2022-2023學(xué)年上海市實驗學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若正棱錐的底面邊長與側(cè)棱長相等，則該棱錐一定不是（

）A．正三棱錐 B．正四棱錐 C．正五棱錐 D．正六棱錐D【分析】對于選項A，考慮正四面體.對于B，C，D選項，畫出滿足部分條件的幾何體，通過證明來說明是否存在滿足題意的圖形.【詳解】對于選項A，正四面體為滿足條件的正三棱錐，故排除A.對于選項B，考慮如圖所示的正四棱錐.滿足，為底面正方形中心，EO平面ABCD.因底面為正方形，故，則，，，兩兩全等，得.故存在滿足條件的正四棱錐，排除B對于選項C，考慮如圖所示的五棱錐.滿足，O為底面正五邊形中心，F(xiàn)O平面ABCDE.因底面為正五邊形，故，則，，，，兩兩全等.得.故存在滿足條件的正五棱錐，排除C對于選項D，考慮如圖所示的正六棱錐.滿足，O為底面正六邊形中心.GO平面ABCDEF.但注意到OA=AB，，則有.這與所設(shè)滿足的條件矛盾，故不存在滿足條件的正六棱錐，故D正確.故選:D方法點睛:判斷滿足條件的幾何體是否存在的常用方法:通過積累特殊圖形判斷某種幾何體存在.通過證明判斷某種幾何體存在.通過導(dǎo)出矛盾證明某種幾何體不存在.2．三棱錐中，E，F(xiàn)分別為的中點，則平面將該三棱錐所分的兩部分幾何體的體積之比為（

）A．1∶3 B．1∶4 C．2∶3 D．1∶2A【分析】作出簡圖，平面AEF將三棱錐分為三棱錐和四棱錐，由A到三棱錐和四棱錐的距離相等，所以體積比即，由相似三角形求出面積比.【詳解】如圖，因為E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點，所以，且，所以，設(shè)點A到平面PBC的距離為d，則.故選：A.3．如圖，圓錐O的軸截面是一個面積為1的等腰直角三角形，C為弧上的一點，，E為線段上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．B【分析】將空間圖形進行翻折變化到同一平面，根據(jù)兩點之間線段最短即可求解.【詳解】將翻折到平面內(nèi)，得到如圖所示平面四邊形，因為所以,所以,所以,又因為，所以翻折后的圖形中,根據(jù)兩點之間線段最短可知，的最小值為,故選:B.4．將一個正方體切一刀，可能得到的以下幾何體中的種類數(shù)為（

）①四面體；②四棱錐；③四棱柱；④五棱錐；⑤五棱柱；⑥六棱錐；⑦七面體A．3種 B．4種 C．5種 D．以上均不正確B【分析】可能出現(xiàn)①③⑤⑦這四種情況．【詳解】如圖，平面截正方體，可得到四面體；如圖，平面截正方體，可得到四棱柱；如圖，平面截正方體，可得到五棱柱，也是七面體.故選：B.二、填空題5．設(shè)為長方體，為直平行六面體，為正四棱柱，為正六面體，則集合A，B，C，D之間的包含關(guān)系為________．【分析】先判斷出四個集合中的元素關(guān)系，再根據(jù)集合包含關(guān)系定義判斷即可.【詳解】在這4種圖形中，包含元素最多的是直平行六面體，其次是長方體，再其次是正四棱柱（上下底面是正方形的長方體），最少元素的是正六面體.故答案為:6．下列結(jié)論中正確的有________．①“與共線”是“存在實數(shù)使”的必要非充分條件②；③或；④；⑤，其中；⑥若，則為鈍角；①⑤【分析】利用共線向量及充分、必要條件的定義判斷①；舉例說明判斷②，③，④，⑥；利用數(shù)量積的運算律判斷⑤作答.【詳解】對于①，當(dāng)時，與共線，不存在實數(shù)使，反之，存在實數(shù)使，則與共線，因此“與共線”是“存在實數(shù)使”的必要非充分條件，①正確；對于②，當(dāng)時，，而為非零向量，，②不正確；對于③，當(dāng)時，，此時均為非零向量，③不正確；對于④，是與共線的向量，是與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等，④不正確；對于⑤，由平面向量數(shù)量積的運算律知，，成立，⑤正確；對于⑥，當(dāng)時，，因此當(dāng)時，可能為，⑥不正確，所以結(jié)論中正確的有①⑤.故①⑤7．已知，則以為方向向量的兩直線的夾角為________．【分析】由已知向量，的坐標，結(jié)合，求得，求出，由兩向量的夾角公式求得以為方向向量的兩直線的夾角.【詳解】因為所以，又，故.又，所以，又.設(shè)以為方向向量的兩直線的夾角為則，所以.故答案為.8．如圖的空間直角坐標系中，垂直于正方形所在平面，與平面的所成角為，E為中點，則平面的單位法向量______．（用坐標表示）【分析】根據(jù)給定條件，借助線面角求出DP長，并求出點A，B，P的坐標，再利用空間向量求出平面的單位法向量作答.