學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2。1最新課程標(biāo)準(zhǔn)：理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)一實(shí)數(shù)大小比較1．文字?jǐn)⑹鋈绻鸻－b是正數(shù)，那么a>b;如果a－b等于0，那么a＝b;如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a〈b,反之也成立．2．符號(hào)表示a－b〉0?a>b；a－b＝0?a＝b;a－b〈0?a<b。eq\x（狀元隨筆)比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無關(guān)．因此，比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小,其關(guān)鍵在于經(jīng)過適當(dāng)變形,能夠確認(rèn)差a－b的符號(hào)，變形的常用方法有配方、分解因式等．知識(shí)點(diǎn)二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a〉b，b〉c?a〉c3可加性a〉b?a＋c〉b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（a〉b,c〉0))?ac〉bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(a>b，c〈0））?ac〈bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（a>b，c>d)）?a＋c〉b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b>0，c〉d〉0）)?ac〉bd同向7可乘方性a〉b〉0?an〉bn(n∈N,n≥2)同正8可開方a〉b〉0?eq\r(n，a）〉eq\r（n,b）(n∈N，n≥2)同正eq\x（狀元隨筆)(1）性質(zhì)3是移項(xiàng)的依據(jù)．不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊．即a＋b>c?a〉c－b.性質(zhì)3是可逆性的，即a〉b?a＋c〉b＋c。（2）注意不等式的單向性和雙向性．性質(zhì)1和3是雙向的，其余的在一般情況下是不可逆的．（3)在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件。不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．要克服“想當(dāng)然"“顯然成立”的思維定勢(shì)．[基礎(chǔ)自測(cè)］1．大橋橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是提示司機(jī)要安全通過該橋，應(yīng)使車和貨物的總質(zhì)量T滿足關(guān)系（）A．T〈40B．T>40C．T≤40D．T≥40解析:“限重40噸”是不超過40噸的意思．答案：C2．設(shè)M＝x2,N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M〉NB．M＝NC．M〈ND．與x有關(guān)解析：因?yàn)镸－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，2)））2＋eq\f（3,4)〉0，所以M>N。答案:A3．已知x〈a<0,則一定成立的不等式是(）A．x2〈a2<0B．x2>ax〉a2C．x2〈ax〈0D．x2>a2>ax解析：因?yàn)閤<a<0,不等號(hào)兩邊同時(shí)乘a，則ax〉a2;不等號(hào)兩邊同時(shí)乘x，則x2〉ax,故x2>ax〉a2.答案：B4．不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋1>0，\f(1，2)x－3≤0)）的解集為________．解析：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x〉－\f（1,2)，x≤6）)，∴－eq\f(1，2）<x≤6。答案：eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)，6）)題型一比較大小[教材P61例2］例1比較x2－x和x－2的大?。窘馕觥恳?yàn)椋▁2－x)－(x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1)2＋1，又因?yàn)椋▁－1）2≥0，所以(x－1）2＋1≥1>0,從而(x2－x）－（x－2）>0,因此x2－x>x－2。eq\x(狀元隨筆)通過考察這兩個(gè)多項(xiàng)式的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系。教材反思用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的四步曲跟蹤訓(xùn)練1若f（x)＝3x2－x＋1，g(x）＝2x2＋x－1，則f(x)與g（x）的大小關(guān)系是（)A．f(x)〈g（x）B．f（x)＝g(x）C．f(x）〉g(x）D．隨x值變化而變化解析：f(x）－g(x)＝（3x2－x＋1)－（2x2＋x－1）＝x2－2x＋2＝(x－1）2＋1>0，所以f（x）>g（x)．