2022-2023學(xué)年上海市徐匯中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．給定空間中的直線與平面，則“直線與平面垂直”是“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A【分析】根據(jù)直線與平面垂直的定義，結(jié)合充分條件和必要條件的判定，即可求解．【詳解】由題意，若“直線與平面垂直”則“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”成立的，所以充分性是成立的；若“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”則直線“直線不一定平面垂直”，所以必要性不成立，所以“直線與平面垂直”是“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”成立的充分不必要條件．故選A．本題主要考查了充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記直線與平面垂直的定義，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2．如圖，、、、是某長(zhǎng)方體四條棱的中點(diǎn)，則直線和直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直A【分析】如圖，延長(zhǎng)GM到N,使,連接AN,DN.由和分別平行于正方體的兩條相交的對(duì)角線，從而得與相交．【詳解】如圖，延長(zhǎng)GM到N,使,連接AN,DN.，AN∥FM,∴A,B,N三點(diǎn)共線，同理D,C,N三點(diǎn)共線，與相交，故選：．本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．3．長(zhǎng)方體的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，高為2，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4A【分析】建系，利用空間直角坐標(biāo)系結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算理解分析.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，∵，則對(duì)，均有，故集合，只有一個(gè)元素.故選：A.4．如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為則則該幾何體的體積為.故選：D.二、填空題5．一個(gè)球的半徑為，則其體積為_(kāi)________．##【分析】利用球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，該球的體積為.故答案為.6．直線、確定一個(gè)平面，則、的位置關(guān)系為_(kāi)_______.平行或相交##相交或平行【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橹本€、確定一個(gè)平面，所以、的位置關(guān)系為平行或相交，故平行或相交7．已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為_(kāi)__________；【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】圓柱底面積為，所以底面半徑r為3，且圓柱的高h(yuǎn)為4，所以圓柱的側(cè)面積為.故答案為.8．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐的底面半徑為_(kāi)______.1【分析】先根據(jù)側(cè)面展開(kāi)是面積為的半圓算出圓錐的母線，再根據(jù)側(cè)面展開(kāi)半圓的弧長(zhǎng)即底面圓的周長(zhǎng)求解.【詳解】如圖所示：設(shè)圓錐的半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為l，面積為的半圓面，所以，解得，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)半圓的弧長(zhǎng)即底面圓的周長(zhǎng)，所以，故圓錐的底面半徑.本題考查圓錐的表面積的相關(guān)計(jì)算.主要依據(jù)側(cè)面展開(kāi)的扇形的弧長(zhǎng)即底面圓的半徑，扇形的弧長(zhǎng)和面積計(jì)算公式.9．如圖，是一個(gè)無(wú)蓋正方體盒子的表面展開(kāi)圖，A、B、C為其上的三個(gè)頂點(diǎn)，則在正方體盒子中，大小為_(kāi)_______.【分析】根據(jù)題意,將幾何體復(fù)原,根據(jù)正方體的性質(zhì)可得△的形狀,從而可得結(jié)果.【詳解】幾何體復(fù)原如圖所示:則△是正三角形,所以.故答案為:.本題考查了由幾何體的展開(kāi)圖復(fù)原幾何體,考查了空間想象能力,正方體的結(jié)構(gòu)特征,屬于基礎(chǔ)題.10．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形，且直觀圖的面積為2，則該平面圖形的面積為_(kāi)________．【分析】把給定的斜二測(cè)直觀圖還原為原平面圖形，再結(jié)合已知計(jì)算作答.【詳解】依題意，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸正半軸上取點(diǎn)A，使，在y軸正半軸上取點(diǎn)C，使，過(guò)C作軸，使，連接AB，則直角梯形是直觀圖等腰梯形對(duì)應(yīng)的原圖形，如圖，等腰梯形的面積，則，則直角梯形的面積，所以該平面圖形的面積為.故11．在30°二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到另一個(gè)面的距離是10，則這個(gè)點(diǎn)到二面角的棱的距離為_(kāi)__________.20【分析】畫(huà)出簡(jiǎn)圖，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】如簡(jiǎn)圖所示，兩平交于點(diǎn)，，，，，則為二面角的平面角，則，即點(diǎn)到二面角的棱的距離為20.故2012．在菱形中，，，為菱形所在平面外一點(diǎn)，，，到直線距離為_(kāi)________．5【分析】作，垂足為，可得就是到直線的距離.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】如圖，作，垂足為，因?yàn)?，即平面，且平面，所?因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?,所以.因?yàn)槠矫?，平面，所?所以.故答案為:5.13．如圖，長(zhǎng)方體中，，，則二面角的余弦值為_(kāi)________．【分析】首先取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意得到為二面角的平面角，再計(jì)算其余弦值即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，，，所以，即.，所以，且.所以為二面角的平面角，.故14．如圖，在正方體中，，中點(diǎn)為P，則過(guò)P?A?C三點(diǎn)的截面面積為_(kāi)__________.【分析】利用兩平行直線確定一個(gè)平面的方法，作出截面圖形為梯形，根據(jù)正方體棱長(zhǎng)為1，求出梯形面積即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則有，又，所以，梯形即為所求截面.根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)等于1，求出梯形各邊長(zhǎng)，，，，所以梯形的高為，面積所以過(guò)、、三點(diǎn)的截面面積為故答案為.15．