【詳解】如圖，連接BD，因平面，則是與平面所成的角，即，在正方形中，，而，則有，于是得，PB中點，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，與共線的單位向量為，所以平面的單位法向量.故9．將一個半徑為的球熔化后重新鑄成一個側(cè)面展開圖為半圓的圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為_______．【分析】由題意，易知球的體積與圓錐的體積相同，分別設(shè)出圓錐的母線、高、底面半徑，根據(jù)勾股定理、底面周長等于側(cè)面弧長、體積公式，建立方程組，求得母線長，結(jié)合扇形面積公式，可得答案.【詳解】由題意，半徑為的球的體積，重新鑄成的圓錐的體積，設(shè)圓錐的母線長為，高為，底面半徑為，則，由側(cè)面展開圖為半圓，則，即，故，，圓錐的體積，則，解得，即，圓錐的側(cè)面積.故答案為.10．空間三角形三個頂點的坐標分別為和，則_______．【分析】利用空間向量得到三角形邊長，根據(jù)三角形面積公式即可求得面積.【詳解】由已知設(shè)三個點坐標分別為和故，，，故11．正方體的棱長為4，點是棱上一點，若異面直線與所成角的余弦值為，則_______.1【分析】由空間向量的方法，根據(jù)異面直線與所成角的余弦值為，即可求出的長.【詳解】以為坐標原點，以方向為軸，方向為軸,方向為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，所以，設(shè)異面直線與所成的角為，則，解得，即.故答案為1本題主要考查由異面直線所成的角確定點的位置的問題，由空間向量的方法建系求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.12．如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為_____．4以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系,設(shè)，求出平面的一個法向量，則，則可以得到答案.【詳解】解：以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，故，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，可取，故，又直線與平面所成角的正弦值為，，解得．故4．本題考查根據(jù)線面角，利用向量法求柱體的高，屬于中檔題.13．空間直角坐標系內(nèi)有一平行六面體（其中O為坐標原點），若從O出發(fā)的三條棱的終點A，C，的坐標依次為和（6，3，1），則該平行六面體的體積為________．9【分析】利用向量的夾角公式、三角形面積公式求出底面平行四邊形的面積，再利用向量法求出平行六面體的高，代入體積公式求解.【詳解】由題意，，，，所以,所以，所以底面平行四邊形的面積，設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，所以，則點到底面的距離，即平行六面體的高.所以.故914．己知一個體積為的球內(nèi)切于直三棱柱（即與三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,則該直三棱柱的外接球（即使所有頂點均落在球面上）的表面積為________．【分析】根據(jù)直三棱柱內(nèi)切球與直三棱柱高和底面三角形內(nèi)切圓之間的關(guān)系建立等式,可求出直三棱柱高和底面三角形內(nèi)切圓半徑,再根據(jù)題上條件,設(shè)邊長,用余弦定理,建立邊之間的關(guān)系,根據(jù)底面三角形內(nèi)切圓半徑跟面積和周長之間得關(guān)系,找到底面三角形三邊長,進而找到直三棱柱的外接球半徑,求出表面積即可.【詳解】解:由題知，記內(nèi)切球半徑為,外接球半徑為,內(nèi)切圓、外接圓半徑為r,R,則,解得,因為該球內(nèi)切于一個直三棱柱,當(dāng)且僅當(dāng)球半徑與底面三角形內(nèi)切圓半徑相等,同時棱柱的高恰為球半徑的2倍,所以;由題意,設(shè),則在中由余弦定理得,,,所以,由內(nèi)切圓半徑公式,,解得,所以,由正弦定理,,得,而直三棱柱內(nèi)接于一個球,當(dāng)且僅當(dāng)兩全等的底面位于距球心距離相同且平行的兩個小圓上,顯然該兩個小圓距球心的距離d應(yīng)為棱柱高h的一半,所以平面與球心間的距離,且其所在小圓的半徑即為其本身外接圓的半徑,為,由球的垂徑定理,,所以球的表面積為．三、解答題15．如圖，在直三棱柱中，，(1)求異面直線與的所成角；(2)求直線與平面的所成角．(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得異面直線與的所成角.