故選C。答案:Ceq\x(作差)→eq\x(變形)→eq\x（判斷差的符號(hào)）→eq\x（結(jié)合差的符號(hào)判定大小)題型二不等式的性質(zhì)［經(jīng)典例題]例2對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c,有下列說法：①若a>b,則ac〈bc;②若ac2〉bc2,則a>b；③若a〈b〈0，則a2>ab〉b2；④若c>a〉b〉0，則eq\f(a，c－a)>eq\f（b,c－b）;⑤若a>b，eq\f（1,a)〉eq\f（1，b）,則a〉0,b〈0。其中正確的個(gè)數(shù)是（)A．2B．3C．4D．5【解析】對(duì)于①，令c＝0，則有ac＝bc。①錯(cuò)．對(duì)于②,由ac2>bc2，知c≠0，∴c2〉0?a〉b.②對(duì)．對(duì)于③,由a<b<0，兩邊同乘以a得a2>ab，兩邊同乘以b得ab>b2，∴a2>ab〉b2。③對(duì)．對(duì)于④，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(c>a>b〉0?c－a〉0，c－b〉0，a〉b?－a〈－b?c－a〈c－b))?0〈c－a<c－b?eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（\f(1，c－a）>\f（1,c－b）〉0，a>b〉0））?eq\f(a，c－a）〉eq\f（b,c－b）。④對(duì)．對(duì)于⑤，eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a>b?a－b>0，\f（1,a）>\f（1,b)?\f(b－a,ab）〉0））?eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（ab〈0，a〉b)）?a〉0,b<0。⑤對(duì)．故選C.【答案】Ceq\x（分析條件）→eq\x(利用不等式性質(zhì)逐一判斷）方法歸納（1）首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．（2）解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練2（1）已知a〈b，那么下列式子中，錯(cuò)誤的是(）A。4a〈4bB．－4a〈－4C．a(chǎn)＋4<b＋4D．a(chǎn)－4<b－4(2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b，c，d，下列命題中正確的是()A．若a>b，c≠0，則ac>bcB．若a〉b，則ac2>bc2C．若ac2>bc2，則a>bD．若a>b，則eq\f(1，a）〈eq\f（1，b)解析:（1)根據(jù)不等式的性質(zhì),a<b，4〉0?4a〈4b，A項(xiàng)正確；a〈b，－4〈0?－4a>－4b，B項(xiàng)錯(cuò)誤；a<b?a＋4〈b＋4，C項(xiàng)正確；a<b?a－4〈(2）對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)c<0時(shí)，不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)c＝0時(shí)，不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，∵ac2〉bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a〉b。故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)a〉0，b<0時(shí)，不正確．答案：(1）B（2)C利用不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵找準(zhǔn)使不等式成立的條件．題型三利用不等式性質(zhì)求范圍[經(jīng)典例題]例3已知－2〈a≤3,1≤b〈2，試求下列代數(shù)式的取值范圍：（1）｜a｜；（2）a＋b；（3）a－b；(4)2a－3b【解析】（1)|a｜∈［0,3］;（2)－1〈a＋b<5；（3)依題意得－2〈a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4〈a－b≤2；（4)由－2<a≤3得－4<2a由1≤b<2得－6<－3b≤－3,②由①②得,－10<2a－3beq\x(狀元隨筆）運(yùn)用不等式性質(zhì)研究代數(shù)式的取值范圍，關(guān)鍵是把握不等號(hào)的方向．方法歸納利用不等式性質(zhì)求范圍的一般思路(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；（3）結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3已知實(shí)數(shù)x，y滿足:1<x〈2<y<3，(1）求xy的取值范圍；(2）求x－2y的取值范圍．解析：（1）∵1<x〈2〈y<3，∴1〈x<2，2<y〈3，則2<xy<6,則xy的取值范圍是(2,6)．（2)由（1)知1〈x〈2，2〈y<3,從而－6<－2y<－4，則－5〈x－2y<－2,即x－2y的取值范圍是(－5，－2)．eq\x(狀元隨筆）(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)6可直接求解；(2）求出－2y的取值范圍后，利用不等式的性質(zhì)5即可求x－2y的取值范圍．