如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則圓錐的母線長(zhǎng)為_(kāi)_____________.9【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為r，由題可得，即求.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為r，則，∴.故9.16．如圖，正方體則下列四個(gè)①點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積不變；②點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線與平面所成角的大小不變；③點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，二面角的大小不變；④點(diǎn)是平面上到點(diǎn)和距離相等的動(dòng)點(diǎn)，則的軌跡是過(guò)點(diǎn)的一條直線；其中的真命題是________（請(qǐng)?jiān)跈M線上填上正確命題的序號(hào)）①③④【分析】利用錐體的體積公式可判斷①的正誤；利用線面角的定義可判斷②的正誤；利用二面角的定義可判斷③的正誤；利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可判斷④的正誤.【詳解】①在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，平面，所以，平面，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離為定值，為定值，①正確；設(shè)直線與平面所成的角為，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離為定值，但在變，則不是定值，故直線與平面所成角的大小不是定值，②錯(cuò)；設(shè)二面角的大小為，點(diǎn)在到面的距離不變，到的距離不變，故為定值，所以二面角的大小不變，③正確；設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)點(diǎn)，由可得，解得，因此，的軌跡是過(guò)點(diǎn)的一條直線，④正確.故①③④.三、解答題17．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，、分別是棱、的中點(diǎn)．(1)求四面體的體積；(2)求異面直線與所成角的余弦值．(1)；(2).【分析】（1）由題意可得平面，根據(jù)即可求解；（2）連接,,可得為異面直線與所成的角或補(bǔ)角，利用勾股定理求出、及，在中利用余弦定理即可求.【詳解】（1）連接，因?yàn)?、分別是棱、的中點(diǎn)，所以平面，即平面.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，所以.所以.（2）連接,,易知四邊形為平行四邊形，所以.則為異面直線與所成的角或補(bǔ)角.在中，,,.則.故異面直線與所成角的余弦值為.18．在四棱錐中，底面是正方形，平面，，．（1）分別取側(cè)棱、中點(diǎn)、，證明：直線與平面平行；（2）求四棱錐的表面積．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理即可證明；（2）先證明的形狀，再根據(jù)圖形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）連接，因?yàn)?、分別為、中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫妫?，所以平面；?）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，同理又平面，所以又因?yàn)槭钦叫?，所以，，所以平面又平面，所以，同理則四棱錐的表面積19．如圖，已知在圓錐中，為底面圓O的直徑，點(diǎn)C為弧的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)D為母線的中點(diǎn)，求與平面所成角的正切值．(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】(1)由線面垂直，得線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直.（2）∠ADO為AD與平面SOC所成角，解三角形，即可求出.【詳解】（1）因?yàn)镾O⊥平面ABC，AB平面ABC，所以SOAB,因?yàn)镃為的中點(diǎn)，所以AB⊥OC，又SO平面SOC，OC平面SOC,SOOC=O,所以AB⊥平面SOC（2）連結(jié)OD.因?yàn)锳B⊥平面SOC,所以∠ADO為AD與平面SOC所成角，設(shè)OA=a，則OC=a，SO=AB=2a，所以，所以,,所以AD與平面SOC所成角的正切值為.20．某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無(wú)下底面，內(nèi)層和外層分別是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長(zhǎng)相等，圓柱有上底面，制作時(shí)需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計(jì)，已知圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為，圓錐的母線長(zhǎng)為.(1)求這種“籠具”的體積（，結(jié)果精確到）；(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個(gè)“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？（，結(jié)果精確到1元）(1)（）(2)（元）【分析】（1）由題意即可求出底面半徑，圓錐的高，則可計(jì)算出“籠具”的體積；（2）由底面半徑，圓錐的高，則可計(jì)算出“籠具”的表面積，則可計(jì)算出50個(gè)“籠具”的造價(jià).【詳解】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，圓錐的高為.由題意得，，所以，，所以“籠具”的體積為（）.（2）圓柱的側(cè)面積為（），圓柱的底面積為（），圓錐的側(cè)面積為（），所以“籠具”的表面積為（），故制作50個(gè)“籠具”共需（元）.21．如圖，是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐，D?E?F分別為棱長(zhǎng)上的點(diǎn)，截面底面ABC，且棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等（棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和）(1)證明：為正四面體；(2)若，求二面角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；(3)設(shè)棱臺(tái)體積為V，是否存在體積為V且各棱長(zhǎng)均相等的直平行六面體，使得它與棱臺(tái)有相同的棱長(zhǎng)和？若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體，并給出證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（直平行六面體指?jìng)?cè)棱垂直于底面，底面是平行四邊形的四棱柱）(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)存在，其他見(jiàn)解析【分析】（1）由棱長(zhǎng)和相等結(jié)合截面底面ABC，求得，即可得證；（2）取的中點(diǎn)，先判斷出為二面角的平面角，再求出相關(guān)邊長(zhǎng)，即可求得二面角的大小；（3）構(gòu)造直平行六面體的棱長(zhǎng)均為，底鄰兩邊的夾角為，由體積相等解出即可求解.【詳解】（1）由棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等，可得，又平面平面ABC，三