離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換(DFRFT)算法

FRFT這篇文獻(xiàn)發(fā)表于：作者：1一、分?jǐn)?shù)階Fourier變換的定義二、分?jǐn)?shù)階與其他時頻分析工具（Wigner-Ville分布）的關(guān)系三、離散分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的計算2一、分?jǐn)?shù)階Fourier變換的定義3二、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換與Wigner-Ville分布首先，看一下Wigner-Ville分布是傅里葉變換4經(jīng)過一系列變換后變?yōu)橛梢陨峡傻?，等式的右邊是的Wigner-Ville分布，左邊是的Wigner-Ville分布也就是說的Wigner-Ville分布，是由的Wigner-Ville分布旋轉(zhuǎn)а角得到。5所以分?jǐn)?shù)階Fourier變換有一個重要的性質(zhì)，分?jǐn)?shù)階Fourier變換是角度為α的時頻面旋轉(zhuǎn).這個性質(zhì)建立起分?jǐn)?shù)階Fourier變換與時頻分布間的直接聯(lián)系,并且為分?jǐn)?shù)階Fourier域理解為一種統(tǒng)一的時頻變換域奠定了理論基礎(chǔ),同時也為分?jǐn)?shù)階Fourier變換在信號處理領(lǐng)域中的應(yīng)用提供了有利條件。6tωuvαα7三、離散分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的計算目前DFRFT的四種離散化算法8在這篇文獻(xiàn)中，第二種，采用分解的方法。91.第一種分解方法可以把以上改寫為10假定p∈[-1,1],經(jīng)過量綱歸一化的信號x(t）的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，可以分解為以下三個步驟：（1）用chirp信號調(diào)制信號f(x):（2）調(diào)制信號與另一個chirp信號卷積:（3）用chirp信號調(diào)制卷積后的信號：式1式2式311具體細(xì)節(jié)：第一步：將函數(shù)，與線性調(diào)頻函數(shù)相乘(式1)。注意，g(x)的頻率帶寬與時間帶寬乘積可以是，f(x)的相應(yīng)帶寬乘積的兩倍，所以要求g(x)的采樣間隔為1／(2Δx)。如果，()樣本值的采樣間隔是1／Δx，那么就需要對這些樣本值進(jìn)行插值，然后再與線性調(diào)頻函數(shù)的離散采樣值相乘，以得到所希望的g(x)的采樣。第二步：將g(x)與一線性調(diào)頻函數(shù)作卷積式(式(2))。注意，由于g(x)是帶限信號，所以線性調(diào)頻函數(shù)也可以用其帶限形式代替而不會有任何影響。12132、第二種分解方法為了簡化計算，人們提出更加有效的分解計算方法。假定x(t)的wigner-ville分布限定在以原點為中心，直徑為Δx的圓內(nèi)。若令，則與chirp信號乘積后的信號在頻域具有帶寬Δx?？梢杂肧hannon插值表示14簡要介紹一下Shannon插值

Shannon定理到設(shè)信號，如果存在，使

，，則稱是B頻率截斷的的，這時，只要采樣間隔按間隔進(jìn)行采樣就不會損失信息，而且，可按如下公式構(gòu)造原信號

上式Shannon插值公式。

利用采樣序列15163、MATLAB程序functionFaf=frft(f,a)%ThefastFractionalFourierTransform%input:f=samplesofthesignal%a=fractionalpower%output:Faf=fastFractionalFouriertransformerror(nargchk(2,2,nargin));f=f(:);N=length(f);shft=rem((0:N-1)+fix(N/2),N)+1;sN=sqrt(N);a=mod(a,4);17%dospecialcasesif(a==0),Faf=f;return;end;if(a==2),Faf=flipud(f);return;end;if(a==1),Faf(shft,1)=fft(f(shft))/sN;return;endif(a==3),Faf(shft,1)=ifft(f(shft))*sN;return;end%reducetointerval0.5<a<1.5if(a>2.0),a=a-2;f=flipud(f);endif(a>1.5),a=a-1;f(shft,1)=fft(f(shft))/sN;endif(a<0.5),a=a+1;f(shft,1)=ifft(f(shft))*sN;end%thegeneralcasefor0.5<a<1.5alpha=a*pi/2;tana2=tan(alpha/2);sina=sin(alpha);f=[zeros(N-1,1);interp(f);zeros(N-1,1)];18%chirppremultiplicationchrp=exp(-i*pi/N*tana2/4*(-2*N+2:2*N-2)'.^2);f=chrp.*f;%chirpconvolutionc=pi/N/sina/4;Faf=fconv(exp(i*c*(-(4*N-4):4*N-4)'.^2),f);Faf=Faf(4*N-3:8*N-7)*sqrt(c/pi);%chirppostmultiplicationFaf=chrp.*Faf;%normalizingconstantFaf=exp(-i*(1-a)*pi/4)*Faf(N:2:end-N+1);19functionxint=interp(x)%sincinterpolationN=length(x);y=zeros(2*N-1,1);y(1:2:2*N-1)=x;xint=fconv(y(1:2*N-1),sinc([-(2*N-3):(2*N-3)]'/2));xint=xint(2*N-2:end-2*N+3);functi