，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：因為當(dāng)時，，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)得在上遞增，又因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在R上的遞增，又，所以，解得，所以m的取值范圍是，故答案為：15.已知數(shù)列的首項，其前項和為，若，則__________．【答案】96【解析】【分析】由題意易得，兩式相減可得數(shù)列從第二項開始成等比數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，兩式相減得，又因為，，得，所以數(shù)列從第二項開始成等比數(shù)列，因此其通項公式為，所以，故答案為：96.16.已知函數(shù)（,）在區(qū)間上單調(diào),且滿足．(1)若,則函數(shù)的最小正周期為__________;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點,則的取值范圍為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】(1)根據(jù)可得到對稱中心,因為上單調(diào),判斷與對稱中心之間的距離,確定最大的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而判斷的大概取值范圍,再根據(jù)確定對稱軸,將得到的式子進(jìn)行整合,即可得到的值確定周期;(2)根據(jù)(1)的對稱中心及的大概取值范圍,可知,即是其一個零點,所以在區(qū)間上恰有五個零點,只需在第五個零點之間和第六個零點之間即可,根據(jù)相鄰兩個零點之間是半個周期,得出不等式，計算即可,另加上(1)中的大概取值范圍,得到最后結(jié)果即可,需要注意前提條件中區(qū)間上單調(diào),要確定最大的單調(diào)區(qū)間,才能確定的取值范圍.【詳解】解:由題知,對稱中心為,代入可得①在區(qū)間上單調(diào),且對稱中心為,又在區(qū)間上單調(diào)即,即,(1),關(guān)于對稱,代入可得,②①-②可得,即,;(2)對稱中心為,,區(qū)間上恰有5個零點,相鄰兩個零點之間的距離為,五個零點之間即,六個零點之間即,只需即可,即,,.故答案為:;三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17—21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.隨著新高考改革的不斷深入，高中學(xué)生生涯規(guī)劃越來越受到社會的關(guān)注.一些高中已經(jīng)開始嘗試開設(shè)學(xué)生生涯規(guī)劃選修課程，并取得了一定的成果.下表為某高中為了調(diào)查學(xué)生成績與選修生涯規(guī)劃課程的關(guān)系，隨機(jī)抽取50名學(xué)生的統(tǒng)計數(shù)據(jù).成績優(yōu)秀成績不夠優(yōu)秀總計選修生涯規(guī)劃課151025不選修生涯規(guī)劃課61925總計212950（Ⅰ）根據(jù)列聯(lián)表運(yùn)用獨立性檢驗的思想方法分析：能否有的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績是否優(yōu)秀與選修生涯規(guī)劃課有關(guān)”，并說明理由；（Ⅱ）如果從全校選修生涯規(guī)劃課的學(xué)生中隨機(jī)地抽取3名學(xué)生，求抽到成績不夠優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望（將頻率當(dāng)作概率計算）.參考附表：0.1000.0500.0100.0012.70638416.63510.828參考公式，其中.【答案】（Ⅰ）有把握，理由見解析；（Ⅱ）分布列見解析，.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題中所給的公式求出的值，然后根據(jù)參考附表進(jìn)行判斷即可；（Ⅱ）由題意可以求出在全校選修生涯規(guī)劃課的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生成績優(yōu)秀的概率，成績不優(yōu)秀的概率，可以判斷可取值為0，1，2，3，根據(jù)二項分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）由題意知，的觀測值.所以有的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績優(yōu)秀與是否選修生涯規(guī)劃課有關(guān)”.（Ⅱ）由題意知在全校選修生涯規(guī)劃課的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生成績優(yōu)秀的概率為，成績不優(yōu)秀的概率為，可取值為0，1，2，3.所以的分布列為0123，.【點睛】本題考查了的計算，考查了二項分布的性質(zhì)應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18.如圖，圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于的點，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長為的等邊三角形，.（1）證明：平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)線線垂直從而證明線面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【小問1詳解】∵為圓臺下底面圓的直徑，是圓上異于的點，故又∵，，∴∵，∴，∴∴，又∵，，平面∴平面【小問2詳解】取的中點，連接，則，由(1)可知，∵，∴平面，又∵∴以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，∵平面，∴，四邊形為矩形，∴平面的一個法向量為.設(shè)平面的一條法向量為，，由得令，則，平面的一個法向量為則平面與平面的夾角的余弦值為∴平面和平面夾角的余弦值為19.在①，且；②成等差數(shù)列，且；③（為常數(shù)）這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答．問題：已知數(shù)列的前項和為，________，其中．（1）求的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）若選條件①：把已知條件變形為，從而得到，即得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；若選條件②：由已知條件得到，再根據(jù)與的關(guān)系式得到，從而得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；若選條件③：根據(jù)與的關(guān)系式得到，從而得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得到，從而根據(jù)錯位相減求和法求.【詳解】（1）若選條件①：由，得，即，所以，因為，所以，即，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以；若選條件②：因為成等差數(shù)列，所以，即，所以，又，，所以，即，所以，所以，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以；若選條件③：因為，所以時，，兩式相減并整理，得，即，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知：所以，所以，所以，所以，兩式相減，得，整理，得，所以.又，所以，故在上單調(diào)遞增，所以，所以.20.已知橢圓C：經(jīng)過點，其右頂點為.（1）求橢圓C的方程；（2）若點P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為.求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合，即可解出，從而得出橢圓C的方程；（2）依題可設(shè)，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可得到，然后結(jié)合，可找到的關(guān)系，從而可知直線PQ經(jīng)過定點，于是△APQ面積等于，即可求出其最大值．【小問1詳解】解：依題可得，，解得，所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】解：易知直線AP與AQ的斜率同號，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，，，由可得，，所以，，，而，即，化簡可得，①，因為，所以，令可得，②，令可得，③，把②③代入①得，，化簡得，所以，或，所以直線或，因為直線不經(jīng)過點，所以直線經(jīng)過定點．設(shè)定點，所以，，因為，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，即△APQ面積的最大值為．21.已知函數(shù)（），.（1）求函數(shù)的極值點；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，無極值點，當(dāng)時，有極大值點，無極小值點，（2）【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的極點；（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，求解的最值，即可得到的取值范圍【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，由，得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值點，無極小值點，綜上，當(dāng)時，無極值點，當(dāng)時，有極大值點，無極小值點，（2）因為恒成立，即恒成立，所以對恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以由零點存在性定理可知，存在唯一的零點，使得，即，兩邊取對數(shù)可得，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以的取值范圍為【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是恒成立，轉(zhuǎn)化為對恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題