課時(shí)作業(yè)10一、選擇題1．若A＝a2＋3ab,B＝4ab－b2，則A、B的大小關(guān)系是（)A．A≤BB．A≥BC．A〈B或A〉BD．A〉B解析：因?yàn)锳－B＝a2＋3ab－（4ab－b2)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a－\f(b，2）)）2＋eq\f(3，4）b2≥0，所以A≥B。答案:B2．已知：a,b，c，d∈R,則下列命題中必成立的是（)A．若a〉b，c〉b，則a>cB．若a〉－b，則c－a<c＋bC．若a>b,c〈d，則eq\f（a，c)>eq\f(b，d）D．若a2〉b2，則－a〈－b解析：選項(xiàng)A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a>b〉0,c<0<d時(shí),不成立；選項(xiàng)D只有a〉b>0時(shí)才可以．否則如a＝－1，b＝0時(shí)不成立．答案:B3．若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是()A．－2〈α－β〈0B．－2〈α－β<－1C．－1〈α－β<0D．－1<α－β〈1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β〈1.又－1<α<1，∴－2<α＋（－β）<2,又α<β，∴α－β〈0,即－2〈α－β<0.故選A。答案：A4．有四個(gè)不等式：①|(zhì)a｜>|b|；②a〈b;③a＋b<ab；④a3>b3.若eq\f(1,a)〈eq\f(1，b）〈0，則不正確的不等式的個(gè)數(shù)是（)A．0B．1C．2D．3解析：由eq\f（1,a)<eq\f（1,b)〈0可得b〈a<0，從而｜a|<｜b｜，①不正確;a〉b，②不正確；a＋b<0，ab>0，則a＋b〈ab成立，③正確；a3〉b3，④正確．故不正確的不等式的個(gè)數(shù)為2.答案：C二、填空題5．已知a,b均為實(shí)數(shù),則(a＋3）（a－5）________（a＋2）(a－4）(填“>”“〈”或“＝”）．解析：因?yàn)椋╝＋3）（a－5)－(a＋2)（a－4)＝(a2－2a－15）－（a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3）(a－5）〈（a＋2）（答案：〈6．如果a>b，那么c－2a與c－2b解析：c－2a－（c－2b)＝2b－2a＝2(b－答案:c－2b7．給定下列命題：①a>b?a2>b2；②a2〉b2?a〉b;③a>b?eq\f（b，a）〈1；④a>b，c>d?ac〉bd；⑤a>b,c〉d?a－c>b－d.其中錯(cuò)誤的命題是________（填寫相應(yīng)序號(hào)）．解析:由性質(zhì)7可知,只有當(dāng)a〉b>0時(shí)，a2〉b2才成立，故①②都錯(cuò)誤；對(duì)于③，只有當(dāng)a〉0且a>b時(shí),eq\f(b,a）<1才成立,故③錯(cuò)誤;由性質(zhì)6可知，只有當(dāng)a>b〉0,c>d〉0時(shí)，ac〉bd才成立，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤,由c>d得－d>－c，從而a－d〉b－c,故⑤錯(cuò)誤．答案：①②③④⑤三、解答題8．已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大?。馕觯簒3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2）－(x2－2x＋1）＝x2（x－1）－（x－1）2＝（x－1）（x2－x＋1)＝(x－1)·eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2）））2＋\f（3，4））），因?yàn)閤<1，所以x－1<0，又因?yàn)閑q\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2))）2＋eq\f(3,4)>0，所以（x－1)eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2)))2＋\f(3，4))）<0，所以x3－1〈2x2－2x.9．若bc－ad≥0,bd〉0。求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d，d）。證明：因?yàn)閎c－ad≥0，所以ad≤bc，因?yàn)閎d〉0，所以eq\f(a,b)≤eq\f(c，d），所以eq\f(a，b）＋1≤eq\f(c，d）＋1，所以eq\f（a＋b，b）≤eq\f(c＋d,d）.［尖子生題庫]10．設(shè)f(x）＝ax2＋bx,1≤f（－1)≤2,2≤f（1）≤4，求f(－2)的取值范圍．解析：方法一設(shè)f(－2)＝mf(－1）＋nf(1)(m,n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b）＋n（a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b于是得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＋n＝4，n－m＝－2）)，解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\c