（2）利用向量法求得直線與平面的所成角.【詳解】（1）依題意可知兩兩相互垂直，以為原點，為x軸正方向，為y軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，，，設(shè)異面直線與的所成角為，則，由于，所以異面直線與的所成角為.（2），，而平面中，，設(shè)平面的法向量為，則，令，設(shè)直線與平面的所成角為則,由于，所以直線與平面的所成角為.16．如圖，點在圓柱的底面圓周上，為圓的直徑，圓柱的側(cè)面積為，：(1)求三棱錐的表面積；(2)求二面角的大小．(1)(2)【分析】（1）由圓柱的性質(zhì)結(jié)合題意可較易證明構(gòu)成三棱錐的面為直角三角形，求出對應(yīng)各三角形的邊長，即可得出三棱錐的表面積；（2）找出二面角的平面角，求出平面角即為二面角的大小.【詳解】（1）由題意知：，圓柱的側(cè)面積為：，∴，，，∴，又為圓直徑，為直角三角形，∴，，∴，，又：，與圓所在的平面垂直，平面，∴，又，∴平面，∴，又：，∴，∴.（2）如圖所示：延長交圓于點，過作于點，由（1）可知：與圓所在的平面垂直，在圓所在的平面內(nèi)，∴，∴，∴平面，∴，又為平面與平面的交線，∴為二面角的平面角，，為直角三角形，，∴，∴，即：二面角的大小為.17．如圖，四棱錐的底面為梯形，，，求平面與平面所成二面角的大?。汀痉治觥坑梢阎?，可得平面，從而平面平面，過P作，則平面，建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求出二面角的大?。驹斀狻坑蓷l件知，所以，又，所以平面，因為平面，所以平面平面，過P作，垂足為O，又平面平面平面，所以平面，以O(shè)為原點，以O(shè)A所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，過O且與AD垂直的直線為y軸，建立空間直角坐標系，在中，，則，由，得，，，因為平面，平面，所以，又，所以垂直于x軸，平行于y軸，所以，，設(shè)平面的法向量，則，即，可取，設(shè)平面的法向量，則，即，可取，設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，則，所以平面與平面所成二面角的大小為和．18．設(shè)正六棱錐的底面積為，高為h，側(cè)面積為S，(1)將S表示為h的函數(shù)；(2)當(dāng)時，求的正弦值；(3)將F到平面的距離d表示為h的函數(shù)，并求d的取值范圍．(1)(2)(3)，【詳解】（1）設(shè)底面邊長為a，可解得，在底面正六邊形中，中心到各邊的距離為，側(cè)面積，其中斜高，所以；（2）由（1），時，而，解得；（3）如圖，設(shè)為中點，連接，在中，，在中，，，故.又，.由易得.所以，.，.顯然d是關(guān)于h的嚴格增函數(shù)，所以.19．已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式和前n項和；(2)設(shè)，若不等式，對于任意都成立，求正數(shù)k的最大值．(1)；(2)4【分析】（1）由遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，由新數(shù)列的通項求，再求前n項和.（2），不等式等價于恒成立，設(shè)，利用作商證明，所以只需即可．【詳解】（1），可得，，所以是以3為首項、3為公比的等比數(shù)列，所以，則；（2），，不等式可改寫為，即，設(shè)，，所以，即當(dāng)n增大時，也增大，所以只需即可．因為，所以，，即，所以正數(shù)k的最大值為4．20．已知數(shù)列與的前n項和分別為An和Bn，且對任意恒成立．(1)若，求Bn；(2)若對任意，都有及成立，求正實數(shù)b1的取值范圍；(3)若，是否存在兩個互不相等的整數(shù)，使成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析(1)

由，得，再由，得數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，可求得；(2)依題意，即，即，所以數(shù)列是以b1為首項，2為公比的等比數(shù)列，可求得,所以運用裂項相消法得，轉(zhuǎn)化為，可得其范圍；(3)由得，運用累加法求得，從而得，又，可得，假設(shè)存在兩個不相等的整數(shù)使成等差數(shù)列，得，根據(jù)，所以，即，令，則，所以單調(diào)遞增，可得，代入得此方程無解，可得結(jié)論.【詳解】(1)因為，所以，即，故，所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.(2)依題意，即，即，所以數(shù)列是以為首項，2為